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Version vom 25. November 2015, 10:39 Uhr

In den mathematischen Teilgebieten der Kategorientheorie und der Abstrakten Algebra versteht man unter einem Subquotienten ein Quotientenobjekt eines Unterobjekts.

In der Sprache der Gruppentheorie ist ein Unterobjekt eine Untergruppe und ein Quotientenobjekt eine Quotientengruppe (auch Faktorgruppe genannt): Damit ist ein Subquotient einer Gruppe $G$ das Bild einer Untergruppe von $G$ unter einem Gruppenhomomorphismus.

Der Begriff Subquotient findet Anwendung u. a. bei der Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen, insbesondere bei den sporadischen Gruppen.

Definition

Gruppentheorie

Ist $G$ eine Gruppe, $G'$ eine Untergruppe von $G$ und $G''$ ein Normalteiler von $G'$ , in Zeichen

G\geq G'\vartriangleright G'',

dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe) $H:=G'/G''$ einen Subquotienten von $G$ .

In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie

$G$ involviert $H$ ^[1]
$H$ is involved in $G$ ^[2]

für denselben Sachverhalt.

Bemerkung

Da der Subquotient über einen Homomorphismus definiert ist, kann bei Subquotienten die Gleichheit nicht schärfer als bis auf Isomorphie definiert werden.

Modultheorie

Sei $R$ ein Ring mit 1. Bei den $R$ -Moduln gibt es $R$ -Untermoduln und $R$ -Quotientenmoduln (Faktormoduln). Ganz analog wie bei den Gruppen sind die $R$ -Subquotienten definiert.

Die Begriffsbildung gilt auch bei nicht-kommutativem Ring und links/rechts-seitigen Moduln über diesem Ring.

Endliche Objekte

Haben alle Objekte endliche Kardinalitäten, dann gibt es Formeln, die diese mit Indexen in Zusammenhang bringen (s. Satz von Lagrange). Unter den obigen Bezeichnungen ist wegen $[H:1]=[G':G'']$

[G:1]=[G:G']\cdot [H:1]\cdot [G'':1]

und insbesondere $|H|\leq |G|.$

Halbordnung

Die Relation »ist Subquotient von« ist eine Ordnungsrelation, und zwar eine Halbordnung.

Reflexivität

$G/\{1\}$ ist Subquotient von $G$ .

Transitivität

Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.

Beweis für Gruppen

Sei $G'/G''$ Subquotient von $G$ , ferner $H:=G'/G''$ und $\phi \colon G'\to H$ der kanonische Homomorphismus. Ist nun $H\geq H'\vartriangleright H''$ , also $H'/H''$ Subquotient von $H$ , dann ist zunächst

{\begin{array}{ccccccccc}G&\geq &G'&\geq &\phi ^{-1}(H')&\geq &\phi ^{-1}(H'')&\vartriangleright &G''\\&\phi \!:&{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }&&{\Big \downarrow }\\&&H&\geq &H'&\vartriangleright &H''&\vartriangleright &\{1\}\\\end{array}}

mit $\phi \!:g\mapsto g\,G''$ jeweils surjektiv.

Nun sind die Urbilder $\phi ^{-1}(H')$ und $\phi ^{-1}(H'')$ Untergruppen von $G'$ , die $G''$ enthalten. Ferner ist $\phi (\phi ^{-1}(H'))=H'$ und $\phi (\phi ^{-1}(H''))=H''$ , da alle $h\in H$ ein Urbild in $G'$ haben. Überdies ist $\phi ^{-1}(H'')$ ein Normalteiler von $\phi ^{-1}(H')$ . Damit ist der Subquotient $H'/H''$ von $H$ als $H'/H''\cong \phi ^{-1}(H')/\phi ^{-1}(H'')$ ein Subquotient von $G$ .^[3]

Antisymmetrie

Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie gleich.

Beweis

Ist $G$ endlich, dann lässt sich die Wechselbeziehung wegen $|H|\leq |G|\leq |H|$ , also $|H|=|G|$ , nur aufrecht erhalten mit $|G|=|G'|,|G''|=1$ und $|H|=|H'|,|H''|=1$ , woraus $G\cong H$ folgt. Gemäß der obigen Bemerkung entspricht dies der Gleichheit.

Einzelnachweise

↑ Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB) S. 19
↑ Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 91, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).
↑ Die Noether'schen Isomorphie-Sätze

[1] Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen (PDF, 131 kB) S. 19

[2] Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. Band 69, 1982, S. 91, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).

[3] Die Noether'schen Isomorphie-Sätze

[1]

[2]

[3]

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 In der Sprache der [[Gruppentheorie]] ist ein Unterobjekt eine [[Untergruppe]] und ein Quotientenobjekt eine [[Quotientengruppe]] (auch [[Faktorgruppe]] genannt): Damit ist ein Subquotient einer Gruppe <math>G</math> das Bild einer Untergruppe von <math>G</math> unter einem [[Gruppenhomomorphismus]].
-Der Begriff Subquotient findet u.&nbsp;a. Anwendung bei der Klassifikation der [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], insbesondere bei den [[Sporadische Gruppe|sporadischen Gruppen]].
+Der Begriff Subquotient findet Anwendung u.&nbsp;a. bei der Klassifikation der [[Endliche einfache Gruppe|endlichen einfachen Gruppen]], insbesondere bei den [[Sporadische Gruppe|sporadischen Gruppen]].
 ==Definition==
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 Ist <math>G</math> eine Gruppe, <math>G'</math> eine Untergruppe von <math>G</math> und <math>G''</math> ein [[Normalteiler]] von <math>G'</math>, in Zeichen
 : <math>G \geq G' \vartriangleright G'',</math>
-dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe) <math>G'/G''</math> einen Subquotienten von <math>G</math>.
+dann nennt man die Faktorgruppe (Quotientengruppe) <math>H:=G'/G''</math> einen '''Subquotienten''' von <math>G</math>.
+In der Literatur über sporadische Gruppen finden sich Formulierungen wie
-Da bei dieser Definition ein Homomorphismus mitspielt, ist bei Subquotienten die Isomorphie als gleichwertig mit der Gleichheit anzusehen.
+# <math>G</math> involviert <math>H</math><ref>[http://www.mathematik.uni-mainz.de/arbeitsgruppen/gruppentheorie/held/klassifi.pdf ''Die Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen'' (PDF, 131&nbsp;kB) S. 19]</ref>
+# <math>H</math> is involved in <math>G</math><ref>{{Literatur|Autor=Robert Griess|Titel=The Friendly Giant|Seiten=91|Sammelwerk=Inventiones Mathematicae|Band=69|Jahr=1982|DOI=10.1007/BF01389186|Online=[http://www.digizeitschriften.de/dms/img/?PPN=PPN356556735_0069&DMDID=dmdlog7 Online bei digizeitschriften.de]}}</ref>
+für denselben Sachverhalt.
+;Bemerkung
+Da der Subquotient über einen Homomorphismus definiert ist, kann bei Subquotienten die Gleichheit nicht schärfer als bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]] definiert werden.
 ===Modultheorie===
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 ==Endliche Objekte==
-Haben alle Objekte eine endliche Anzahl von Elementen, dann gibt es Formeln für [[Index (Gruppentheorie)|Index]] und Kardinalitäten (bspw. [[Satz von Lagrange]]). Sie müssen jeweils Teiler sein der Kardinalität des Ausgangsobjektes. Unter den obigen Bezeichnungen ist wegen <math>H:=G'/G''</math>
+Haben alle Objekte endliche [[Mächtigkeit (Mathematik)|Kardinalitäten]], dann gibt es Formeln, die diese mit [[Index (Gruppentheorie)|Indexen]] in Zusammenhang bringen (s. [[Satz von Lagrange]]). Unter den obigen Bezeichnungen ist wegen <math>[H:1]=[G':G'']</math>
-: <math>[G:1] = [G:G'] \cdot [H:1] \cdot [G'':1].</math>
+: <math>[G:1] = [G:G'] \cdot [H:1] \cdot [G'':1]</math>
-Auf jeden Fall ist <math>|H| \leq |G|.</math>
+und insbesondere <math>|H| \leq |G|.</math>
 ==Halbordnung==
-Die Relation »ist Subquotient von« ist eine Ordnungsrelation, und zwar eine [[Halbordnung]]. Beweis siehe folgende 3 Abschnitte.
+Die Relation »ist Subquotient von« ist eine Ordnungsrelation, und zwar eine [[Halbordnung]].
 ===[[Reflexive Relation|Reflexivität]]===
-<math>G/\{1\}</math> ist ein Subquotient von <math>G</math>.
+<math>G/\{1\}</math> ist Subquotient von <math>G</math>.
 ===[[Transitive Relation|Transitivität]]===
 Subquotienten von Subquotienten sind Subquotienten.
 ;Beweis für Gruppen
-Sei <math>G'/G''</math> ein Subquotient von <math>G</math>, ferner <math>H:=G'/G''</math> und <math>\phi \colon G' \to H</math> der kanonische Homomorphismus. Ist nun <math>H \geq H' \vartriangleright H''</math>, also <math>H'/H''</math> ein Subquotient von <math>H</math>, dann ist zunächst
+Sei <math>G'/G''</math> Subquotient von <math>G</math>, ferner <math>H:=G'/G''</math> und <math>\phi \colon G' \to H</math> der kanonische Homomorphismus. Ist nun <math>H \geq H' \vartriangleright H''</math>, also <math>H'/H''</math> Subquotient von <math>H</math>, dann ist zunächst
 :<math>
 \begin{array}{ccccccccc}
 G &\geq& G'  &\geq& \phi^{-1}(H') & \geq & \phi^{-1}(H'') & \vartriangleright & G'' \\
-  & \phi &\Big\downarrow&    & \Big\downarrow &  & \Big\downarrow &  & \Big\downarrow \\
+  & \phi\!: &\Big\downarrow&    & \Big\downarrow &  & \Big\downarrow &  & \Big\downarrow \\
- &  & H & \geq & H' & \vartriangleright & H'' & \vartriangleright & \{1\}. \\
+ &  & H & \geq & H' & \vartriangleright & H'' & \vartriangleright & \{1\} \\
 \end{array}
 </math>
+mit <math>\phi\!: g \mapsto g \, G''</math> jeweils [[surjektiv]].
-Nun sind <math>\phi^{-1}(H')</math> und <math>\phi^{-1}(H'')</math> Untergruppen von <math>G'</math>, die <math>G''</math> enthalten. Ferner ist <math>\phi(\phi^{-1}(H')) = H'</math> und <math>\phi(\phi^{-1}(H'')) = H''</math>, da alle <math>h\in H</math> Urbilder haben in <math>G'</math>. Überdies ist <math>\phi^{-1}(H'')</math> ein Normalteiler von <math>\phi^{-1}(H')</math>.
+Nun sind die Urbilder <math>\phi^{-1}(H')</math> und <math>\phi^{-1}(H'')</math> Untergruppen von <math>G'</math>, die <math>G''</math> enthalten. Ferner ist <math>\phi(\phi^{-1}(H')) = H'</math> und <math>\phi(\phi^{-1}(H'')) = H''</math>, da alle <math>h\in H</math> ein Urbild in <math>G'</math> haben. Überdies ist <math>\phi^{-1}(H'')</math> ein Normalteiler von <math>\phi^{-1}(H')</math>.
 Damit ist der Subquotient <math>H'/H''</math> von <math>H</math> als <math>H'/H''\cong \phi^{-1}(H')/\phi^{-1}(H'')</math> ein Subquotient von <math>G</math>.<ref>[https://www.math.uni-bielefeld.de/~sek/top/leit/noether.htm Die Noether'schen Isomorphie-Sätze]</ref>
 ===[[Antisymmetrische Relation|Antisymmetrie]]===
-Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie gleich (isomorph).
+Sind zwei Objekte Subquotienten voneinander, so sind sie gleich.
 ;Beweis
-Ist <math>G</math> endlich, dann lässt sich die Wechselbeziehung wegen <math>|H| \leq |G| \leq |H|</math>, also <math>|H|=|G|</math>, nur aufrecht erhalten mit <math>|G|=|G'|, |G''|=1</math> und <math>|H|=|H'|, |H''|=1</math>. Also ist {{nowrap|<math>G\cong H</math>.}}
+Ist <math>G</math> endlich, dann lässt sich die Wechselbeziehung wegen <math>|H| \leq |G| \leq |H|</math>, also <math>|H|=|G|</math>, nur aufrecht erhalten mit <math>|G|=|G'|, |G''|=1</math> und <math>|H|=|H'|, |H''|=1</math>, woraus <math>G\cong H</math> folgt. Gemäß der obigen Bemerkung entspricht dies der Gleichheit.
-<!-- d.&nbsp;h. gleich bis auf [[Isomorphismus|Isomorphie]]. -->
 ==Einzelnachweise==

„Subquotient“ – Versionsunterschied

Version vom 25. November 2015, 10:39 Uhr

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