Sporadische Gruppe

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Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um alle endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen einordnen lassen.

Entdeckungsgeschichte[Bearbeiten]

Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.

Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.

Einteilung[Bearbeiten]

Hasse-Diagramm der 26 sporadischen Gruppen

20 der 26 sporadischen Gruppen lassen sich als Untergruppen oder Quotientengruppen von Untergruppen der Monstergruppe auffassen (darunter die Monstergruppe selbst). Diese 20 Gruppen werden nach Robert Griess als Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) bezeichnet.[1] Die sechs Ausnahmegruppen sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die O’Nan-Gruppe (ON), die Rudvalisgruppe (Ru) und die Lyonsgruppe (Ly). Diese sechs Ausnahmen werden auch Parias (engl. pariah) genannt.

Die Happy Family gliedert sich in natürlicher Weise in drei Generationen, wobei die erste Generation mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite mit dem Leech Gitter bzw. deren Automorphismengruppen verbunden ist. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen der Happy Family, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1 bis Co3, J2, McL, HS. Die dritte Generation enthält die übrigen sporadischen Gruppen.

Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Titsgruppe der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen; dieser Ansicht folgend gäbe es 27 statt 26 sporadische Gruppen.

Tabelle der 26 sporadischen Gruppen[Bearbeiten]

Name Symbole Entdecker Jahr Ordnung
(zirka)
Ordnung
(als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS)
Ordnung
(in Primzerlegung)
Mathieugruppe M11 M11 Mathieu 1861 8·103 7.920 24·32·5·11
Mathieugruppe M12 M12 Mathieu 1861 1·105 95.040 26·33·5·11
Mathieugruppe M22 M22 Mathieu 1861 4·105 443.520 27·32·5·7·11
Mathieugruppe M23 M23 Mathieu 1861 1·107 10.200.960 27·32·5·7·11·23
Mathieugruppe M24 M24 Mathieu 1861 2·108 244.823.040 210·33·5·7·11·23
Jankogruppe J1 J1 Janko 1964 2·105 175.560 23·3·5·7·11·19
Jankogruppe J2 J2, HJ Janko 1966 6·105 604.800 27·33·52·7
Jankogruppe J3 J3 Janko 1966 5·107 50.232.960 27·35·5·17·19
Jankogruppe J4 J4 Janko 1975 9·1019 86.775.571.046.077.562.880 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43
Higman-Sims-Gruppe HS Higman, Sims 1967 4·107 44.352.000 29·32·53·7·11
Conwaygruppe Co1 Co1, C1 Conway 4·1018 4.157.776.806.543.360.000 221·39·54·72·11·13·23
Conwaygruppe Co2 Co2, C2 Conway 1969 4·1013 42.305.421.312.000 218·36·53·7·11·23
Conwaygruppe Co3 Co3, C3 Conway 1969 5·1011 495.766.656.000 210·37·53·7·11·23
Heldgruppe He Held 1969 4·109 4.030.387.200 210·33·52·73·17
McLaughlin-Gruppe Mc, McL McLaughlin 1969 9·108 898.128.000 27·36·53·7·11
Suzukigruppe Suz Suzuki 1969 4·1011 448.345.497.600 213·37·52·7·11·13
Fischergruppe F22 M(22), F22 Fischer 1976 6·1013 64.561.751.654.400 217·39·52·7·11·13
Fischergruppe F23 M(23), F23 Fischer 1976 4·1018 4.089.470.473.293.004.800 218·313·52·7·11·13·17·23
Fischergruppe F24 M(24), F24 Fischer 1976 1·1024 1.255.205.709.190.661.721.292.800 221·316·52·73·11·13·17·23·29
Lyonsgruppe Ly Lyons 1973 5·1016 51.765.179.004.000.000 28·37·56·7·11·31·37·67
Rudvalisgruppe Ru Rudvalis 1973 1·1011 145.926.144.000 214·33·53·7·13·29
Baby-Monstergruppe F2, B Fischer ca. 1970 4·1033 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47
O’Nan-Gruppe ON O'Nan 1976 4·1011 460.815.505.920 29·34·5·73·11·19·31
Thompsongruppe F3, Th Thompson 1976 9·1016 90.745.943.887.872.000 215·310·53·72·13·19·31
Harada-Norton-Gruppe F5, HN Harada, Norton, Smith 1976 3·1014 273.030.912.000.000 214·36·56·7·11·19
Monstergruppe F1, M Fischer, Griess 1976 8·1053 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. 69, 1982, S. 1-102, doi:10.1007/BF01389186 (Online bei digizeitschriften.de).

Weblinks[Bearbeiten]