Sporadische Gruppe
Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um alle endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen einordnen lassen.
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Entdeckungsgeschichte [Bearbeiten]
Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.
Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.
Einteilung [Bearbeiten]
20 der 26 sporadischen Gruppen lassen sich als Untergruppen oder Quotientengruppen von Untergruppen der Monstergruppe auffassen (darunter die Monstergruppe selbst). Diese 20 Gruppen werden nach Robert Griess als Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) bezeichnet.[1] Die sechs Ausnahmegruppen sind die Jankogruppen J1, J3 und J4, die O’Nan-Gruppe (ON), die Rudvalisgruppe (Ru) und die Lyonsgruppe (Ly). Diese sechs Ausnahmen werden auch Parias (engl. pariah) genannt.
Die Happy Family gliedert sich in natürlicher Weise in drei Generationen, wobei die erste Generation mit dem erweiterten binären Golay-Code und die zweite mit dem Leech Gitter bzw. deren Automorphismengruppen verbunden ist. Zur ersten Generation gehören die fünf Mathieugruppen der Happy Family, zur zweiten Generation die Conwaygruppen Co1 bis Co3, J2, McL, HS. Die dritte Generation enthält die übrigen sporadischen Gruppen.
Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Titsgruppe der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen; dieser Ansicht folgend gäbe es 27 statt 26 sporadische Gruppen.
Tabelle der 26 sporadischen Gruppen [Bearbeiten]
| Name | Symbole | Entdecker | Jahr | Ordnung (zirka) |
Ordnung (als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS) |
Ordnung (in Primzerlegung) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Mathieugruppe M11 | M11 | Mathieu | 1861 | 8·103 | 7.920 | 24·32·5·11 |
| Mathieugruppe M12 | M12 | Mathieu | 1861 | 1·105 | 95.040 | 26·33·5·11 |
| Mathieugruppe M22 | M22 | Mathieu | 1861 | 4·105 | 443.520 | 27·32·5·7·11 |
| Mathieugruppe M23 | M23 | Mathieu | 1861 | 1·107 | 10.200.960 | 27·32·5·7·11·23 |
| Mathieugruppe M24 | M24 | Mathieu | 1861 | 2·108 | 244.823.040 | 210·33·5·7·11·23 |
| Jankogruppe J1 | J1 | Janko | 1964 | 2·105 | 175.560 | 23·3·5·7·11·19 |
| Jankogruppe J2 | J2, HJ | Janko | 1966 | 6·105 | 604.800 | 27·33·52·7 |
| Jankogruppe J3 | J3 | Janko | 1966 | 5·107 | 50.232.960 | 27·35·5·17·19 |
| Jankogruppe J4 | J4 | Janko | 1975 | 9·1019 | 86.775.571.046.077.562.880 | 221·33·5·7·113·23·29·31·37·43 |
| Higman-Sims-Gruppe | HS | Higman, Sims | 1967 | 4·107 | 44.352.000 | 29·32·53·7·11 |
| Conwaygruppe Co1 | Co1, C1 | Conway | 4·1018 | 4.157.776.806.543.360.000 | 221·39·54·72·11·13·23 | |
| Conwaygruppe Co2 | Co2, C2 | Conway | 1969 | 4·1013 | 42.305.421.312.000 | 218·36·53·7·11·23 |
| Conwaygruppe Co3 | Co3, C3 | Conway | 1969 | 5·1011 | 495.766.656.000 | 210·37·53·7·11·23 |
| Heldgruppe | He | Held | 1969 | 4·109 | 4.030.387.200 | 210·33·52·73·17 |
| McLaughlin-Gruppe | Mc, McL | McLaughlin | 1969 | 9·108 | 898.128.000 | 27·36·53·7·11 |
| Suzukigruppe | Suz | Suzuki | 1969 | 4·1011 | 448.345.497.600 | 213·37·52·7·11·13 |
| Fischergruppe F22 | M(22), F22 | Fischer | 1976 | 6·1013 | 64.561.751.654.400 | 217·39·52·7·11·13 |
| Fischergruppe F23 | M(23), F23 | Fischer | 1976 | 4·1018 | 4.089.470.473.293.004.800 | 218·313·52·7·11·13·17·23 |
| Fischergruppe F24 | M(24), F24 | Fischer | 1976 | 1·1024 | 1.255.205.709.190.661.721.292.800 | 221·316·52·73·11·13·17·23·29 |
| Lyonsgruppe | Ly | Lyons | 1973 | 5·1016 | 51.765.179.004.000.000 | 28·37·56×7·11·31·37·67 |
| Rudvalisgruppe | Ru | Rudvalis | 1973 | 1·1011 | 145.926.144.000 | 214·33·53·7·13·29 |
| Baby-Monstergruppe | F2, B | Fischer | ca. 1970 | 4·1033 | 4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000 | 241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47 |
| O’Nan-Gruppe | ON | O'Nan | 1976 | 4·1011 | 460.815.505.920 | 29·34·5·73·11·19·31 |
| Thompsongruppe | F3, Th | Thompson | 1976 | 9·1016 | 90.745.943.887.872.000 | 215·310·53·72·13·19·31 |
| Harada-Norton-Gruppe | F5, HN | Harada, Norton, Smith | 1976 | 3·1014 | 273.030.912.000.000 | 214·36·56·7·11·19 |
| Monstergruppe | F1, M | Fischer, Griess | 1976 | 8·1053 | 808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000 | 246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71 |
Literatur [Bearbeiten]
- Robert Griess: Twelve Sporadic Groups. Springer, 2002, ISBN 9-783-54062-778-4.
- John McKay: Finite Groups – Coming of Age. American Mathematical Society, 1985, ISBN 9-780-82185-047-3.
Einzelnachweise [Bearbeiten]
- ↑ Robert Griess: The Friendly Giant. In: Inventiones Mathematicae. 69, 1982, S. 1-102.
Weblinks [Bearbeiten]
- Die sporadischen Gruppen (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen...) im Atlas of Finite Group Representations (englisch)
