Sporadische Gruppe

Die sporadischen Gruppen sind 26 spezielle endliche Gruppen in der Gruppentheorie. Es handelt sich um alle endlichen einfachen Gruppen, die sich nicht in eine der 18 Familien endlicher einfacher Gruppen einordnen lassen.

Tabelle der 26 sporadischen Gruppen

Name	Symbole	Entdecker	Ordnung (zirka)	Ordnung (als Dezimalzahl Folge A001228 in OEIS)	Ordnung (in Primzerlegung)
Mathieugruppe M11	M11	Mathieu	8·103	7.920	24·32·5·11
Mathieugruppe M12	M12	Mathieu	1·105	95.040	26·33·5·11
Mathieugruppe M22	M22	Mathieu	4·105	443.520	27·32·5·7·11
Mathieugruppe M23	M23	Mathieu	1·107	10.200.960	27·32·5·7·11·23
Mathieugruppe M24	M24	Mathieu	2·108	244.823.040	210·33·5·7·11·23
Jankogruppe J1	J1	Janko	2·105	175.560	23·3·5·7·11·19
Jankogruppe J2	J2, HJ	Janko	6·105	604.800	27·33·52·7
Jankogruppe J3	J3	Janko	5·107	50.232.960	27·35·5·17·19
Jankogruppe J4	J4	Janko	9·1019	86.775.571.046.077.562.880	221·33·5·7·113·23·29·31·37·43
Higman-Sims-Gruppe	HS	Higman, Sims	4·107	44.352.000	29·32·53·7·11
Conwaygruppe Co1	Co1, C1	Conway	4·1018	4.157.776.806.543.360.000	221·39·54·72·11·13·23
Conwaygruppe Co2	Co2, C2	Conway	4·1013	42.305.421.312.000	218·36·53·7·11·23
Conwaygruppe Co3	Co3, C3	Conway	5·1011	495.766.656.000	210·37·53·7·11·23
Heldgruppe	He	Held	4·109	4.030.387.200	210·33·52·73·17
McLaughlin-Gruppe	Mc, McL	McLaughlin	9·108	898.128.000	27·36·53·7·11
Suzukigruppe	Suz	Suzuki	4·1011	448.345.497.600	213·37·52·7·11·13
Fischergruppe F22	M(22), F22	Fischer	6·1013	64.561.751.654.400	217·39·52·7·11·13
Fischergruppe F23	M(23), F23	Fischer	4·1018	4.089.470.473.293.004.800	218·313·52·7·11·13·17·23
Fischergruppe F24	M(24), F24	Fischer	1·1024	1.255.205.709.190.661.721.292.800	221·316·52·73·11·13·17·23·29
Lyonsgruppe	Ly	Lyons	5·1016	51.765.179.004.000.000	28·37·56×7·11·31·37·67
Rudvalisgruppe	Ru	Rudvalis	1·1011	145.926.144.000	214·33·53·7·13·29
Baby-Monstergruppe	F2, B	Fischer	4·1033	4.154.781.481.226.426.191.177.580.544.000.000	241·313·56·72·11·13·17·19·23·31·47
O’Nan-Gruppe	ON	O'Nan	4·1011	460.815.505.920	29·34·5·73·11·19·31
Thompsongruppe	F3, Th	Thompson	9·1016	90.745.943.887.872.000	215·310·53·72·13·19·31
Harada-Norton-Gruppe	F5, HN	Harada, Norton, Smith	3·1014	273.030.912.000.000	214·36·56·7·11·19
Monstergruppe	F1, M	Fischer, Griess	8·1053	808.017.424.794.512.875.886.459.904.961.710.757.005.754.368.000.000.000	246·320·59·76·112·133·17·19·23·29·31·41·47·59·71

Entdeckungsgeschichte und Eigenschaften

Die ersten fünf entdeckten sporadischen Gruppen, die sogenannten Mathieugruppen, wurden von Émile Mathieu in den Jahren 1862 und 1873 entdeckt. Die Entdeckungsgeschichte aller anderen sporadischen Gruppen setzte erst 1964 ein.

20 der 26 sporadischen Gruppen lassen sich als Untergruppen oder Quotientengruppen von Untergruppen der Monstergruppe auffassen (darunter die Monstergruppe selbst). Diese 20 Gruppen werden nach Robert Griess als Happy Family (deutsch: Glückliche Familie) bezeichnet. Die sechs Ausnahmegruppen sind die Jankogruppen J₁, J₃ und J₄, die O’Nan-Gruppe (ON), die Rudvalisgruppe (Ru) und die Lyonsgruppe (Ly). Diese sechs Ausnahmen werden auch Parias (engl. pariah) genannt.

Die früheste Erwähnung des Begriffes „sporadische Gruppe“ dürfte von Burnside 1911, bezugnehmend auf die damals bereits bekannten Mathieugruppen, stammen: These apparently sporadic simple groups would probably repay a closer examination than they have yet received.

Teilweise wird auch die nach dem belgisch-französischen Mathematiker Jacques Tits benannte Titsgruppe der Ordnung 17.971.200 als eine sporadische Gruppe angesehen; dieser Ansicht folgend gäbe es 27 statt 26 sporadische Gruppen.

Weblinks

• Die sporadischen Gruppen (Erzeuger, Untergruppen, Konjugiertenklassen...) im Atlas of Finite Group Representations (englisch)