Marshallsche Nachfragefunktion

Als marshallsche Nachfragekorrespondenz (auch: walrasianische Nachfragekorrespondenz), benannt nach dem Ökonomen Alfred Marshall, bezeichnet man in der Mikroökonomik und dort speziell in der Haushaltstheorie eine Korrespondenz, die für gegebene Güterpreise und ein gegebenes Vermögen angibt, welche Menge von jedem einzelnen Gut konsumiert werden sollte, wenn man den größtmöglichen Nutzen realisieren möchte.

Sofern für jede Preis-Vermögens-Kombination ein eindeutiges Optimum existiert, lässt sich die marshallsche Nachfragekorrespondenz als Funktion auffassen und man spricht von der marshallschen Nachfragefunktion (auch: walrasianischen Nachfragefunktion).

Definition

Allgemein

Bezeichne mit $x_{i}\geq 0$ die von einem bestimmten Konsumenten nachgefragte Menge von Gut $i$, $i=1,\ldots ,n$, und fasse der Vektor $\mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {\mathbb {R} } _{+}^{n}$ die Nachfrage bezüglich aller Güter zusammen. Der Preis jedes Gutes sei strikt positiv, $p_{i}>0$ für alle $i=1,\ldots ,n$, und man vereinbare $\mathbf {p} =(p_{1},\ldots ,p_{n})\in \mathbb {R} _{++}^{n}$ als Preisvektor der Ökonomie.

Der Nutzen des Konsumenten folge einer stetigen Nutzenfunktion $u(\mathbf {x} )$. Der Konsument verfüge über ein (reellwertiges) Budget in Höhe von $y>0$. Betrachte nun das Nutzenmaximierungsproblem des Konsumenten unter Berücksichtigung der Budgetrestriktion:

$\max _{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{n}}u(\mathbf {x} )$    unter der Nebenbedingung    $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} =p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}+\ldots +p_{n}x_{n}\leq y$

Definition: Sei $u(\mathbf {x} )$ stetig, $\mathbf {x} \in \mathbb {\mathbb {R} } _{+}^{n}$, $\mathbf {p} \in \mathbb {\mathbb {R} } _{++}^{n}$ und $y>0$. Man bezeichnet die Korrespondenz $\mathbf {x} ^{m}:\mathbb {R} _{++}^{n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {R} _{+}^{n}$, definiert durch

$\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)\equiv \arg \max\{u(\mathbf {x} )|\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq y\}$,

als marshallsche Nachfragekorrespondenz (auch: walrasianische Nachfragekorrespondenz).

Verfügt das Maximierungsproblem für jedes Tupel $(\mathbf {p} ,y)$ über eine einelementige Lösungsmenge, so handelt es sich bei der Zuordnung $\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$ im Spezialfall um eine Funktion und man spricht entsprechend von der marshallschen Nachfragefunktion (auch: walrasianischen Nachfragefunktion).

Andere Schreibweisen für die Definition der marshallschen Nachfragekorrespondenz sind ebenfalls gebräuchlich. Es ist trivialerweise

${\begin{aligned}\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)&\equiv \arg \max\{u(\mathbf {x} )|\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq y\}\\&=\arg \max \left\{u(\mathbf {x} )|\mathbf {x} \in B_{\mathbf {p} ,y}\right\}\\&=\left\{\mathbf {x} \in B_{\mathbf {p} ,y}\left|\left(\forall \mathbf {x} '\in \mathbb {R} _{+}^{n}\right):u(\mathbf {x} ')>u(\mathbf {x} )\Rightarrow \mathbf {p} \cdot \mathbf {x} '>y\right.\right\}\end{aligned}}$

mit

$B_{\mathbf {p} ,y}\equiv \{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{n}\left|\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq y\right.\}$

der zulässigen Menge (Budgetmenge). In Worten: Die marshallsche Nachfrage bei einem gegebenen Preissystem und einem gegebenen Haushaltsvermögen entspricht genau jenen zulässigen Güterbündeln, die die Eigenschaft haben, dass sämtliche Güterbündel mit strikt größerem Nutzen derart teuer wäre, dass sie die Budgetrestriktion verletzen.

Vereinfachte Notation im Zwei-Güter-Fall

Vielfach wird das Konzept auch nur auf kleinere Zahl von Gütern bezogen (beispielsweise wie nachfolgend zwei Güter). Man kann dann das Maximierungsproblem unter Verzicht auf Vektordarstellungen einfacher schreiben als:

$\max _{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} _{+}^{2}}u(x_{1},x_{2})$ unter der Nebenbedingung $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq y$

Da über $x_{1}$ und $x_{2}$ maximiert wird, wird die Lösung des Problems auch für beide Größen einen Optimalwert ausgeben. Die optimale Nachfrage nach Gut 1 beträgt also $x_{1}^{*}$ und sie ist abhängig vom Preis dieses Gutes, dem Einkommen $y>0$, das dem Individuum zur Verfügung steht, sowie in der Regel auch vom Preis von Gut 2. Intuitiv kann Letzteres zum Beispiel daran eingesehen werden, dass die nutzenmaximierende Nachfrage nach Autos sicherlich auch davon abhängig ist, ob ein Zugticket 500 Euro oder 5 Euro kostet. Folglich ergeben sich aus dem Optimierungsproblem optimale Werte für die beiden Güter: $x_{1}^{m}(p_{1},p_{2};y)$ (die marshallsche Nachfrage nach Gut 1) und analog $x_{2}^{m}(p_{1},p_{2};y)$ (die marshallsche Nachfrage nach Gut 2).

Siehe hierzu auch das untenstehende Rechenbeispiel.

Allgemeine Eigenschaften

Existenz und Kompaktheit

Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist kompaktwertig und nichtleer.

Um einzusehen, dass die Nachfragekorrespondenz nichtleer ist, genügt es zu zeigen, dass die Budgetmenge $B_{\mathbf {p} ,y}$ kompakt ist. Denn nach dem Extremwertsatz von Weierstraß nimmt die Nutzenfunktion über einer kompakten Menge stets einen Minimal- und einen Maximalwert ein, das heißt das obige Nutzenmaximierungsproblem hat für alle $(\mathbf {p} ,y)$ auch mindestens eine Lösung. Die Budgetmenge ist nun kompakt genau dann, wenn sie beschränkt und abgeschlossen ist (Satz von Heine-Borel). Das ist der Fall: beschränkt ist sie, weil bei der vorausgesetzen strikten Positivität der Preise stets $x_{i}\leq y/p_{i}$ sowie zugleich $x_{i}\geq 0$ für alle $i=1,\ldots ,n$ und für alle $\mathbf {x} \in B_{\mathbf {p} ,y}$; und abgeschlossen ist sie, weil sie über schwache Ungleichungen definiert ist.

Der Beweis, dass die marshallsche Nachfragekorrespondenz kompaktwertig ist, wird sehr einfach, wenn man – wie weiter unten der Fall – zusätzlich annimmt, dass die Nutzenfunktion quasikonkav ist. Erforderlich ist das aber nicht. Die Kompaktwertigkeit ergibt sich etwa auch unmittelbar aus dem Maximum-Satz von Berge, dessen Anwendbarkeit weiter unten unter „Stetigkeitseigenschaften“ dargestellt wird. Alternativ kann man zeigen, dass das System $\{K_{\mathbf {x} }|\mathbf {x} \in B_{\mathbf {p} ,y}\}$ der abgeschlossenen Teilmengen $K_{\mathbf {x} }\equiv \{\mathbf {x} '\in B_{\mathbf {p} ,y}|u(\mathbf {x} ')\geq u(\mathbf {x} )\}$ die endliche Durchschnittseigenschaft besitzt; da dem so ist, ist grundsätzlich $\cap _{\mathbf {x} \in B_{\mathbf {p} ,y}}K_{\mathbf {x} }$ kompakt (und nichtleer).

Konvexität und Funktionseigenschaft

1. Sei die Nutzenfunktion quasikonkav. Dann ist die marshallsche Nachfragekorrespondenz konvexwertig.
2. Sei die Nutzenfunktion strikt quasikonkav. Dann ist die marshallsche Nachfragekorrespondenz einelementig für alle $(\mathbf {p} ,y)\in \mathbb {R} _{++}^{n+1}$, mit anderen Worten: $\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$ ist eine Funktion.

Zu diesen beiden Eigenschaften sei bemerkt, dass die einer quasikonkaven Nutzenfunktion $u$ zugrunde liegende Präferenzordnung $\succsim$ konvex ist; zu (2.), dass die einer strikt quasikonkaven Nutzenfunktion $u$ zugrunde liegende Präferenzordnung strikt konvex ist. Man beachte, dass es für (1.) und (2.) aber nicht genügt, die Konvexität (bzw. strikte Konvexität) der Präferenzordnung vorauszusetzen. Zwar impliziert in der Tat auch umgekehrt die (strikte) Konvexität von $\succsim$, dass jede repräsentierende Nutzenfunktion $u$ (strikt) quasikonkav ist. Allerdings existiert nicht für jede (strikt) konvexe Präferenzordnung eine reellwertige Repräsentation. So sind etwa, um das berühmte Beispiel von Debreu (1959) aufzugreifen, lexikographische Präferenzordnungen strikt konvex, aber nicht durch eine Nutzenfunktion repräsentierbar. Allerdings ist es möglich, die hier eingeführten Konzepte auch auf Grundlage von Präferenzordnungen einzuführen, sodass es nicht mehr auf eine Repräsentationsfunktion ankommt.

Der Beweis von (1.) beruht auf der Betrachtung zweier Güterbündel $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in \mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$, $\mathbf {x} \neq \mathbf {x} '$. Aus der Definition der marshallschen Nachfrage folgt zunächst, dass $u(\mathbf {x} )=u(\mathbf {x} ')$. Bezeichne man dieses Nutzenniveau mit $u_{0}$. Für eine quasikonkave Nutzenfunktion gilt definitionsgemäß, dass mit $\mathbf {x} ''\equiv \alpha \mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} '$ auch $u(\mathbf {x} '')\geq u_{0}$ für alle $\alpha \in [0,1]$. Zudem ist $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} ''=\mathbf {p} \cdot [\alpha \mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ']\leq y$, weil $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq y$ und $\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} '\leq y$ nach Definition der marshallschen Nachfrage. Folglich ist $\mathbf {x} ''\in B(\mathbf {p} ,y)$. Daraus und mit $u(\mathbf {x} '')\geq u_{0}$ folgt schließlich, dass $\mathbf {x} ''\in \mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$. Also ist $\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$ konvex.

Zu (2.): (Beweis durch Widerspruch:) Betrachte wiederum zwei Güterbündel $\mathbf {x} ,\mathbf {x} '\in \mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$, $\mathbf {x} \neq \mathbf {x} '$. Abermals gilt definitionsgemäß $u(\mathbf {x} )=u(\mathbf {x} ')\equiv u_{0}$. Strikte Quasikonkavität impliziert aber $u(\alpha \mathbf {x} +(1-\alpha )\mathbf {x} ')>u(\mathbf {x} ')$ für alle $\alpha \in (0,1)$ – ein Widerspruch.

Homogenität

Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist homogen vom Grad null in $(\mathbf {p} ,y)$, das heißt $\mathbf {x} ^{m}(\alpha \mathbf {p} ,\alpha y)=\mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ,y)$ für alle $(\mathbf {p} ,y)\in \mathbb {R} _{++}^{n+1}$ und für alle $\alpha >0$.

Es macht für die Konsumentscheidung demnach keinen Unterschied, wenn sowohl das Vermögen als auch alle Güterpreise um denselben Faktor ansteigen bzw. fallen. Dies schließt etwa auch aus, dass es eine Rolle spielt, in welcher Währung Vermögen und Preise fakturiert sind. Die Eigenschaft folgt wegen $B_{\alpha \mathbf {p} ,\alpha y}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{n}|\alpha \mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq \alpha y\}=\{\mathbf {x} \in \mathbb {R} _{+}^{n}|\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} \leq y\}=B_{\mathbf {p} ,y}$, das heißt die Budgetmenge bleibt bei der Modifikation um $\alpha >0$ identisch. Damit bleibt freilich auch die Lösung des Maximierungsproblems von der simultanen Vermögens- und Preisänderung unberührt.

Stetigkeitseigenschaften

1. Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist oberhemistetig.
2. Falls die marshallsche Nachfragekorrespondenz für gewisses $(\mathbf {p} ,y)$ einelementig und folglich eine Funktion ist, dann ist diese stetig.

Die Eigenschaften folgen unmittelbar aus dem Maximum-Satz (Satz von Berge), für das auf eine Fußnote verwiesen wird. Zentrale Voraussetzung für dessen Anwendbarkeit ist die Stetigkeit der durch $(\mathbf {p} ,y)\rightarrow \!\!\!\!\!\!\!\mapsto B(\mathbf {p} ,y)$ gegebenen Budgetkorrespondenz, wobei man eine Korrespondenz genau dann als stetig bezeichnet, wenn sie sowohl ober- als auch unterhemistetig ist. Diese beiden Eigenschaften wiederum kann man für die Budgetkorrespondenz nacheinander zeigen.

Abgeschlossenheitseigenschaften

1. Die marshallsche Nachfragekorrespondenz ist abgeschlossenwertig.
2. Die marshallsche Nachfragekorrespondenz verfügt über einen abgeschlossenen Graphen.

Es genügt, eine dieser Eigenschaften zu zeigen. Die jeweils andere folgt mit einem der folgenden Sätze (unter Zuhilfenahme bereits gezeigter Eigenschaften):

a) Jede oberhemistetige und abgeschlossenwertige Korrespondenz verfügt über einen abgeschlossenen Graphen.

b) Jede kompaktwertige Korrespondenz mit einem abgeschlossenen Graphen ist abgeschlossenwertig.

Nachfolgend wird der Beweis für (2.) skizziert. Betrachte die marshallsche Nachfragekorrespondenz $\mathbf {x} ^{m}$ sowie zwei Folgen $(\mathbf {p} _{k},y_{k})\rightarrow (\mathbf {p} ^{0},y^{0})$ und $\mathbf {x} _{k}\rightarrow \mathbf {x} ^{0}$ mit $\mathbf {x} _{k}\in \mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} _{k},y_{k})$. Nach Definition der Nachfragekorrespondenz ist $\mathbf {p} _{k}\cdot \mathbf {x} _{k}\leq y_{k}$ und im Grenzwert $\mathbf {p} ^{0}\cdot \mathbf {x} ^{0}\leq y^{0}$ und wegen $\mathbf {x} _{k}\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ auch $\mathbf {x} ^{0}\in \mathbb {R} _{+}^{n}$. Daraus folgt, dass $\mathbf {x} ^{0}\in B_{\mathbf {p} ^{0},y^{0}}$. (Beweis durch Widerspruch:) Man nehme an, dass $\mathbf {x} ^{0}\notin \mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ^{0},y^{0})$. Dann gibt es ein ${\hat {\mathbf {x} }}\in B_{\mathbf {p} ^{0},y^{0}}$ so, dass $u({\hat {\mathbf {x} }})>u(\mathbf {x} ^{0})$. Sei nun $\mathbf {p} ^{0}\cdot {\hat {\mathbf {x} }}=y^{0}>0$. Dann gilt für alle $\lambda <1$ auch $\mathbf {p} ^{0}\cdot (\lambda {\hat {\mathbf {x} }})<y^{0}$. Wegen der Stetigkeit der Nutzenfunktion kann man denn auch tatsächlich $\lambda$ so in der Nähe von 1 wählen, dass $u(\mathbf {x} ^{0})<u(\lambda {\hat {\mathbf {x} }})$ und $\mathbf {p} \cdot (\lambda {\hat {\mathbf {x} }})<y^{0}$. Für ein hinreichend entferntes Folgeglied $k$ gilt $\mathbf {p} ^{k}\cdot (\lambda {\hat {\mathbf {x} }})\leq y^{k}$. Wegen $u(\mathbf {x} ^{k})\rightarrow u({\hat {\mathbf {x} }})$ auch $u(\lambda {\hat {\mathbf {x} }})>u(\mathbf {x} ^{k})$. Dann aber ist $\mathbf {x} _{k}\notin \mathbf {x} ^{m}(\mathbf {p} ^{k},y^{k})$, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Direkt zu (1.): Jede kompakte Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ ist abgeschlossen. Da die Zielmenge der Nachfragekorrespondenz wie oben bemerkt kompakt ist, ist die Nachfragekorrespondenz also auch abgeschlossenwertig.

Walras-Gesetz

Sei die der Nutzenfunktion zugrunde liegende Präferenzordnung lokal nicht gesättigt. Dann genügt die marshallsche Nachfrage dem Walras-Gesetz, das heißt es gilt $\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}=y$.

Die Eigenschaft der lokalen Nichtsättigung ist eine gängige Forderung, die an Präferenzordnungen gestellt wird. Sie besagt salopp gesagt, dass man jedes Güterbündel stets minimal so modifizieren kann, dass das resultierende Güterbündel strikt gegenüber dem Ausgangsbündel bevorzugt wird. Für die formale Definition wird auf eine Fußnote verwiesen. Lokale Nichtsättigung ist offensichtlich eine schwächere Anforderung an die Präferenzordnung als strenge Monotonie. Weil jede streng monoton steigende Nutzenfunktion auf einer streng monotonen Präferenzordnung gründet, ist die obige Voraussetzung für die Gültigkeit des Walras-Gesetzes also trivialerweise bei einer streng monoton steigenden Nutzenfunktionen erfüllt.

Analytische Bestimmung

Konkret kann das oben stehende allgemeine Nutzenmaximierungsproblem mithilfe der Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen gelöst werden. Sei $\mathbf {x} ^{*}=(x_{1}^{*},\ldots ,x_{n}^{*})$ eine Lösung des Maximierungsproblems und es gelte $\nabla u(\mathbf {x} ^{*})\neq 0$ falls $\mathbf {p\cdot x^{*}} =y$. Die Langrangefunktion lautet

${\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\lambda )=u(\mathbf {x} )+\lambda (y-\mathbf {p\cdot x} )$.

Dann existiert ein $\lambda ^{*}$ (Lagrange-Multiplikator) so, dass $(\mathbf {x} ^{*},\lambda ^{*})$ folgende Bedingungen erster Ordnung erfüllt:

1. ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} ^{*},\lambda ^{*})={\frac {\partial u(\mathbf {x} ^{*})}{\partial x_{i}}}-\lambda ^{*}p_{i}=0\quad \forall i$
2. ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}(\mathbf {x} ^{*},\lambda ^{*})=y-\mathbf {p\cdot x^{*}} \geq 0$
3. $\lambda ^{*}(y-\mathbf {p\cdot x^{*}} )=0$
4. $\lambda ^{*}\geq 0$,

wobei Bedingung 2 aufgrund der strengen Monotonie der Nutzenfunktion mit Gleichheit erfüllt ist, woraus folgt, dass die Nebenbedingung bindend ist (und Bedingung 3 trivialerweise erfüllt ist). Bedingung 4 ist auch gewährleistet, denn da in Bedingung 1 $\partial u(\mathbf {x} ^{*})/\partial x_{i}>0$ für alle $i$ gemäß Voraussetzung und $p_{i}>0$ für alle $i$, muss auch gelten, dass sogar $\lambda ^{*}>0$. Mit Bedingung 1 zeigt sich überdies, dass für das Preisverhältnis zwischen zwei beliebigen Gütern im Optimum, beispielsweise $p_{1}/p_{2}$, gilt, dass es gerade dem Quotienten der Grenznutzen – der sogenannten Grenzrate der Substitution zwischen den beiden Gütern – entsprechen muss:

${\frac {p_{1}}{p_{2}}}={\frac {\partial u(\mathbf {x} ^{*})/\partial x_{1}}{\partial u(\mathbf {x} ^{*})/\partial x_{2}}}$

Darüber hinaus muss die Grenzrate der Substitution zwischen beliebigen Gütern eins betragen. Dies leuchtet intuitiv ein, denn wegen $p_{1}$ dann ungleich $p_{2}$ könnte der Konsument eine Einheit des teureren Gutes gegen eine Einheit des günstigeren substituieren, ohne sein Nutzenniveau zu verändern – allerdings würden aus der Transaktion zusätzliche Geldmittel frei, mit denen er wiederum Güter erwerben könnte (was seinen Nutzen steigern würde). Dies widerspricht aber der Annahme, dass es sich zuvor um ein Nutzenmaximum gehandelt hat.

Vereinfachte Lösung ohne Ungleichheitsrestriktion

Eine häufig vorgenommene Methode zur Vereinfachung des Optimierungsproblems ist der Ex-ante-Verzicht auf die Ungleichheitsrestriktion in der Nebenbedingung. Das Problem lautet dann

$\max _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}}u(x_{1},\ldots ,x_{n})$ unter der Nebenbedingung $\mathbf {p\cdot x} {\color {Red}=}y\Leftrightarrow \sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}{\color {Red}=}y$,

im Zwei-Güter-Fall also vereinfacht

$\max _{x_{1},x_{2}\in \mathbb {R} _{+}^{2}}u(x_{1},x_{2})$ unter der Nebenbedingung $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}{\color {Red}=}y$

Damit wird eigentlich nur eine Anforderung bereits zu Beginn implementiert, die auch oben gestellt wurde (aber theoretisch verzichtbar wäre). Die Rechtfertigung für diesen Schritt ist dadurch gegeben, dass der Haushalt ja nur die beiden Güter 1 und 2 zur Verfügung hat; es ist dann aber offensichtlich nicht effizient, nicht das vollständige Einkommen für den Konsum von 1 und 2 aufzuwenden, sofern man, wie hier, positive Grenznutzen von 1 und 2 unterstellt. Die resultierende Lagrange-Funktion ist identisch wie oben, allerdings reduzieren sich die Nebenbedingungen zu Bedingung 1. und 2.

Übergang zur indirekten Nutzenfunktion

Setzt man die erhaltene marshallsche Nachfrage $\mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)$ wieder in die ursprüngliche Nutzenfunktion $u(\mathbf {x} )$ ein, so erhält man eine Nutzenfunktion $u$, die abhängig von den Güterpreisen und dem Einkommen $y$ ist. Man bezeichnet sie als indirekte Nutzenfunktion $v=u[\mathbf {x} (\mathbf {p} ,y)]$ und vereinbart $v=v(\mathbf {p} ,y)$. Die indirekte Nutzenfunktion gibt für eine gegebene marshallsche Nachfrage das konkrete Nutzenniveau an, das maximal erreicht werden kann.

Zusammenhang zur Hicks’schen Nachfragefunktion

→ Hauptartikel: Hicks’sche Nachfragefunktion#Zusammenhang zur marshallschen Nachfrage

Während die marshallsche Nachfrage wie gezeigt aus dem Nutzenmaximierungsproblem des Haushalts resultiert und die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – angibt, die erforderlich ist, um mit einem gegebenen Einkommen $y$ ein möglichst hohes Nutzenniveau zu erreichen, resultiert die Hicks’sche Nachfrage aus dem Ausgabenminimierungsproblem des Haushalts und gibt die Gütermenge – in Abhängigkeit von den Güterpreisen – an, die erforderlich ist, um möglichst kostengünstig ein vorgegebenes Nutzenniveau ${\overline {u}}$ zu erreichen.

Zwischen marshallscher und Hicks’scher Nachfrage besteht allerdings trotz des konzeptionellen Unterschiedes ein enger funktionaler Zusammenhang, für den auf den überstehend genannten Hauptartikel verwiesen wird.

Beispiel im Zwei-Güter-Fall

Ausgangsproblem

Man betrachte einen Markt für Äpfel (Gut 1) und Bananen (Gut 2), deren nachgefragte Mengen man mit $x_{1}$ bzw. $x_{2}$ bezeichnet. Der Preis eines Apfels betrage $p_{1}=2$, der einer Banane $p_{2}=4$. Das Budget des Haushalts beträgt $y=40$, und er konsumiere ausschließlich Äpfel und Bananen. Der Nutzen des Haushalts folgt einer Cobb-Douglas-Nutzenfunktion $u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{0.4}\cdot x_{2}^{0.6}$. Dann ist

$\max _{(x_{1},x_{2})\in \mathbb {R} _{+}^{2}}x_{1}^{0.4}\cdot x_{2}^{0.6}$ unter der Nebenbedingung $p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}\leq y$

das Nutzenmaximierungsproblem. Man löst dieses Problem mit Ungleichheitsrestriktion mithilfe der Karush-Kuhn-Tucker-Methode. Die Lagrangefunktion lautet

${\mathcal {L}}(x_{1},x_{2};\lambda )=u(x_{1},x_{2})-\lambda (p_{1}x_{1}+p_{2}x_{2}-y)$.

Notwendige Bedingungen für das Nutzenoptimum sind:

1. ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{1}}}(x_{1}^{*},x_{2}^{*};\lambda ^{*})={\frac {\partial u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})}{\partial x_{1}}}-\lambda ^{*}p_{1}=0.4\left(x_{1}^{*}\right){}^{-0.6}\left(x_{2}^{*}\right){}^{0.6}-p_{1}\lambda ^{*}=0$
2. ${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x_{2}}}(x_{1}^{*},x_{2}^{*};\lambda ^{*})={\frac {\partial u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})}{\partial x_{2}}}-\lambda ^{*}p_{2}=0.6\left(x_{1}^{*}\right){}^{0.4}\left(x_{2}^{*}\right){}^{-0.4}-p_{2}\lambda ^{*}=0$
3. $\lambda (p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}-y)=0$ und $\lambda \geq 0$.

Bedingung 3 wäre mit $\lambda ^{*}=0$ Genüge getan, dies würde aber $x_{1}x_{2}=0$ implizieren (was der Annahme positiver Grenznutzen beider Güter widerspricht), weshalb angenommen wird, dass die Budgetrestriktion bindend ist (also $p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}x_{2}^{*}-y=0$ – das gesamte Konsumbudget wird für die beiden Güter ausgegeben). Aus Bedingung 1 und 2 folgt sodann durch Division

${\frac {0.6\left(x_{1}^{*}\right){}^{0.4}\left(x_{2}^{*}\right){}^{-0.4}}{0.4\left(x_{1}^{*}\right){}^{-0.6}\left(x_{2}^{*}\right){}^{0.6}}}={\frac {3}{2}}\cdot {\frac {x_{1}^{*}}{x_{2}^{*}}}={\frac {p_{2}\lambda ^{*}}{p_{1}\lambda ^{*}}}={\frac {p_{2}}{p_{1}}}\implies {\color {BrickRed}x_{2}^{*}=1.5x_{1}^{*}\cdot {\frac {p_{1}}{p_{2}}}}=0.75x_{1}^{*}$

und also wegen der bindenden (mit Gleichheit erfüllten) Budgetbedingung

$\underbrace {p_{1}x_{1}^{*}+p_{2}\cdot 1.5x_{1}^{*}\cdot {\frac {p_{1}}{p_{2}}}} _{=2.5p_{1}x_{1}^{*}}-y=0\implies {\color {BrickRed}x_{1}^{*}={\frac {y}{2.5p_{1}}}}={\frac {40}{5}}=8$.

Damit ergibt sich wiederum $x_{2}^{*}=0.75\cdot 8=6$.

Im Haushaltsoptimum werden also 8 Äpfel und 6 Bananen nachgefragt.

Indirekte Nutzenfunktion

Die indirekte Nutzenfunktion lautet im Beispiel

$v(p_{1},p_{2};y)=u\left[x_{1}^{*}(p_{1},p_{2};y),x_{2}^{*}(p_{1},p_{2};y)\right]=\left(x_{1}^{*}\right){}^{0.4}\cdot \left(x_{2}^{*}\right){}^{0.6}$

Für $x_{1}^{*}$ und $x_{2}^{*}$ können potenziell die oben dunkelrot eingefärbten Ausdrücke eingesetzt werden; allerdings muss aus dem Ausdruck für $x_{2}^{*}$ zunächst noch das $x_{1}^{*}$ eliminiert werden (die indirekte Nutzenfunktion soll nicht explizit von der optimalen Gütermenge abhängig sein):

${\color {BrickRed}x_{2}^{*}=1.5x_{1}^{*}\cdot {\frac {p_{1}}{p_{2}}}}=1.5\cdot {\frac {y}{2.5p_{1}}}\cdot {\frac {p_{1}}{p_{2}}}\implies {\color {Fuchsia}x_{2}^{*}={\frac {1.5}{2.5}}{\frac {y}{p_{2}}}}$

Damit gilt nun

$v(p_{1},p_{2};y)=\left({\color {BrickRed}{\frac {y}{2.5p_{1}}}}\right)^{0.4}\cdot \left({\color {Fuchsia}{\frac {1.5}{2.5}}{\frac {y}{p_{2}}}}\right)^{0.6}\approx {\frac {0.51y}{p_{1}^{0.4}p_{2}^{0.6}}}$

Die indirekte Nutzenfunktion gibt, gegeben die Güterpreise und das Einkommen, das maximal mögliche Nutzenniveau an. Man kann entsprechend überprüfen, welches Ergebnis sie mit den oben vereinbarten Werten für $p_{1}$, $p_{2}$ und $y$ liefert, und findet so, dass damit

$v\approx {\frac {0.51\cdot 40}{2^{0.4}\cdot 4^{0.6}}}\approx 6.73$.

Und in der Tat gilt mit den oben erhaltenen optimalen Gütermengen $x_{1}^{*}=8$ und $x_{2}^{*}=6$:

$u(x_{1}^{*},x_{2}^{*})=8^{0.4}\cdot 6^{0.6}\approx 6.73$.

Literatur

• Anton Barten und Volker Böhm: Consumer Theory. In: Kenneth J. Arrow and Michael D. Intrilligator (Hrsg.): Handbook of Mathematical Economics. Bd. 2. North Holland, Amsterdam 1982, ISBN 978-0-444-86127-6, S. 382–429 (auch online: doi:10.1016/S1573-4382(82)02004-9).
• Friedrich Breyer: Mikroökonomik. Eine Einführung. 5. Aufl. Springer, Heidelberg u.a. 2011, ISBN 978-3-642-22150-7.
• Dean Corbae, Maxwell B. Stinchcombe und Juraj Zeman: An Introduction to Mathematical Analysis For Economic Theory and Econometrics. Princeton University Press, Princeton und Oxford 2009, ISBN 978-0-691-11867-3.
• Gerard Debreu: Theory of Value. An Axiomatic Analysis of Economic Equilibrium. Yale University Press, New Haven und London 1959.
• Harro Heuser, Lehrbuch der Analysis. Teil 2. 10. Aufl. Teubner, Stuttgart und Leipzig 1998, ISBN 3-519-42232-8.
• Geoffrey A. Jehle und Philip J. Reny: Advanced Microeconomic Theory. 3. Aufl. Financial Times/Prentice Hall, Harlow 2011, ISBN 978-0-273-73191-7.
• Donald W. Katzner: Static Demand Theory. Macmillan, New York 1970.
• David M. Kreps: Microeconomic Foundations I. Choice and Competitive Markets. Princeton University Press, Princeton 2012, ISBN 978-0-691-15583-8.
• Andreu Mas-Colell, Michael Whinston und Jerry Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, Oxford 1995, ISBN 0-195-07340-1.
• James C. Moore: Mathematical methods for economic theory. Bd. 2. Springer, Berlin u.a. 1999, ISBN 3-540-66242-1.
• James C. Moore: General equilibrium and welfare economics. An introduction. Springer, Berlin u.a. 2007, ISBN 978-3-540-31407-3 (auch online: doi:10.1007/978-3-540-32223-8).
• Eugene Silberberg: Hicksian and Marshallian demands. In: Steven N. Durlauf und Lawrence E. Blume (Hrsg.): The New Palgrave Dictionary of Economics. 2. Auflage. Palgrave Macmillan 2008, doi:10.1057/9780230226203.0731 (Online-Ausgabe).
• Efe A. Ok: Real Analysis with Economic Applications. Princeton University Press, Princeton 2007, ISBN 978-0-691-11768-3.
• Mark Voorneveld: Mathematical foundations for microeconomic theory: Preference, utility and choice. Skriptum, Stockholm School of Economics, 2009, Internet https://studentweb.hhs.se/courseweb/CourseWeb/Public/PhD501/0701/notes2.pdf, abgerufen am 5. Mai 2014.