Moderne Algebra

Moderne Algebra ist ein einflussreiches zweibändiges Lehrbuch der Algebra von Bartel Leendert van der Waerden, das zuerst 1930/31 bei Julius Springer erschien. Es beruht auf Vorlesungen von Emmy Noether in Göttingen und Emil Artin in Hamburg, die van der Waerden – er war bei Erscheinen des Buches erst 27 Jahre alt und 1924 nach Göttingen gekommen – besuchte. Es gilt als erstes modernes Lehrbuch der Algebra, basierend auf der abstrakten, axiomatischen und strukturbetonten Zugangsweise der Hilbert-Noether Schule in Göttingen, die schon von Richard Dedekind Ende des 19. Jahrhunderts begonnen wurde. Damit unterscheidet es sich deutlich von älteren Lehrbüchern der Algebra, wie insbesondere dem von Heinrich Weber, bei denen noch die Theorie der Gleichungen eine große Rolle spielte, markiert einen Wendepunkt in der Lehre der Algebra und war mehrere Jahrzehnte ein Standardlehrbuch.

Hauptteil

Als eine der Quellen des Buches gibt Van der Waerden an: Algebra Vorlesung von Emil Artin (Sommersemester 1926 Hamburg), ein Seminar Idealtheorie in Hamburg im Wintersemester 1926/27 (Emil Artin, Wilhelm Blaschke, Otto Schreier), Vorlesungen von Emmy Noether über Gruppentheorie (Wintersemester 1924/25 in Göttingen) und Hyperkomplexe Zahlen (Wintersemester 1927/28 in Göttingen). Emmy Noether, das Haupt der Algebraiker-Schule in Göttingen in den 1920er Jahren, veröffentlichte selbst kein Algebra-Lehrbuch und Emil Artin erst viel später. Ursprünglich wollte Artin ein Lehrbuch der Algebra schreiben und spannte van der Waerden dafür ein, der ihm auch das erste und zweite Kapitel vorlegte und auf die von Artin zugesagten Kapitel wartete. Bald darauf gab Artin jedoch seine Absicht auf. Van der Waerden arbeitete allein an dem Buch, als er (ab 1927) Professor in Groningen war. Dazwischen war er 1929 als Gastprofessor in Göttingen, wo er heiratete. Er stand in Groningen auch in ständigem Kontakt mit Emmy Noether, die ihn zum Abschluss des Buches drängte.

Die 4. Auflage 1955 hatte nur noch Algebra im Titel, einem Vorschlag von Heinrich Brandt in der Besprechung der dritten Auflage 1955 folgend.

Auch in den USA, wo nach den Worten von Garrett Birkhoff die Algebra bei Erscheinen der 1. Auflage bis dahin gegenüber der Analysis eine untergeordnete Rolle spielte, übte das Buch insbesondere bei jüngeren Mathematikern von Anfang an einen großen Einfluss aus in der Etablierung der Algebra als aktives Forschungsgebiet. Das erste Lehrbuch der modernen Algebra in den USA war noch vor der englischen Übersetzung von van der Waerden´s Buch der Survey of Modern Algebra (1941) von Birkhoff und Saunders MacLane. Als erste zusammenhängende Darstellung der damals in der Algebra führenden deutschen algebraischen Schule (wozu neben den Erwähnten auch Mathematiker wie Helmut Hasse, Max Deuring, Wolfgang Krull, Richard Brauer, Otto Schreier und Ernst Steinitz gehörten) übte van der Waerden´s Buch auch einen großen Einfluss auf Nicolas Bourbaki in Frankreich aus. Die Mathematikergruppe Bourbaki entwickelte die Auffassung der Mathematik als Theorie von Strukturen nach dem Krieg weiter.

Es gab im Laufe der Jahre einige Änderungen im Text. In der zweiten Auflage entfernte van der Waerden die Abschnitte über Wohlordnung und transfinite Induktion – sie wurden in der 3. Auflage wieder aufgenommen – und mied mengentheoretische Konzepte (Auswahlaxiom, Wohlordnungssatz) in der Körpertheorie aufgrund der damals andauernden Diskussionen über die Grundlagen der Mathematik (Brouwer und der Intuitionismus). Im Vorwort drückte er aber sein Bedauern aus, dass ein vollständig finitistischer Zugang unter Vermeidung aller nichtkonstruktiver Existenzbeweise ein zu großes Opfer gewesen wäre. Neuere Ergebnisse wie die Bewertungstheorie und in der Algebrentheorie (früher Hyperkomplexe Zahlen) kamen in der 2. und 3. Auflage hinzu. In der 4. Auflage kamen die Kapitel über Algebraische Funktionen einer Variablen und Topologische Algebra hinzu und die Forschungen von Nathan Jacobson (Radikal-Theorie) und Wolfgang Krull (Idealtheorie) flossen ein. Van der Waerden hatte sich inzwischen intensiv mit einem Neuaufbau der Algebraischen Geometrie befasst, was eine Quelle für viele Ergänzungen war.

Für die 7. Auflage 1966 ergänzte van der Waerden ein Kapitel Vektor- und Tensorräume, da das Buch wie er im Vorwort sagte, zunehmend als einführendes Lehrbuch für die Algebra insgesamt benutzt wurde, während er ursprünglich nur eine Einführung in die Moderne Algebra geben wollte und Grundlagen der Linearen Algebra (wie Determinantentheorie) voraussetzte. Eine Umordnung der beiden Bände, die den ersten Band zu einem Text zur Einführung in die Algebra machen sollten (bis auf Determinantentheorie), hatte er aber schon in der zweiten Auflage vollzogen.

Das Lehrbuch wurde bis 2003 neu herausgegeben (in den 1970er Jahren bei Springer in der Reihe Heidelberger Taschenbücher), aber wurde in der Lehre zunehmend von anderen Algebra-Lehrbüchern, die auch den kategorientheoretischen Zugang benutzen, verdrängt, insbesondere dem Lehrbuch von Serge Lang (Algebra, Addison Wesley, zuerst 1965).

Inhaltsverzeichnis

Band 1 enthält in der 9. Auflage die Kapitel Zahlen und Mengen, Gruppen, Ringe und Körper, Vektorräume und Tensorräume, Ganzrationale Funktionen, Körpertheorie, Fortsetzung der Gruppentheorie, Die Theorie von Galois, Ordnung und Wohlordnung von Mengen, Unendliche Körpererweiterungen, Reelle Körper.

Band 2 enthält in 9. Auflage die Kapitel Lineare Algebra, Algebren, Darstellungstheorie der Gruppen und Algebren, Allgemeine Idealtheorie der kommutativen Ringe, Theorie der Polynomideale, Ganze algebraische Größen, Bewertete Körper, Algebraische Funktionen einer Variablen, Topologische Algebra (Kapitel 20).

Ausgaben

• Moderne Algebra. Unter Benutzung der Vorlesungen von E. Artin und E. Noether, 1. Auflage, 2 Bände, Berlin: Verlag Julius Springer, 1930, 1931, (243 und 216 Seiten), Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, doi:10.1007/978-3-662-41906-9, doi:10.1007/978-3-662-42016-4
  • 2. Auflage, 1937, 1940, doi:10.1007/978-3-662-36434-5, (doi:10.1007/978-3-662-41905-2)
  • 3. Auflage, 1951, 1955 (doi:10.1007/978-3-662-22183-9)
  • 4. Auflage als Algebra, 2 Bände, 1955 (doi:10.1007/978-3-662-01248-2), 1959
  • Band 1 erschien 1966 in 7. Auflage, 1971 in 8. Auflage und 1993 in 9. Auflage, Band 2 1993 in 6. Auflage
• Englische Ausgabe: Modern Algebra. In part a development from lectures of E. Artin and E. Noether, New York: Ungar 1949, 1950, Übersetzer Fred Blum in Band 1 und Theodore J. Benac in Band 2, mit Ergänzungen und Überarbeitungen von van der Waerden, 2. Auflage 1953, Ausgabe von 1970 als Algebra (Übersetzer Fred Blum, John R. Schulenberger). Zuletzt ist die englische Übersetzung 2003 beim Springer Verlag erschienen (Geleitwort Jürgen Neukirch).
• Es erschienen auch Übersetzungen ins Russische (Nauka 1979), Japanische (3 Bände, Shoko Shuppansha, Tokio 1959), Chinesische und andere Sprachen.

Literatur

• Review der ersten Auflage von Oystein Ore, Bulletin AMS, Band 38, 1932, S. 327-329, Online
• Review der zweiten Auflage von Ore, Bulletin AMS, Band 44, 1938, S. 320, Online
• Review der dritten deutschen Auflage und der ersten englischen Auflage von Daniel Zelinsky, Bulletin AMS, Band 57, 1951, S. 206, Online
• W. Thimm, Besprechung der 2. Auflage (Band 1) in Jahresbericht DMV, Band 49, 1939, S. 81, Online
• Gottfried Köthe, Besprechung der 2. Auflage (Band 2) in Jahresbericht DMV, Band 51, S. 74, Online
• Heinrich Brandt, Besprechung der dritten Auflage (Band 1), Jahresbericht DMV, Band 55, 1952, S. 47-48, Online
• Karl-Heinz Schlote B. L. van der Waerden, Moderne Algebra in Ivor Grattan-Guinness Landmark writings in western mathematics 1640-1940, Elsevier 2005
• B. L. van der Waerden On the sources of my book Moderne Algebra, Historia Mathematica, Band 2, 1975, S. 31–40
• Interview von Van der Waerden mit Yvonne Dold-Samplonius, Notices AMS, März 1997, Online
• Saunders MacLane Van der Waerden´s Modern Algebra, Notices AMS, März 1997