K-Theorie

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Das mathematische Teilgebiet der K-Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen (topologische K-Theorie) oder Ringen bzw. Schemata (algebraische K-Theorie). Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Topologische K-Theorie[Bearbeiten]

Definitionen[Bearbeiten]

Es sei X ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist K(X) der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über X nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

 [E\oplus F]-[E]-[F]

für Vektorbündel E, F erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle K-Theorie KO(X).

Zwei Vektorbündel E und F auf X definieren genau dann dasselbe Element in K(X), wenn sie stabil äquivalent sind, d.h. wenn es ein triviales Vektorbündel G gibt, so dass

E\oplus G\cong F\oplus G

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird K(X) zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der K-Theorie. Die reduzierte K-Theorie \tilde K(X) ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung \tilde K^n(X)=\tilde K(S^nX) ein; dabei bezeichnet S die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • K ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
  • Es gibt einen topologischen Raum BU, so dass Elemente von K(X) den Homotopieklassen von Abbildungen X → BU entsprechen.
  • Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus K(X) → H*(X,Q), den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität[Bearbeiten]

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden Arten formulieren:

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Komplexe und Reelle K-Theorie[Bearbeiten]

Der oben definierte Funktor K(X) wird auch als Komplexe K-Theorie bezeichnet. Wenn man die analogen Konstruktionen mit reellen Vektorbündeln durchführt, erhält man die Reelle K-Theorie KO(X). Für diese gilt Bott-Periodizität mit Periode 8, d.h. \tilde KO^{n+8}(X)=\tilde KO^n(X).

Berechnung[Bearbeiten]

Die (komplexe oder reelle) topologische K-Theorie kann oft mit Hilfe der Atiyah-Hirzebruch-Spektralsequenz berechnet werden.[1]

Algebraische K-Theorie[Bearbeiten]

A sei stets ein unitärer Ring.

Niedrige Dimensionen[Bearbeiten]

K0[Bearbeiten]

Der Funktor K0 ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen; er ordnet einem Ring R die Grothendieck-Gruppe K_0(R) der Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln zu. Gelegentlich betrachtet man auch die reduzierte K-Gruppe \tilde{K}_0(R), diese ist der Quotient von K_0(R) nach der vom freien R-Modul R erzeugten zyklischen Gruppe.

Eigenschaften[Bearbeiten]
  • (Morita-Invarianz)

Für jeden Ring A und n \in\mathbb N gibt es einen kanonischen Isomorphismus K_0(A) \rightarrow K_0(M_n(A)).

  • (Serre-Swan Theorem)

Sei X ein kompakter Hausdorffraum und C(X) der Ring der stetigen Funktionen. Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen topologischer K-Theorie des Raumes und algebraischer K-Theorie des Ringes: K(X) \cong K_0(C(X)).

Beispiele[Bearbeiten]
 K_0(A)=\mathop{\mathrm{Pic}}A\times\mathbf Z .

K1[Bearbeiten]

Hyman Bass schlug die folgende Definition für einen Funktor K1 vor: K1(A) ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe:

K1(A) = GL(A)ab

Dabei ist

GL(A) = colim GLn(A),

wobei GLn(A) in die obere linke Ecke von GLn+1(A) eingebettet werde: GL_n(A) \ni M \mapsto \begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in GL_{n+1}(A).

Siehe dazu auch das Lemma von Whitehead. Für einen Körper k ist K1(k) die Einheitengruppe.

K2[Bearbeiten]

J. Milnor fand den richtigen Kandidaten für K2: Es sei die Steinberggruppe (nach Robert Steinberg) St(A) eines Ringes A definiert als die Gruppe mit den Erzeugern xij(r) für positive ganze Zahlen i ≠ j und Ringelemente r und den Relationen

  1. \mathrm x_{ij}(r)\mathrm x_{ij}(r') = \mathrm x_{ij}(r+r')
  2. [\mathrm x_{ij}(r),\mathrm x_{jk}(r')] = \mathrm x_{ik}(rr') für  i\not=k
  3. [\mathrm x_{ij}(r),\mathrm x_{kl}(r')] = 1 für i\not=l,j\not=k

Diese Relationen gelten auch für die Elementarmatrizen, deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus

\varphi\colon\mathrm{St}(A)\to\mathrm{GL}(A)

K2(A) ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung \varphi. Man kann zeigen, dass er mit dem Zentrum von St(A) übereinstimmt. K1 und K2 sind durch die exakte Sequenz

1\longrightarrow K_2(A)\longrightarrow\mathrm{St}(A)\longrightarrow\mathrm{GL}(A)\longrightarrow K_1(A)\longrightarrow1

verbunden.

Für einen (kommutativen) Körper k gilt der Satz von Matsumoto

K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbb Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.

Milnors K-Theorie[Bearbeiten]

J. Milnor definierte für einen Körper k "höhere" K-Gruppen durch

 K^M_*(k) := T^*k^\times/(a\otimes (1-a)) ,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe k× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

a\otimes(1-a)

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Für n = 0,1,2 stimmen die milnorschen K-Gruppen mit den oben definierten überein. Die Motivation zu dieser Definition stammt aus der Theorie der quadratischen Formen. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus K_i^M(k)\rightarrow K_i(k), sein Kokern ist per Definition die unzerlegbare K-Theorie K_i^{ind}(k). Für Zahlkörper gilt K_i^{ind}(k)=K_i(k).

Beispiele[Bearbeiten]

Für einen endlichen Körper k und n ≠ 0,1 gilt

K^M_n(k)=0

Für einen algebraischen Zahlkörper k und n ≠ 0,1,2 gilt

K^M_n(k)=(\mathbb Z /2 )^{r_1},

wobei r_1 die Anzahl der reellen Stellen von k ist.

Milnorvermutung[Bearbeiten]

Es gibt Isomorphismen

K^M_*(k)/2 \longrightarrow H^*_{et}(k,(\mathbb Z /2 )^*),
K^M_*(k)/2 \longrightarrow GrW^*(k)

zwischen den milnorschen K-Gruppen eines Körpers k der Charakteristik ungleich zwei und der Galoiskohomologie bzw. dem graduierten Witt-Ring von k. Unter anderem für den Beweis dieses als Milnorvermutung bekannten Resultates wurde Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen. Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietäten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie.

Quillens K-Theorie[Bearbeiten]

Die umfassendste Definition einer K-Theorie wurde von D. Quillen angegeben.

Klassifizierende Räume von Kategorien[Bearbeiten]

Für eine kleine Kategorie C sei der Nerv NC definiert als die simpliziale Menge, deren p-Simplizes die Diagramme

X_0\longrightarrow X_1\longrightarrow\ldots\longrightarrow X_p

sind. Die geometrische Realisierung BC von NC heißt klassifizierender Raum von C.

Quillens Q-Konstruktion[Bearbeiten]

Es sei P eine exakte Kategorie, d.h. eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse E von „exakten“ Diagrammen

 M'\longrightarrow M\longrightarrow M'',

für die gewisse Axiome gelten, die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind.


Zu einer exakten Kategorie P sei nun die Kategorie QP definiert als die Kategorie, deren Objekte dieselben sind wie die von P und deren Morphismen zwischen zwei Objekten M′ und M″ Isomorphieklassen von exakten Diagrammen

 M'\longrightarrow N\longrightarrow M''

sind.

Die K-Gruppen[Bearbeiten]

Die i-te K-Gruppe von P ist dann definiert durch

 K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)

mit einem fest gewählten Nullobjekt 0. Hierbei sind die \pi_i die (höheren) Homotopiegruppen.

K_0(P) stimmt mit der Grothendieckgruppe von P überein, also mit dem Quotienten der freien abelschen Gruppe über den Isomorphieklassen in P nach der Untergruppe, die von

[M]-[M']-[M'']

für Diagramme

M'\longrightarrow M\longrightarrow M''

in E erzeugt wird.

Für einen unitären Ring A sind die K-Gruppen Ki(A) die eben definierten K-Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektiven A-Moduln.

Für noethersche unitäre Ringe werden außerdem die Gruppen K′i(A) definiert als die K-Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten A-Moduln.

Für Schemata X definiert Quillen K(X):=K(\mathrm P(X)), wobei \mathrm P(X) die Kategorie der Vektorbündel auf X ist.

Beispiele[Bearbeiten]
Endliche Körper[Bearbeiten]

Sei F_q der Körper mit q Elementen. Dann ist

K_0(F_q)=\mathbb Z
K_{2i-1}(F_q)=\mathbb Z/(q^i-1)\mathbb Z für alle i\ge 1
K_{2i}(F_q)=0 für alle i\ge 1.
Die ganzen Zahlen[Bearbeiten]

Für die K-Gruppen von \mathbb{Z} gilt[2][3]

\begin{align}
K_0(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z},\\ 
K_1(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\\ 
K_2(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\\
K_3(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}/48\mathbb{Z},\\ 
K_4(\mathbb{Z})&=0,\\ 
K_5(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}
\end{align}

Ist i\not\equiv 1 \operatorname{mod} 4, so ist K_i(\mathbb Z) eine endliche Gruppe und ist i\equiv 1 \operatorname{mod} 4, dann ist K_i(\mathbb Z) die direkte Summe aus \mathbb Z und einer endlichen Gruppe. Mit Hilfe des Rost-Voevodsky-Theorems kann man für i\not\equiv 0\operatorname{mod} 4 auch den Torsionsanteil in K_i(\mathbb Z) bestimmen.[4] Für i\equiv 0 \operatorname{mod} 4 ist K_i(\mathbb Z)=0 falls die Kummer-Vandiver-Vermutung richtig ist.

Gruppenringe[Bearbeiten]

Die Farrell-Jones-Vermutung beschreibt die algebraische K-Theorie des Gruppenringes R\left[G\right], wenn man die algebraische K-Theorie des Ringes R kennt. Sie ist in verschiedenen Spezialfällen bewiesen, zum Beispiel für CAT(0)-Gruppen G.

Die algebraische K-Theorie des Gruppenringes \Z\Gamma von Fundamentalgruppen \Gamma hat Anwendungen in der algebraischen Topologie. Walls Endlichkeits-Obstruktion für CW-Komplexe ist ein Element in \tilde{K}_0(\mathbb Z\Gamma). Die Obstruktion für die Einfachheit einer Homotopieäquivalenz ist die Whitehead-Torsion in Wh(\Gamma):=K_1(\mathbb Z\Gamma)/\left\{\pm\Gamma\right\}.

Zahlkörper und Ganzheitsringe[Bearbeiten]

Sei F ein Zahlkörper mit r_1 reellen und 2r_2 komplexen Einbettungen in \mathbb C. Sei O_F der Ganzheitsring von F. Dann ist für alle i\ge 1:

K_{4i-2}(O_F)\otimes\mathbb Q=0
K_{4i-1}(O_F)\otimes\mathbb Q=\mathbb Q^{r_2}
K_{4i}(O_F)\otimes\mathbb Q=0
K_{4i+1}(O_F)\otimes\mathbb Q=\mathbb Q^{r_1+r_2}.

Die Isomorphismen werden durch den Borel-Regulator realisiert.[5]

Für n\ge 2 ist K_n(F)\otimes\mathbb Q\cong K_n(O_F)\otimes\mathbb Q.

K-Theorie für Banachalgebren[Bearbeiten]

Die topologische K-Theorie lässt sich auf allgemeine Banachalgebren ausdehnen, wobei die C*-Algebren eine wichtige Rolle spielen. Die topologische K-Theorie kompakter Räume X kann als K-Theorie der Banachalgebren C(X) der stetigen Funktionen X\rightarrow \C umformuliert und dann auf beliebige Banachalgebren übertragen werden, sogar auf das Einselement der Algebren kann man verzichten. Da die Zuordnung X\mapsto C(X) ein kontravianter Funktor von der Kategorie der kompakten Hausdorffräume in die Kategorie der Banachalgebren ist und da die topologische K-Theorie ebenfalls kontravariant ist, erhalten wir insgesamt einen kovarianten Funktor von der Kategorie der Banachalgebren in die Kategorie der abelschen Gruppen.[6]

Da hier auch nicht-kommutative Algebren auftreten können, spricht man von nicht-kommutativer Topologie. Die K-Theorie ist ein wichtiger Untersuchungsgegenstand in der Theorie der C*-Algebren. Im Folgenden sei A eine \C-Banachalgebra, A^+ gehe aus A durch Adjunktion eines Einselementes hervor.

K0[Bearbeiten]

Die Vektorbündel der topologischen K-Theorie entsprechen auf der algebraischen Seite den endlich erzeugten, projektiven Moduln und diese sind direkte Summanden in freien Moduln A^n, können also durch Idempotente p\in M_n(A) einer hinreichend großen Matrix-Algebra über A beschrieben werden. Für die Idempotenten gibt es verschiedene, geeignete Äquivalenzbegriffe, die alle zusammenfallen, wenn man in den induktiven Limes M_\infty(A) = \mathrm{ind}_{n\to \infty}M_n(A) geht, wobei äquivalente Idempotente zu stabil-isomorphen, projektiven Moduln gehören. Eine mögliche Definition ist, dass zwei Idempotente p und q äquivalent heißen, wenn es ein n\in \N gibt, so dass p,q\in M_n(A) und Elemente x,y\in M_n(A) mit p=xy, q= yx existieren. Die Äquivalenzklasse von p werde mit [p] bezeichnet. Hat man zwei Idempotente p und q, so kann man etwa q durch eine äquivalente Idempotente q' ersetzen, so dass pq' = 0, dann ist p+q' wieder eine Idempotente. Setzt man [p]+[q] := [p+q'], so ist dadurch eine wohldefinierte Halbgruppenverknüpfung auf der Menge V(A) der Äquivalenzklassen von Idempotenten aus M_\infty(A) gegeben. Hiervon könnte man wieder die zugehörige Grothendieck-Gruppe bilden, aber zur Definition der Gruppe K_0(A) nimmt man eine kleine technische Veränderung vor, um auch Algebren ohne Einselement, etwa Ideale in Banachalgebren, adäquat behandeln zu können. Man definiert K_0(A) als Untergruppe der Grothendieck-Gruppe von V(A^+), und zwar als Menge aller Differenzen [p]-[q], wobei p, q\in M_\infty(A^+) idempotent sind, so dass p-q \in M_\infty(A).

Ist J\subset A ein zweiseitiges, abgeschlossenes Ideal, so erhält man aus der kurzen, exakten Sequenz

 0 \rightarrow J \rightarrow A \rightarrow A/J \rightarrow 0

eine exakte Sequenz

K_0(J) \rightarrow K_0(A) \rightarrow K_0(A/J),

die sich im Allgemeinen weder nach links noch nach rechts exakt mit 0 fortsetzen lässt.

Die Definition ist so angelegt, dass K_0(C(X)) = K^0(X) für kompakte Räume X gilt. Im Falle von C*-Algebren kann bei obiger Konstruktion die Idempotenten durch Projektionen, das heißt durch selbstadjungierte Idempotente, ersetzen und erhält dasselbe Ergebnis, da jede Idempotente zu einer Projektion äquivalent ist. Als wichtige Anwendung lassen sich mittels K0 die AF-C*-Algebren klassifizieren.

K1[Bearbeiten]

Zur Definition von K_1(A) definieren wir GL_n(A) als Menge aller invertierbaren Matrizen aus M_n(A^+), deren Bild in der Quotientenalgebra M_n(A^+)/M_n(A) \cong M_n(\C) gleich der Einheitsmatrix ist. Mittels

 GL_n(A) \ni x \mapsto \begin{pmatrix} x&0 \\ 0&1\end{pmatrix} \in GL_{n+1}(A)

fassen wir GL_n(A) als Untergruppe von GL_{n+1}(A) auf und versehen den so entstehenden induktiven Limes GL_\infty(A) := \mathrm{ind}_{n\to \infty}GL_n(A) mit der finalen Topologie. Die Zusammenhangskomponente GL_\infty(A)_0 des Einselements ist ein Normalteiler und man definiert

K_1(A) := GL_\infty(A)/GL_\infty(A)_0 =  \mathrm{ind}_{n\to \infty}GL_n(A)/GL_n(A)_0.

Trotz der Nicht-Kommutativität der Matrizenalgebren erweist sich die so definierte Gruppe K_1(A) als kommutativ. Während in der algebraischen K-Theorie zur Definition der K1-Gruppe die Kommutatoruntergruppe herausdividiert wird (Abelisierung), verwendet man in der topologischen K-Theorie für Banachalgebren die Zusammenhangskomponente des Einselements. Im Falle con C*-Algebren kann man in obiger Konstruktion die invertierbaren Elemente durch unitäre Elemente ersetzen und erhält dasselbe Ergebnis.

Ist J\subset A ein zweiseitiges, abgeschlossenes Ideal, so erhält man aus der kurzen, exakten Sequenz

 0 \rightarrow J \rightarrow A \rightarrow A/J \rightarrow 0

eine exakte Sequenz

K_1(J) \rightarrow K_1(A) \rightarrow K_1(A/J),

die sich im Allgemeinen weder nach links noch nach rechts exakt mit 0 fortsetzen lässt.

Wieder ist die Definition so angelegt, dass K_1(C(X)) = K^1(X) für kompakte Räume X gilt. Bezeichnet man mit SA die Banachalgebra aller stetigen Funktionen \R\rightarrow A, die im Unendlichen verschwinden, versehen mit der Supremumsnorm, so kann man K_1(A)\cong K_0(SA) zeigen. Man nennt SA die Suspension von A; es handelt um die Banachachalgebrenversion der Suspension bzw. reduzierten Einhängung topologischer Räume. Mittels Iteration der Suspension könnte man höhere K-Gruppen definieren, etwa K_n(A) := K(S^nA), aber wegen der auch hier gültigen Bott-Periodizität ist das nicht erforderlich.

Zyklische Sequenz[Bearbeiten]

Wie in der topologischen K-Theorie kann man eine Index-Abbildung und einen Bott-Isomorphismus konstruieren, so dass sich obige exakte Sequenzen zu folgender zyklischen exakten Sequenz zusammenfügen:


  \begin{array}{ccccc} 
    K_0(J) & \rightarrow & K_0(A) & \rightarrow & K_0(A/J)\\
    \uparrow & &  & &\downarrow\\
     K_1(A/J) & \leftarrow & K_1(A) & \leftarrow & K_1(J)\\
  \end{array}

Diese Sequenz ist sehr nützlich bei der Berechnung von K-Gruppen. Sind einige Gruppen der Sequenz bekannt, so lässt dies wegen der Exaktheit Rückschlüsse auf die noch unbekannten zu.

Weitere Eigenschaften[Bearbeiten]

Funktorialität[Bearbeiten]

Es sei \varphi: A\rightarrow B ein stetiger Homomorphismus zwischen Banachalgebren. Dieser definiert Homomorphismen \varphi_n: M_n(A)\rightarrow M_n(B) , die mit obigen Konstruktionen der K-Gruppen verträglich sind und so zu Gruppenhomomorphismen K_0(\varphi): K_0(A) \rightarrow K_0(B) und K_1(\varphi): K_1(A) \rightarrow K_1(B) führen. Dadurch werden K_0 und K_1 zu kovarianten Funktoren zwischen der Kategorie der Banachalgebren und der Kategorie der abelschen Gruppen.

Homotopieinvarianz[Bearbeiten]

Zwei stetige Homomorphismen \varphi, \psi: A\rightarrow B zwischen Banachalgebren heißen homotop, wenn es eine Familie (\varphi_t)_{t\in [0,1]} von Homomorphismen gibt, so dass t\mapsto\varphi_t(a) für jedes a\in A stetig ist und \varphi_0 = \varphi, \varphi_1 = \psi gilt. Homotope Homomorphismen induzieren dieselben Gruppenhomomorphismen zwischen den K-Gruppen.

Stabilität[Bearbeiten]

Ist A eine Banachalgebra, so gilt K_i(M_n(A)) \cong K_i(A) für i=0,1 und alle n\in \N. Ist A=\mathrm{ind}_{j\in J}A_j ein induktiver Limes in der Kategorie der Banachalgebren, so gilt

K_i(\mathrm{ind}_{j\in J}A_j) \cong \mathrm{ind}_{j\in J}K_i(A_j),\quad i=0,1.

Die Verträglichkeit mit der Bildung des induktiven Limes ergibt sich direkt aus den Konstruktionen der K-Gruppen mittels induktiver Limiten.

Speziell für C*-Algebren ist M_n(A) \cong M_n(\C)\otimes A und der induktive Limes der M_n(A) in der Kategorie der C*-Algreben ist isomorph zum Tensorprodukt A\otimes K, wobei K die C*-Algebra der kompakten Operatoren über einem separablen Hilbertraum ist. Damit gilt K_i(A\otimes K) \cong K_i(A) für i=0,1.

Siehe auch[Bearbeiten]

KK-Theorie

Quellen[Bearbeiten]

  1. Atiyah, Hirzebruch: Vector bundles and homogeneous spaces. 1961 Proc. Sympos. Pure Math., Vol. III pp. 7–38 American Mathematical Society, Providence, R.I.
  2. Rognes: "K_4(Z) is the trivial group" (PDF; 145 kB), Topology 39 (2000), no. 2, 267–281
  3. Elbaz-Vincent, Gangl, Soulé: "Quelques calculs de la cohomologie de GL_N(Z) et de la K-theorie de Z" (PDF; 229 kB), C. R. Math. Acad. Sci. Paris 335 (2002), no. 4, 321–324
  4. Weibel: Algebraic K-theory of rings of integers in local and global fields (PDF; 506 kB)
  5. Borel: "Stable real cohomology of arithmetic groups" (PDF; 3,4 MB), Ann. Sci. École Norm. Sup. (4) 7 (1974), 235–272
  6. Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]