K-Theorie

Das mathematische Teilgebiet der K-Theorie beschäftigt sich mit dem Studium von Vektorbündeln auf topologischen Räumen (topologische K-Theorie) oder Ringen bzw. Schemata (algebraische K-Theorie).

Der Name K-Theorie wurde von Alexander Grothendieck kreiert; das K steht für „Klasse“ in einem sehr allgemeinen Sinn.

Topologische K-Theorie

Definitionen

Es sei X ein fester kompakter Hausdorffraum.

Dann ist K(X) der Quotient der freien abelschen Gruppe auf den Isomorphieklassen von komplexen Vektorbündeln über X nach der Untergruppe, die von Elementen der Form

$[E\oplus F]-[E]-[F]$

für Vektorbündel E, F erzeugt wird. Diese Konstruktion, die der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen nachempfunden ist, heißt Grothendieck-Gruppe (nach Alexander Grothendieck). Betrachtet man stattdessen reelle Vektorbündel, erhält man die reelle K-Theorie KO(X).

Zwei Vektorbündel E und F auf X definieren genau dann dasselbe Element in K(X), wenn sie stabil äquivalent sind, d.h. wenn es ein triviales Vektorbündel G gibt, so dass

$E\oplus G\cong F\oplus G$

Mit dem Tensorprodukt von Vektorbündeln wird K(X) zu einem kommutativen Ring mit Einselement.

Der Begriff des Ranges eines Vektorbündels überträgt sich auf Elemente der K-Theorie. Die reduzierte K-Theorie $\tilde K(X)$ ist die Untergruppe der Elemente von Rang 0. Weiter führt man die Bezeichnung $\tilde K^n(X)=\tilde K(S^nX)$ ein; dabei bezeichnet S die reduzierte Einhängung.

Eigenschaften

• K ist ein kontravarianter Funktor auf der Kategorie der kompakten Hausdorffräume.
• Es gibt einen topologischen Raum BU, so dass Elemente von K(X) den Homotopieklassen von Abbildungen X → BU entsprechen.
• Es gibt einen natürlichen Ringhomomorphismus K(X) → H^*(X,Q), den Chern-Charakter.

Bott-Periodizität

Dieses nach Raoul Bott benannte Periodizitätsphänomen lässt sich auf die folgenden Arten formulieren:

• $K(X\times S^2)=K(X)\otimes K(S^2),$ und $K(S^2)=\mathbb Z[H]/(H-1)^2;$ dabei ist $H$ die Klasse des tautologischen Bündels über $S^2=\mathbb CP^1$.
• $\tilde K^{n+2}(X)=\tilde K^n(X)$
• $\Omega^2\mathrm{BU}\simeq\mathrm{BU}\times\mathbf Z$.

In der reellen K-Theorie gibt es eine ähnliche Periodizität mit Periode 8.

Algebraische K-Theorie

A sei stets ein unitärer Ring.

Niedrige Dimensionen

K₀

Der Funktor K₀ ist ein kovarianter Funktor von der Kategorie der Ringe mit Einselement in die Kategorie der Gruppen; er ordnet einem Ring $R$ die Grothendieck-Gruppe $K_0(R)$ der Isomorphieklassen von endlich erzeugten projektiven Moduln zu. Gelegentlich betrachtet man auch die reduzierte K-Gruppe $\tilde{K}_0(R)$, diese ist der Quotient von $K_0(R)$ nach der vom freien $R$-Modul $R$ erzeugten zyklischen Gruppe.

Eigenschaften

• (Morita-Invarianz)

Für jeden Ring $A$ und $n \in\mathbb N$ gibt es einen kanonischen Isomorphismus $K_0(A) \rightarrow K_0(M_n(A))$.

• (Serre-Swan Theorem)

Sei $X$ ein kompakter Hausdorffraum und $C(X)$ der Ring der stetigen Funktionen. Dann gibt es einen Isomorphismus zwischen topologischer K-Theorie des Raumes und algebraischer K-Theorie des Ringes: $K(X) \cong K_0(C(X))$.

Beispiele

• Ist A ein Dedekindring, so ist

$K_0(A)=\mathop{\mathrm{Pic}}A\times\mathbf Z$.

• Für Körper, Hauptidealringe oder lokale Ringe sind alle projektiven Moduln frei, die K-Theorie ist deshalb isomorph zu $\mathbb Z$.

K₁

Hyman Bass schlug die folgende Definition für einen Funktor K₁ vor: K₁(A) ist die Abelisierung der unendlichen allgemeinen linearen Gruppe:

K₁(A) = GL(A)^ab

Dabei ist

GL(A) = colim GL_n(A),

wobei GL_n(A) in die obere linke Ecke von GL_n+1(A) eingebettet werde: $GL_n(A) \ni M \mapsto \begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in GL_{n+1}(A)$.

Siehe dazu auch das Lemma von Whitehead. Für einen Körper k ist K₁(k) die Einheitengruppe.

K₂

J. Milnor fand den richtigen Kandidaten für K₂: Es sei die Steinberggruppe (nach Robert Steinberg) St(A) eines Ringes A definiert als die Gruppe mit den Erzeugern x_ij(r) für positive ganze Zahlen i ≠ j und Ringelemente r und den Relationen

1. $\mathrm x_{ij}(r)\mathrm x_{ij}(r') = \mathrm x_{ij}(r+r')$
2. $[\mathrm x_{ij}(r),\mathrm x_{jk}(r')] = \mathrm x_{ik}(rr')$ für $i\not=k$
3. $[\mathrm x_{ij}(r),\mathrm x_{kl}(r')] = 1$ für $i\not=l,j\not=k$

Diese Relationen gelten auch für die Elementarmatrizen, deshalb gibt es einen Gruppenhomomorphismus

$\varphi\colon\mathrm{St}(A)\to\mathrm{GL}(A)$

K₂(A) ist nun per Definition der Kern dieser Abbildung $\varphi$. Man kann zeigen, dass er mit dem Zentrum von St(A) übereinstimmt. K₁ und K₂ sind durch die exakte Sequenz

$1\longrightarrow K_2(A)\longrightarrow\mathrm{St}(A)\longrightarrow\mathrm{GL}(A)\longrightarrow K_1(A)\longrightarrow1$

verbunden.

Für einen (kommutativen) Körper k ist

$K_2(k) = k^\times\otimes_{\mathbb Z} k^\times/\langle a\otimes(1-a)\mid a\not=0,1\rangle.$

Milnors K-Theorie

J. Milnor definierte für einen Körper k "höhere" K-Gruppen durch

$K^M_*(k) := T^*k^\times/(a\otimes (1-a))$,

also als graduierte Bestandteile des Quotienten der Tensoralgebra über der abelschen Gruppe k^× nach dem zweiseitigen Ideal, das von den Elementen der Form

$a\otimes(1-a)$

für a ≠ 0,1 erzeugt wird. Für n = 0,1,2 stimmen die milnorschen K-Gruppen mit den oben definierten überein. Die Motivation zu dieser Definition stammt aus der Theorie der quadratischen Formen. Es gibt einen natürlichen Homomorphismus $K_i^M(k)\rightarrow K_i(k)$, sein Kokern ist per Definition die unzerlegbare K-Theorie $K_i^{ind}(k)$. Für Zahlkörper gilt $K_i^{ind}(k)=K_i(k)$.

Beispiele

Für einen endlichen Körper k und n ≠ 0,1 gilt

$K^M_n(k)=0$

Für einen algebraischen Zahlkörper k und n ≠ 0,1,2 gilt

$K^M_n(k)=(\mathbb Z /2 )^{r_1}$,

wobei $r_1$ die Anzahl der reellen Stellen von k ist.

Milnorvermutung

Es gibt Isomorphismen

$K^M_*(k)/2 \longrightarrow H^*_{et}(k,(\mathbb Z /2 )^*)$,

$K^M_*(k)/2 \longrightarrow GrW^*(k)$

zwischen den milnorschen K-Gruppen eines Körpers k der Charakteristik ungleich zwei und der Galoiskohomologie bzw. dem graduierten Witt-Ring von k. Unter anderem für den Beweis dieses als Milnorvermutung bekannten Resultates wurde Wladimir Wojewodski auf dem internationalen Mathematikerkongress 2002 die Fieldsmedaille verliehen. Der Beweis basiert auf der von Wojewodski entwickelten Homotopietheorie algebraischer Varietäten und der von Beilinson und Lichtenbaum entworfenen motivischen Kohomologie.

Quillens K-Theorie

Die umfassendste Definition einer K-Theorie wurde von D. Quillen angegeben.

Klassifizierende Räume von Kategorien

Für eine kleine Kategorie C sei der Nerv NC definiert als die simpliziale Menge, deren p-Simplizes die Diagramme

$X_0\longrightarrow X_1\longrightarrow\ldots\longrightarrow X_p$

sind. Die geometrische Realisierung BC von NC heißt klassifizierender Raum von C.

Quillens Q-Konstruktion

Es sei P eine exakte Kategorie, d.h. eine additive Kategorie zusammen mit einer Klasse E von „exakten“ Diagrammen

$M'\longrightarrow M\longrightarrow M'',$

für die gewisse Axiome gelten, die den Eigenschaften kurzer exakter Sequenzen in einer abelschen Kategorie nachgebildet sind.

Zu einer exakten Kategorie P sei nun die Kategorie QP definiert als die Kategorie, deren Objekte dieselben sind wie die von P und deren Morphismen zwischen zwei Objekten M′ und M″ Isomorphieklassen von exakten Diagrammen

$M'\longrightarrow N\longrightarrow M''$

sind.

Die K-Gruppen

Die i-te K-Gruppe von P ist dann definiert durch

$K_i(P)=\pi_{i+1}(\mathrm{BQ}P,0)$

mit einem fest gewählten Nullobjekt 0. Hierbei sind die $\pi_i$ die (höheren) Homotopiegruppen.

$K_0(P)$ stimmt mit der Grothendieckgruppe von $P$ überein, also mit dem Quotienten der freien abelschen Gruppe über den Isomorphieklassen in $P$ nach der Untergruppe, die von

$[M]-[M']-[M'']$

für Diagramme

$M'\longrightarrow M\longrightarrow M''$

in E erzeugt wird.

Für einen unitären Ring A sind die K-Gruppen K_i(A) die eben definierten K-Gruppen der Kategorie der endlich erzeugten projektiven A-Moduln.

Für noethersche unitäre Ringe werden außerdem die Gruppen K′_i(A) definiert als die K-Gruppen der Kategorie aller endlich erzeugten A-Moduln.

Für Schemata $X$ definiert Quillen $K(X):=K(\mathrm P(X))$, wobei $\mathrm P(X)$ die Kategorie der Vektorbündel auf $X$ ist.

Beispiele

Endliche Körper

Sei $F_q$ der Körper mit $q$ Elementen. Dann ist

$K_0(F_q)=\mathbb Z$

$K_{2i-1}(F_q)=\mathbb Z/(q^i-1)\mathbb Z$ für alle $i\ge 1$

$K_{2i}(F_q)=0$ für alle $i\ge 1$.

Die ganzen Zahlen

Für die $K$-Gruppen von $\mathbb{Z}$ gilt

$\begin{align} K_0(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z},\\ K_1(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\\ K_2(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},\\ K_3(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z}/48\mathbb{Z},\\ K_4(\mathbb{Z})&=0,\\ K_5(\mathbb{Z})&=\mathbb{Z} \end{align}$

Ist $i\not\equiv 1 \operatorname{mod} 4$, so ist $K_i(\mathbb Z)$ eine endliche Gruppe und ist $i\equiv 1 \operatorname{mod} 4$, dann ist $K_i(\mathbb Z)$ die direkte Summe aus $\mathbb Z$ und einer endlichen Gruppe. Mit Hilfe des Rost-Voevodsky-Theorems kann man für $i\not\equiv 0\operatorname{mod} 4$ auch den Torsionsanteil in $K_i(\mathbb Z)$ bestimmen. Für $i\equiv 0 \operatorname{mod} 4$ ist $K_i(\mathbb Z)=0$ falls die Kummer-Vandiver-Vermutung richtig ist.

Gruppenringe

Die Farrell-Jones-Vermutung beschreibt die algebraische K-Theorie des Gruppenringes $R\left[G\right]$, wenn man die algebraische K-Theorie des Ringes $R$ kennt. Sie ist in verschiedenen Spezialfällen bewiesen, zum Beispiel für CAT(0)-Gruppen $G$.

Die algebraische K-Theorie des Gruppenringes $Z\Gamma$ von Fundamentalgruppen $\Gamma$ hat Anwendungen in der algebraischen Topologie. Walls Endlichkeits-Obstruktion für CW-Komplexe ist ein Element in $\tilde{K}_0(\mathbb Z\Gamma)$. Die Obstruktion für die Einfachheit einer Homotopieäquivalenz ist die Whitehead-Torsion in $Wh(\Gamma):=K_1(\mathbb Z\Gamma)/\left\{\pm\Gamma\right\}$.

Zahlkörper und Ganzheitsringe

Sei $F$ ein Zahlkörper mit $r_1$ reellen und $2r_2$ komplexen Einbettungen in $\mathbb C$. Sei $O_F$ der Ganzheitsring von $F$. Dann ist für alle $i\ge 1$:

$K_{4i-2}(O_F)\otimes\mathbb Q=0$

$K_{4i-1}(O_F)\otimes\mathbb Q=\mathbb Q^{r_2}$

$K_{4i}(O_F)\otimes\mathbb Q=0$

$K_{4i+1}(O_F)\otimes\mathbb Q=\mathbb Q^{r_1+r_2}$.

Die Isomorphismen werden durch den Borel-Regulator realisiert.

Für $n\ge 2$ ist $K_n(F)\otimes\mathbb Q\cong K_n(O_F)\otimes\mathbb Q$.

Literatur

• Jacek Brodzki: An Introduction to K-theory and Cyclic Cohomology (Online)
• Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory (Online)
• Daniel Quillen: Higher algebraic K-theory: I. In: H. Bass (Hrsg.): Higher K-Theories. Lecture Notes in Mathematics, vol. 341. Springer-Verlag, Berlin 1973. ISBN 3-540-06434-6.
• Charles Weibel: An introduction to algebraic K-theory (Online)