Kugelwellentransformation

Kugelwellentransformationen (Englisch: spherical wave transformations) lassen die Form von Kugelwellen sowie die Gesetze von Optik und Elektrodynamik in allen Inertialsystemen invariant. Sie entsprechen der bereits im 19. Jahrhundert bekannten Gruppe der „Transformationen durch reziproke Radien“ oder der Gruppe der konformen Transformationen der Kugelgeometrie von Sophus Lie. Sie wurden 1909 von Harry Bateman und Ebenezer Cunningham erstmals benutzt und erhielten von Bateman ihren Namen. Da in Kugelwellentransformationen die Zeit als vierte Dimension im Sinne des Minkowski-Raumes benutzt wird, haben sie eine gewisse Analogie zu den Lorentz-Transformationen der speziellen Relativitätstheorie. Dabei zeigt sich, dass die konforme Gruppe die Lorentz-Gruppe und Poincaré-Gruppe als Untergruppen enthält, wobei letztere eine Symmetrie aller Naturgesetze einschließlich der Mechanik repräsentieren, während die konforme Gruppe nur gültig ist für bestimmte Bereiche wie die Elektrodynamik.

Ein Spezialfall der Lieschen Kugelgeometrie ist die ebenfalls im 19. Jahrhundert bereits bekannte „Transformation durch reziproke Richtungen“ oder Laguerre-Inversion, die erzeugender Operator der Gruppe der Laguerre-Transformationen ist. Sie bildet nicht nur Kugeln in Kugeln, sondern auch Ebenen in Ebenen ab. Wird hier die Zeit als vierte Dimension benutzt, ergibt sich eine enge Analogie der Laguerre-Gruppe zur Lorentz-Gruppe wie Élie Cartan oder Henri Poincaré zeigten.

Transformation durch reziproke Radien

Entwicklung im 19. Jahrhundert

Inversionen welche die Winkel von Kreisen erhalten wurden erstmals von Durrande (1820) besprochen, wobei Quetelet (1827) und Plücker (1828) die entsprechenden Transformationsformeln niederschrieben, mit $k$ als dem Inversionsradius:

$x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},$

Solche Inversionen wurden später als Transformationen durch reziproke Radien bezeichnet. Sie wurden bekannter als Thomson (1845, 1847) sie auf Kugeln mit Koordinaten $x,y,z$ anwendete, und damit Probleme der Elektrostatik lösen konnte. Joseph Liouville (1847, 1850) verdeutlichte ihre mathematische Bedeutung, indem er zeigte, dass sie zu den konforme Transformationen gehört. Sie erzeugt folgende quadratische Form:

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}\right)$.

Er selbst und in viel allgemeinerer Weise Sophus Lie (1871) stellten fest, dass die dazugehörige Transformationsgruppe je nach Wahl von $\lambda$ in verschiedene Typen unterteilt werden kann: $\lambda =1$ die Euklidische Gruppe der gewöhnlichen Bewegungen; $\lambda \neq 1$ Ähnlichkeitsabbildungen; und bei $\lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}$ ergeben sich die Transformationen durch reziproke Radien:

$x^{\prime }={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad y^{\prime }={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\quad z^{\prime }={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

Eine wesentliche Eigenschaft der konformen Transformationen ist, dass sie Winkel erhalten und Sphären in Sphären transformieren (siehe Konforme Gruppe, Möbiustransformation). Lie (1871) und andere wie Gaston Darboux (1878) erweiterten darüber hinaus die Gruppe auf $n$ Dimensionen, sodass:

$\delta x_{1}^{\prime 2}+\dots +\delta x_{n}^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x_{1}^{2}+\dots +\delta x_{n}^{2}\right)$.

Orientierte Kugeln

Eine weitere Methode zur Berechnung von Kreis- und Kugelproblemen war die Verwendung von rechtwinkligen Koordinaten zusammen mit dem Radius, was den Kugeln eine bestimmte Orientierung gab und beispielsweise von Lie (1871) im Rahmen der Lieschen Kugelgeometrie angewendet wurde. Darboux (1887) schrieb darüber hinaus die Transformation durch reziproke Radien in einer Form, wo aus dem Radius einer Kugel mit bestimmtem Vorzeichen der Radius der anderen Kugel bestimmt werden konnte:

${\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}},&r^{\prime }&={\frac {\pm k^{2}r}{x^{2}+y^{2}+z^{2}-r^{2}}}.\end{aligned}}$

Die Angabe der Koordinaten zusammen mit dem Radius war häufig verknüpft mit der sogenannten Minimalprojektion oder isotropen Projektion, sofern der Radius als eine zusätzliche rechtwinklige Raumkoordinate interpretiert wird. Ist also ein Kreis mit Koordinaten $x,y$ und dem Radius $r$ in $R_{2}$ gegeben, dann entsprechen sie den rechtwinkligen Koordinaten $x,y,z$ in $R_{3}$. Diese Methode war im Rahmen der Kreisgeometrie schon länger bekannt, und kann weiter unterteilt werden je nachdem die zusätzliche Koordinate imaginär oder reell ist: $z=ir$ findet sich bei Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867), Darboux (1872); $z=r$ findet sich bei Cousinery (1826), Druckenmüller (1842) und in der „Zyklographie“ Fiedlers (1882) weswegen sie auch „zyklographische Projektion“ genannt wird – siehe E. Müller (1910) für einen Überblick dieser Methoden. Bateman verwies dabei besonders auf Darboux (1872), wobei sich eine analoge Darstellung auch bei Lie (1871) und Klein (1893) findet. Gemäß Darboux und Klein seien sowohl die Mittelpunktskoordinaten als auch die Radien zweier Kugeln $x,y,z,r$ und $x',y',z',r'$ im dreidimensionalen Raum $S_{3}$ gegeben. Wenn sich die Kugeln gleichsinnig berühren, ist ihre Gleichung gegeben mit

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}-(r-r')^{2}=0$.

Wird $t=ir$ gesetzt, entsprechen sie den folgenden rechtwinkligen Koordinaten in einem vierdimensionalen Raum $S_{4}$:

$(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}+(t-t')^{2}=0$.

Bezug zur Lorentz-Transformation

Harry Bateman und Ebenezer Cunningham (1909) zeigten, dass die elektromagnetischen Gleichungen nicht nur lorentzinvariant, sondern im obigen Sinne auch skaleninvariant oder konform invariant sind. Durch Einführung der Variable $u=ict$ ($t$ ist die Zeit, $c$ die Lichtgeschwindigkeit) gemäß dem Minkowski-Raum ergibt sich:

$\delta x^{\prime 2}+\delta y^{\prime 2}+\delta z^{\prime 2}+\delta u^{\prime 2}=\lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}+\delta u^{2}\right)$.

Dieser Ausdruck ist invariant unter der 15-dimensionalen Gruppe von konformen Transformationen $G_{15}$ der Lieschen Kugelgeometrie, also Transformationen durch reziproke Radien. Da der Radius $r$ dieser Kugelgeometrie interpretiert wird als der Radius $ct$ einer expandierenden oder kontrahierenden Kugelwelle, und weil Kugelwellen in Kugelwellen transformiert werden, wurde sie von Bateman als „Kugelwellentransformation“ bezeichnet. Bateman bezog sich dabei auf Darbouxs Methode der isotropen Projektion und schrieb:

„When we use Darboux's representation of a point in $S_{4}$ by a spherical wave in $S_{3}$, the group $G_{15}$ becomes the group of spherical wave transformations which transform a spherical wave into a spherical wave. This group of transformations has been discussed by S. Lie; it is the group of transformations which transform lines of curvature on a surface enveloped by spherical waves into lines of curvature on the surface enveloped by the corresponding spherical waves.“

Analog zur Vorgehensweise von Liouville und Lie konnte Cunningham zeigen, dass diese Gruppe je nach Wahl von $\lambda$ weiter unterteilt werden kann:

(a) $\lambda =1$ enthält die Lorentz-Transformation, denn sie ist die Erweiterung der Euklidischen Gruppe der klassischen Mechanik zur 6-dimensionalen Lorentz-Gruppe oder 10-dimensionalen Poincaré-Gruppe $G_{10}$ mit Translationen.

(b) $\lambda \neq 1$ sind Skalen- oder Ähnlichkeitstransformationen. Sie entsprechen der Multiplikation der Lorentz-Transformation mit einem von $\lambda$ abhängigen Skalenfaktor. Mit $l={\sqrt {\lambda }}$ ergibt sich beispielsweise die von Poincaré (1905) gegebene Gestalt:

$x^{\prime }=\gamma l\left(x-vt\right),\quad y^{\prime }=ly,\quad z^{\prime }=lz,\quad t^{\prime }=\gamma l\left(t-x{\frac {v}{c^{2}}}\right)$.

Wird $l$ jedoch definitiv gesetzt, ist die Gruppeneigenschaft nur noch bei $l=1$ (die Lorentz-Gruppe) gegeben, wie von Poincaré und Einstein gezeigt wurde. Nur diese ist verträglich mit dem Relativitätsprinzip für alle Naturgesetze, während die Gruppe der konformen und Ähnlichkeitstransformationen mit verschiedenem $l$ nur einzelne Gebiete wie Optik und Elektrodynamik symmetrisch abbildet.

(c) Bei $\lambda =k^{4}/\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}\right)^{2}$ ergibt sich schließlich die allgemeinste Variante, nämlich die konforme Gruppe der Transformationen durch reziproke Radien der Lieschen Kugelgeometrie, die Inversionen in eine Hypersphäre darstellen:

${\begin{aligned}x^{\prime }&={\frac {k^{2}x}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\quad &z^{\prime }&={\frac {k^{2}z}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},\\y'&={\frac {k^{2}y}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}},&u^{\prime }&={\frac {k^{2}u}{x^{2}+y^{2}+z^{2}+u^{2}}}.\end{aligned}}$

Sie werden zu reellen Kugelwellentransformationen, wenn der reelle Radius $ct$ statt $u=ict$ benutzt wird, wodurch $x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}$ im Nenner gegeben ist. Bateman und Cunningham diskutierten auch die Möglichkeit, dass konforme Transformationen den Übergang in konstant beschleunigte Bezugssysteme ermöglichen, was von ihnen und späteren Autoren allerdings bezweifelt wurde. Felix Klein (1921) verwies auf den engen Zusammenhang der Methoden Batemans und Cunninghams und den Methoden der projektiven Geometrie, jedoch bemerkte er wie auch Einstein, dass die konforme Gruppe im Vergleich zur Lorentz-Gruppe nur eingeschränkt gültig ist:

„Für die Physik hat diese $G_{15}$ allerdings nicht dieselbe Bedeutung wie ihre Untergruppe, die $G_{10}$ der Lorentzgruppe. Es liegt dies daran, daß nur letztere eine Verallgemeinerung der $G_{10}$ der klassischen Mechanik ist (in die sie übergeht, wenn man die Lichtgeschwindigkeit unendlich setzt), eine allgemeine Physik aber ebensowohl die Mechanik wie die Elektrodynamik umfassen muß. Einstein drückte dieses Sachverhältnis mir gegenüber gelegentlich so aus: Die Transformation durch reziproke Radien wahrt zwar die Form der Maxwellschen Gleichungen, nicht aber den Zusammenhang zwischen Koordinaten und Maßergebnissen von Maßstäben und Uhren.“

Das Konzept der konformen Abbildung hat in Spezialgebieten der modernen Physik wieder an Bedeutung gewonnen, besonders in konformen Feldtheorien wie einigen Quantenfeldtheorien.

Transformation durch reziproke Richtungen

Entwicklung im 19. Jahrhundert

Wie geschildert, wurden im Zusammenhang mit konformen Transformationen bereits Koordinaten zusammen mit Radien von bestimmtem Vorzeichen benutzt, wodurch Kreise und Kugeln eine bestimmte Orientierung bekamen. Es ergab sich nun eine spezielle Transformation bzw. Geometrie innerhalb der Lieschen Kugelgeometrie, welche hauptsächlich von Edmond Laguerre (1880) formuliert und von ihm als „Transformation durch reziproke Richtungen“ bezeichnet wurde. Anschließend legte er bis 1885 die Grundlagen einer Geometrie orientierte Kugeln und Flächen. Laut Darboux und Bateman wurden ähnliche Zusammenhänge schon vorher diskutiert von Albert Ribaucour (1870) und Lie (1871). Stephanos (1881) zeigte, dass Laguerres Geometrie ein Spezialfall der Lieschen Kugelgeometrie ist. Zur Darstellung von Laguerres orientierten Kugeln benutzte er überdies Quaternionen (1883).

Linien, Kreise, Flächen oder Kugeln die in einem bestimmten Sinne zu durchlaufen sind, werden als Halbgerade (Direktion), Halbkreis (Zyklus), Halbfläche, Halbkugel usw. bezeichnet. Als Tangente wird die Halbgerade bezeichnet, die einen Zyklus an einem Punkt schneidet, sofern beide Elemente an diesem Berührungspunkt die gleicher Richtung haben. Die Transformation durch reziproke Richtungen bildet nun orientierte Kugeln unter sich als auch orientierte Ebenen unter sich ab und lässt die „Tangentialentfernung“ zweier Zyklen (der Abstand zwischen den Berührungspunkten je einer ihrer gemeinsamen Tangenten) invariant, und konserviert auch die Krümmungslinien. Laguerre (1882) transformierte zwei Zyklen unter folgenden Bedingungen: Ihre Potenzgerade ist die Transformationsaxe, und ihre gemeinsamen Tangenten sind parallel zu zwei fixierten Richtungen der ineinander transformierten Halbgeraden (diese spezielle Methode nannte er „Transformation durch reziproke Halbgeraden“). Wenn $R$ und $R'$ die Radien der Zyklen sind, $D$ und $D'$ die Entfernungen ihrer Zentren zur Axe, ergibt sich:

$D^{2}-D^{\prime 2}=R^{2}-R^{\prime 2},\quad D-D'=\alpha (R-R'),\quad D+D'={\frac {1}{\alpha }}(R+R'),$

mit der Transformation

${\begin{aligned}D'&={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\\R'&={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.\end{aligned}}$

Auch Darboux (1887) leitete aus der Transformation durch reziproke Richtungen dieselben Formeln in etwas anderer Notation ab (mit $z=D$ und $k=\alpha$), und benutzte darüber hinaus die $x$- und $y$-Koordinaten:

${\begin{aligned}x'&=x,\quad &z'&={\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}z-{\frac {2kR}{1-k^{2}}},\\y'&=y,&R'&={\frac {2kz}{1-k^{2}}}-{\frac {1+k^{2}}{1-k^{2}}}R,\end{aligned}}$

mit

${\begin{aligned}z'+R'&={\frac {1+k}{1-k}}(z-R),\\z'-R'&={\frac {1-k}{1+k}}(z+R),\end{aligned}}$

wodurch er die Beziehung erhielt:

$x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}-R^{\prime 2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-R^{2}$.

Wie erwähnt können orientierte Kugeln in $R_{3}$ durch Punkte in einem vierdimensionalen Raum $S_{4}$ mittels isotroper (Minimal-)Projektion dargestellt werden, was für Laguerres Geometrie besonders bedeutsam ist. E. Müller (1898) legte seiner Darstellung dem Umstand zugrunde, dass sich "die orientierten Kugeln eindeutig auf die Punkte einer ebenen Mannigfaltigkeit von vier Dimensionen abbilden lassen" (wobei er dies mit der "Zyklograpie" von Fiedler verglich). Ebenso untersuchte er systematisch den Zusammenhang zwischen den Transformationen durch reziproke Radien („Inversion an einer Kugel“) und den Transformationen durch reziproke Richtungen („Inversion an einem ebenen Kugelkomplex“). Basierend auf Müllers Arbeit untersuchte Smith (1900) dieselben Transformationen und die zusammenhängende "Gruppe der Geometrie der reziproken Richtungen". Mit Bezug auf Kleins (1893) Behandlung der Minimalprojektion verwies er darauf, dass diese Gruppe isomorph ist zur Gruppe aller Verschiebungen und Symmetrietransformationen im Raum von vier Dimensionen. Smith erhielt dieselbe Transformation wie Laguerre und Darboux in etwas verschiedener Notation:

$p'={\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}R,\quad R'={\frac {2\kappa }{\kappa ^{2}-1}}p-{\frac {\kappa ^{2}+1}{\kappa ^{2}-1}}R$

mit den Beziehungen:

$\kappa ={\frac {R'-R}{p'-p}},\quad p^{\prime 2}-p^{2}=R^{\prime 2}-R^{2}.$

Laguerre-Inversion und Lorentz-Transformation

1905 zeigten Henri Poincaré und Albert Einstein, dass die Lorentz-Transformation der speziellen Relativitätstheorie (mit $c=1$)

$x'={\frac {x-vt}{\sqrt {1-v^{2}}}},\quad y'=y,\quad z'=z,\quad t'={\frac {t-vx}{\sqrt {1-v^{2}}}}$

den Ausdruck $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$ invariant lässt. Einstein verwies darauf, dass dadurch eine Kugelwelle in einem Inertialsystem eine Kugelwelle in allen anderen Inertialsystemen bleibt. Poincaré zeigte auch, dass die Lorentz-Transformation als eine Rotation in einem vierdimensionalen Raum aufgefasst werden kann, und Hermann Minkowski konnte diese Einsicht wesentlich vertiefen (siehe Geschichte der speziellen Relativitätstheorie).

Danach wurde die Beziehung zwischen der Transformation durch reziproke Richtungen oder Halbgeraden – später als Laguerre-Inversion bezeichnet – und der Lorentz-Transformation von verschiedenen Autoren bemerkt. Bateman (1910) argumentierte, dass diese Transformation (welche er Ribaucour zuschrieb) „identisch“ ist mit der Lorentz-Transformation. 1912 schrieb er, dass sie besonders in der von Darboux (1887) gegebenen Gestalt formal der Lorentz-Transformation in $z$-Richtung entspricht, sofern $R=ct$, $R'=ct'$, und die $k$-Terme durch Geschwindigkeiten ersetzt werden. Ebenso entwarf er geometrische Darstellungen der relativistischen Lichtsphären mittel Kugelsystemen. Allerdings erwiderte Kubota (1925) gegenüber Bateman, dass die Laguerre-Inversion involutorisch ist im Gegensatz zur Lorentz-Transformation. Um beide äquivalent zu machen sei es notwendig, die Laguerre-Inversion mit einer Richtungsumkehr der Zykeln zu kombinieren.

Die Beziehung zwischen der Lorentz-Transformation und der Laguerre-Inversion kann folgendermaßen demonstriert werden (siehe H.R. Müller (1948) für eine analoge Formulierung in etwas anderer Notation). Laguerre's Inversionsformeln von 1882 sind

$D'={\frac {D\left(1+\alpha ^{2}\right)-2\alpha R}{1-\alpha ^{2}}},\quad R'={\frac {2\alpha D-R\left(1+\alpha ^{2}\right)}{1-\alpha ^{2}}}.$

wird nun gesetzt

${\frac {2\alpha }{1+\alpha ^{2}}}=w$

so folgt

${\frac {1-\alpha ^{2}}{1+\alpha ^{2}}}={\sqrt {1-w^{2}}},\quad {\frac {2\alpha }{1-\alpha ^{2}}}={\frac {w}{\sqrt {1-w^{2}}}},$

Dadurch und durch setzen von $D=x,D'=x',R=t,R'=t'$ nimmt die Laguerre-Inversion die Form einer Lorentz-Transformation an, mit dem Unterschied dass der Ausdruck $t-vx$ der gewöhnlichen Lorentz-Transformation umgekehrt wird nach $wx-t$:

$x'={\frac {x-wt}{\sqrt {1-w^{2}}}},\quad t'={\frac {wx-t}{\sqrt {1-w^{2}}}}$.

Gemäß Müller ergibt sich die gewöhnliche Lorentz-Transformation aus einer geraden Anzahl solcher Laguerre-Inversionen welche das Vorzeichen ändern. So kann zuerst eine Inversion in die Ebene $\pi _{1}$ durchgeführt werden die gegenüber Ebene $\pi$ in einem bestimmten Winkel geneigt ist, und daraufhin folgend eine weitere Inversion nach $\pi$. Siehe dazu den Abschnitt #Laguerre-Gruppe isomorph zur Lorentz-Gruppe für weitere Details zur Beziehung der Laguerre-Inversion zu anderen Varianten von Laguerre-Transformationen.

Lorentz-Transformation in der Laguerre-Geometrie

Timerding (1911) benutzte Laguerres Konzept der orientierten Kugeln um die Lorentz-Transformation abzuleiten und darzustellen. Unter Benutzung einer Kugel mit Radius $r$ und der Entfernung $x$ ihres Mittelpunkts von der Zentralebene gelangte er zu folgenden Relationen zwischen dieser und einer entsprechenden zweiten Kugel:

$x'+r'={\sqrt {\frac {1+\lambda ^{2}}{1-\lambda ^{2}}}}(x+r),\quad {\frac {x'-r'}{x'+r'}}={\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\cdot {\frac {x-r}{x+r}}$

woraus die Transformation folgt

${\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot x'=x-\lambda r,\quad {\sqrt {1-\lambda ^{2}}}\cdot r'=r-\lambda x.$

Durch Setzen von $\lambda =v/c$ und $r=ct$ wird daraus die Lorentz-Transformation.

Timerding und Bateman folgend analysierte Ogura (1913) eine Laguerre-Transformation von der Form:

$\alpha '=\alpha {\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}-R{\frac {\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}},\quad \beta '=\beta ,\quad \gamma '=\gamma ,\quad R'=\alpha {\frac {-\lambda }{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}+R{\frac {1}{\sqrt {1-\lambda ^{2}}}}$,

welche zur Lorentz-Transformation wird durch

${\begin{aligned}x&=\alpha ,&y&=\beta ,&z&=\gamma ,&R&=ct,\\x'&=\alpha ',&y'&=\beta ',&z'&=\gamma ',&R'&=ct',\end{aligned}}$    $\lambda ={\frac {v}{c}}$.

Er erklärte, dass die Laguerre-Transformation in der Kugel-Mannigfaltigkeit äquivalent ist zur Lorentz-Transformation in der Raumzeit-Mannigfaltigkeit.

Laguerre-Gruppe isomorph zur Lorentz-Gruppe

Lie (1871) erkannte, dass die Gruppe der infinitesimalen Ähnlichkeitstransformationen im Raum der Gruppe von Berührungstransformationen der Ebenen entsprechen, die Kreise in Kreise transformieren. Diese Gruppe wurde von Smith (1900) als „Gruppe der Geometrie der reziproken Richtungen“ bzeichnet, und enthält was von Blaschke (1910) als die „erweiterte Laguerre-Gruppe“ bezeichnet wurde. Dem folgend untersuchte auch Coolidge (1916) deren Eigenschaften im Rahmen der Laguerre-Geometrie von orientierten Kugeln und Ebenen. Wenn Ähnlichkeiten ausgeschlossen werden, denn reduziert sich die erweiterte Laguerre-Gruppe zur (engeren) Laguerre-Gruppe welche Bewegungen und Umlegungen beinhaltet – wenn im Folgenden also von der Laguerre-Gruppe die Rede ist, dann ist damit die engere Laguerre-Gruppe gemeint. Die Laguerre-Gruppe ist wiederum Teil der weitergehenden Gruppe die Tangentialentfernungen konserviert, die von Scheffers (1905) als „äquilonge Gruppe“ bezeichnet wurde.

Wie oben bereits angedeutet, können diese Transformationen durch Minimal-(isotrope)-Projektion mit imaginärer Radiuskoordinate, oder durch zyklographische Projektion mit realer Radiuskoordinate im Rahmen der darstellenden Geometrie, dargestellt werden. Sie können weitergehend unterteilt werden in „eigentliche Laguerre-Transformationen“ die sich auf Bewegungen beziehen und sowohl die Tangentialentfernung als auch das Vorzeichen erhalten; oder „uneigentliche Laguerre-Transformationen“ die sich auf orientierungsumkehrende Bewegungen („Umlegungen“) beziehen und die Tangentialentfernung erhalten aber das Vorzeichen umkehren. Die Laguerre-Inversion (also die Transformation welche von Laguerre gegeben wurde) ist involutorisch und gehört somit zu den uneigentlichen Laguerre-Transformationen. Aber sie bleibt von grundlegender Bedeutung, da jede Laguerre-Transformation aus höchstens vier Laguerre-Inversionen erzeugt werden kann und jede direkte Laguerre-Transformation das Produkt zweier involutorischer Transformationen ist, weshalb die gesamte Laguerre-Gruppe aus Laguerre-Inversionen erzeugt werden kann.

Es wurde überdies festgestellt, dass die Laguerre-Gruppe tatsächlich isomorph zur Lorentz-Gruppe ist, da beide Ausdrücke wie $x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}$ invariant lassen. Beispielsweise wies Cartan (1912) in einer kurzen Arbeit darauf hin, und erweiterte diese Zusammenhänge 1915 in der französischen Version der Enzyklopädie der mathematischen Wissenschaften. Auch Poincaré (1912) schrieb:

„Hr. Cartan hat kürzlich eine kurioses Beispiel gegeben. Wir kennen die Bedeutung welche die sogenannte Lorentz-Gruppe in der mathematischen Physik hat; es ist diese Gruppe auf die sich die neuen Ideen über das Relativitätsprinzip und der Dynamik des Elektrons gründen. Andererseits hat Laguerre einst eine Gruppe von Transformationen in die Geometrie eingeführt, die Kugeln in Kugeln verwandelt. Diese zwei Gruppen sind isomorph, sodass in mathematischer Hinsicht diese beiden Theorien, die eine physikalisch und die andere geometrisch, keinen essentiellen Unterschied aufweisen.“

– Henri Poincaré, 1912

Weitere Autoren die darauf hinwiesen sind beispielsweise Coolidge (1916), Klein & Blaschke (1926), Blaschke (1929), H.R. Müller, Kunle und Fladt (1970), Benz (2005), Pottmann, Grohs, Mitra (2009).

Siehe auch

• Geschichte der Lorentz-Transformation

Originalquellen

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• Bateman, Harry: The Transformation of the Electrodynamical Equations. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 8. Jahrgang, 1909, S. 223–264.  (submitted 1909, published 1910)

• Bateman, Harry: The Physical Aspect of Time. In: Manchester Memoirs. 54. Jahrgang, Nr. 14, 1910, S. 1–13. 

• Bateman, Harry: The Relation between Electromagnetism and Geometry. In: Philosophical Magazine. 20. Jahrgang, 1910, S. 623–628 (archive.org). 

• Bateman, Harry: Some geometrical theorems connected with Laplace’s equation and the equation of wave motion. In: American Journal of Mathematics. 345. Jahrgang, 1912, S. 325–360 (archive.org).  (submitted 1910, published 1912)

• Bateman, Harry: The mathematical analysis of electrical and optical wave motion on the basis of Maxwell's equations. University Press, Cambridge 1915 (archive.org). 

• Cunningham, Ebenezer: The principle of Relativity in Electrodynamics and an Extension Thereof. In: Proceedings of the London Mathematical Society. 8. Jahrgang, 1909, S. 77–98.  (submitted 1909, published 1910)

• Cunningham, Ebenezer: The principle of relativity. University Press, Cambridge 1914 (archive.org). 

• Darboux, Gaston: Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères. Band 1, 1872, S. 323–392 (google.com). 

• Darboux, Gaston: Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux. Troisième partie. Band 7, 1878, S. 275–348 (archive.org). 

• Darboux, Gaston: Leçons sur la théorie générale des surfaces. Première partie. Gauthier-Villars, Paris 1887 (archive.org). 

• Klein, Felix: Einleitung in die höhere Geometrie I. Göttingen 1893 (archive.org). 

• Klein, Felix: Über die geometrischen Grundlagen der Lorentzgruppe. In: Gesammelte mathematische Abhandlungen. 1. Jahrgang, S. 533–552. 

• Kubota, Tadahiko: Über die (2-2)-deutigen quadratischen Verwandtschaften V. In: Science Reports of the Tôhoku Imperial University. 14. Jahrgang, 1925, S. 155–164. .

• Müller, Hans Robert: Zyklographische Betrachtung der Kinematik der speziellen Relativitätstheorie. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. 52. Jahrgang, 1948, S. 337–335 (uni-goettingen.de). 

• Laguerre, Edmond: Sur la transformation par directions réciproques. In: Comptes rendus. 92. Jahrgang, 1881, S. 71–73. 

• Laguerre, Edmond: Transformations par semi-droites réciproques. In: Nouvelles annales de mathématiques. 1. Jahrgang, 1882, S. 542–556. 

• Laguerre, Edmond: Œuvres de Laguerre, vol. 2. Gauthier-Villars, Paris 1905, Collection of papers published between 1880 and 1885, S. 592–684. 

• Lie, Sophus: Ueber diejenige Theorie eines Raumes mit beliebig vielen Dimensionen, die der Krümmungs-Theorie des gewöhnlichen Raumes entspricht. In: Göttinger Nachrichten. 1871, S. 191–209 (google.com). 

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• Liouville, Joseph: Application de l'analyse à la Géométrie. Hrsg.: Gaspard Monge. Bachelier, Paris 1850, Extension au cas des trois dimensions de la question du tracé géographique, S. 609–616. 

• Müller, Emil: Die Geometrie orientierter Kugeln nach Grassmann'schen Methoden. In: Monatshefte für Mathematik und Physik. 9. Jahrgang, Nr. 1, 1898, S. 269–315 (literature.at). 

• Ogura, Kinnosuke: On the Lorentz Transformation with some Geometrical Interpretations. In: Science Reports of the Tôhuku University. 2. Jahrgang, 1913, S. 95–116. 

• Poincaré, Henri: Sur la dynamique de l'électron. In: Rendiconti del Circolo matematico di Palermo. 21. Jahrgang, 1906, S. 129–176. 

• Ribaucour, Albert: Sur la déformation des surfaces. In: Comptes rendus. 70. Jahrgang, 1870, S. 330–333. 

• Smith, Percey F.: On a Transformation of Laguerre. In: Annals of Mathematics. 1. Jahrgang, 1900, S. 153–172 (archive.org). 

• Stephanos, C.: Sur la géométrie des sphères. In: Comptes rendus. 92. Jahrgang, 1881, S. 1195–1197 (bnf.fr). 

• Stephanos, C.: Sur la théorie des quaternions. In: Mathematische Annalen. 7. Jahrgang, 1883, S. 589–592 (uni-goettingen.de). 

• Timerding, H. E.: Über ein einfaches geometrisches Bild der Raumzeitwelt Minkowskis. In: Jahresbericht der deutschen Mathematiker-Vereinigung. 21. Jahrgang, 1912, S. 274–285 (uni-goettingen.de). 

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