Einschränkung

In der Mathematik wird der Begriff Einschränkung meist für die Verkleinerung des Definitionsbereichs einer Funktion verwendet.

Auch für Relationen ist es möglich, die Einschränkung auf eine Teilmenge der Grundmenge zu betrachten.

Gelegentlich wird in mathematischen Beweisen die Formulierung „ohne Beschränkung der Allgemeinheit“ (o.B.d.A.) benutzt. Diese hat mit den hier erläuterten mathematischen Begriffen nichts zu tun.

Einschränkung einer Relation

Zweistellige Relationen

Ist $R\subseteq A\times B$ eine zweistellige Relation aus dem Vorbereich $A$ in den Nachbereich $B$, und seien $X,B$ Mengen, dann heißt

$R\upharpoonleft X\equiv R|X:=R\cup (X\times Wb(R))=\{(a,b)\in R|a\in X\}$

die Vorbeschränkung von $R$ in $X$, und

$R\upharpoonright Y\equiv R||Y:=R\cup (Db(R)\times Y)=\{(a,b)\in R|b\in Y\}$

die Nachbeschränkung von $R$ in $Y$. Dabei sind

$Db(R)=\{a\in A|\exists b\in B:(a,b)\in R\},\ \;\ Wb(R)=\{b\in B|\exists a\in A:(a,b)\in R\}$

der Definitions- und Wertebereich der Relation $R$.

In der Praxis wird dabei meist $X\subseteq A$ beziehungsweise $Y\subseteq B$ gelten, obwohl das keine Voraussetzung ist.

Bei homogenen zweistelligen Relationen $R$ auf der Menege $A$ (d. h. $R\subseteq A\times A$) spricht man schlechthin von einer Einschränkung, wenn diese Relation gleichzeitig in dieselbe Menge vor- und nachbeschränkt wird:

$R\upharpoonleft X\upharpoonright X\equiv R|X||X:=R\cup (X\times X)=\{(a,b)\in R|a\in X\land b\in X\}$

Auf die Reihenfolge, in der Vor- und Nachbeschränkung angewendet werden, kommt es nicht an.
Insbesondere gilt: Ist R eine homogene zweistellige Relation auf der Menge A und X eine Teilmenge von A, dann ist die Relation S auf X die Einschränkung von R auf X, wenn für alle a und b aus X gilt:

$a\;S\;b\Leftrightarrow a\;R\;b$.

Beispiel

Die Kleiner-Relation auf der Menge der ganzen Zahlen ist die Einschränkung der Kleiner-Relation auf der Menge der rationalen Zahlen.

Einschränkung einer Funktion

Definition

Ist $f\colon A\to B$ eine beliebige Funktion und $X$ eine Teilmenge der Definitionsmenge $A$, dann versteht man unter der Einschränkung $f|_{X}$ von $f$ auf $X$ diejenige Funktion $g\colon X\to B$, die auf $X$ mit $f$ übereinstimmt. Mit Hilfe der Inklusionsabbildung $i\colon X\to A,\,x\mapsto x$ lässt sich die Einschränkung kurz schreiben als

$f|_{X}:=f\circ i$.

In der Situation $g=f|_{X}$ nennt man $f$ auch eine Fortsetzung von $g$. In der Mengenlehre wird auch die Schreibweise $f{\upharpoonright }X$ statt $f|_{X}$ verwendet.

Beispiel

$\mathbb {R}$ sei die Menge der reellen Zahlen und $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ mit $f(x)=x^{2}$ die Quadratfunktion. $f$ ist nicht injektiv, die Einschränkung $f|_{S}$ auf das Intervall $S:=[0,\infty )$ der nichtnegativen reellen Zahlen ist dies aber schon. Wenn man auch noch die Zielmenge auf die Bildmenge (ebenfalls $S$) einschränkt, erhält man die bijektive Quadratfunktion $g\colon S\to S$ mit $g(x)=x^{2}$, die also eine Umkehrfunktion hat, nämlich die Quadratwurzelfunktion.

Einschränkung einer Darstellung

Eine lineare Darstellung einer Gruppe $G$ auf einem Vektorraum $V$ ist ein Homomorphismus $\rho$ von $G$ in die allgemeine lineare Gruppe $\operatorname {GL} (V)$. Unter einer Einschränkung können zwei verschiedene Konstruktionen verstanden werden.

• Falls $U\subset V$ ein invarianter Unterraum ist, dann erhält man eine eingeschränkte Darstellung $G\to GL(U)$.
• Falls $H\subset G$ eine Untergruppe ist, dann ist $\rho \mid _{H}$ eine Darstellung von $H$, die mit $\operatorname {Res} _{H}^{G}(\rho )$ (für Restriktion) bezeichnet wird. Falls keine Verwechslungsgefahr besteht, schreibt man auch nur $\operatorname {Res} (\rho )$ oder auch kurz $\operatorname {Res} \rho .$ Man verwendet auch die Schreibweise $\operatorname {Res} _{H}(V)$ bzw. $\operatorname {Res} (V)$ für die Einschränkung einer Darstellung (auf) $V$ von $G$ auf $H.$

Literatur

• Dieter Klaua: Mengenlehre. De-Gruyter-Lehrbuch. de Gruyter, Berlin, New York 1979, ISBN 3-11-007726-4.  DerAutor benutzt die Bezeichnung Korrespondenz im mengentheoretischen Sinn synonym zu Relation, verwendet dann aber das Zeichen $F$ anstelle von $R$. Im Artikel hier ist jedoch durchgängig $R$ bzw. $G_{R}$ (Graph von $R$) benutzt.
• Willard van Orman Quine: Set Theory And Its Logic (anglisch). Belknap Press of Harvard University Press, Cambridge, USA 1963, ISBN 0-674-80207-1, S. 359 (HC)/ 380 (PB).  (englisch);
  Willard van Orman Quine: Mengenlehre und ihre Logik (= Logik und Grundlagen der Mathematik (deutsche Übersetzung). Band 10). Vieweg+Teubner Verlag, 1973, ISBN 3-528-08294-1, S. 264.  Der Autor benutzt griechische Kleinbuchstaben zur Kennzeichnung von Mengen im Allgemeinen (wie hier X und Y) und Relationen im Besonderen. Die Seitenangaben beziehen sich auf die deutsche Übersetzung.