Rechtwinkliges Dreieck

Dreieck mit dem rechten Winkel $\gamma$ und der Ankathete und der Gegenkathete von $\alpha$

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck mit einem rechten Winkel.

Bezeichnungen

Als Hypotenuse bezeichnet man die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Als Kathete (aus dem griechischen káthetos, das Herabgelassene, Senkblei) wird jede der beiden kürzeren Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bezeichnet. Die Katheten sind also die beiden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks, die den rechten Winkel bilden. In Bezug auf einen der beiden spitzen Winkel (in der Skizze $\alpha$) des Dreiecks unterscheidet man die Ankathete dieses Winkels (die dem Winkel anliegende Kathete) und die Gegenkathete (die dem Winkel gegenüberliegende Kathete).

Sätze

Die Beziehung zwischen den Längen der Katheten und der Hypotenuse beschreibt der Satz des Pythagoras, der auch als Hypotenusensatz bezeichnet wird. (Der Satz lautet: Sind a und b die Seitenlängen der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks und ist c die Seitenlänge der Hypotenuse, so gilt die Gleichung a² + b² = c²). Der Satz des Pythagoras ist ein Spezialfall des Kosinussatzes. Der Kosinus von 90° ist 0, wodurch sich die Formel deutlich vereinfacht.

Anders formuliert besagt der Satz des Pythagoras, dass die Summe der Flächeninhalte der beiden Quadrate über den Katheten gleich dem Flächeninhalt des Quadrats über der Hypotenuse ist. Aus dieser Tatsache folgen der Katheten- und der Höhensatz (siehe auch Satzgruppe des Pythagoras).

Der Satz des Thales besagt, dass jedes Dreieck am Halbkreisbogen ein rechtwinkliges Dreieck ist. Der Mittelpunkt der Hypotenuse ist das Zentrum des Thaleskreises, des Umkreises des rechtwinkligen Dreiecks.

Der Fußpunkt der Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Hypotenusenabschnitte. Der Kathetensatz und der Höhensatz machen Aussagen über die Längen dieser Teilstrecken.

Die trigonometrischen Funktionen (von griech. „Trigon“ = Dreieck) beschreiben die rechnerischen Zusammenhänge zwischen den Winkeln und den Seitenverhältnissen.

Berechnung und Konstruktion

Konstruktion SWW-Fall, gegeben sind Hypotenuse $c$ und Winkel $\beta$
Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt $M$ den Thaleskreis ziehen. Beim Eintragen des Winkels $\beta$ ergibt sich $C$ auf dem Thaleskreis und somit die Seite $a$. Die Verbindung $C$ mit $A$ vollendet das Dreieck $ABC$.

Ein rechtwinkliges Dreieck ist durch drei Bestimmungsstücke vollständig bestimmt: den rechten Winkel, eine Seite sowie eine weitere Seite oder einen weiteren Winkel.

• Sind beide Katheten gegeben, so lässt sich das Dreieck nach dem SWS-Fall behandeln.

Die Kathete $b$ senkrecht auf die Kathete $a$ anordnen. Der Abstand $|AB|$ ergibt die fehlende Hypotenuse $c$ und somit das Dreieck $ABC$.

• Sind eine Kathete und die Hypotenuse gegeben, so wird der SSW-Fall angewandt.

Die Hypotenuse halbieren und über den Mittelpunkt $M$ den Thaleskreis ziehen. Ist z. B. die Kathete $b$ gegeben, schneidet der Kreisbogen um $A$ mit dem Radius $b$ den Thaleskreis in $C$. Die Verbindung $C$ mit $B$ vollendet das Dreieck $ABC$.

• Sind eine Seite und ein nicht-rechter Winkel gegeben, so lässt sich über die Winkelsumme der dritte Winkel bestimmen. Danach kann man das Dreieck nach dem WSW-Fall behandeln.

Ist z. B. die Kathete $a$ gegeben, wird ab $B$ eine gerade Linie gezogen, die mit der Kathete $a$ den Winkel $\beta$ bildet. Die abschließende Senkrechte auf $a$ ab $C$ schneidet die gerade Linie in $A$ und erzeugt somit das Dreieck $ABC$.

Die Höhen der Katheten $h_{a}$ und $h_{b}$ sind im Sonderfall des rechtwinkligen Dreiecks immer jeweils die andere Kathete $b$ und $a$. Der Höhenschnittpunkt liegt im Punkt $C$. Der Umkreismittelpunkt liegt im Mittelpunkt $M$ der Hypotenuse. Der Schwerpunkt liegt im Dreieck auf der Geraden zwischen Höhenschnittpunkt und Umkreismittelpunkt. Siehe auch Ausgezeichnete Punkte im Dreieck.

Mathematische Formeln zum rechtwinkligen Dreieck

Flächeninhalt:	$A={\frac {a\cdot b}{2}}$
Hypotenuse:	$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$
Kathete:	$a={\sqrt {c^{2}-b^{2}}}$
Umfang:	$U=a+b+c$
Höhe:	$h_{c}={\frac {a\cdot b}{c}}$
Winkel:	$\alpha +\beta =\gamma =90^{\circ }$

Ausgezeichnete Punkte

Wie aus dem Bild ersichtlich, liegt von den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten im rechtwinkligen Dreieck, der Höhenschnittpunkt $H$ (hellbraun) direkt im Scheitel des rechten Winkles, Eckpunkt $C$, und der Umkreismittelpunkt $U$ (hellgrün) in der Mitte der Dreieckseite $c.$ Der Schwerpunkt $S$ (dunkelblau) sowie der Inkreismittelpunkt $I$ (rot) sind innerhalb des Dreiecks.

Der Mittelpunkt $F$ des Feuerbachkreises (beides hellblau) ist in der Mitte der Strecke ${\overline {HU}}$ und ebenfalls innerhalb des Dreiecks. Auf dem Feuerbachkreis liegen dessen neun ausgezeichnete Punkte, von denen aber, aufgrund der Position des Höhenschnittpunktes $H,$ nur fünf zu sehen sind. Es sind dies die Seitenmittelpunkte $J,M$ und $O$ sowie die Höhenfußpunkte $D$ und $G.$ Zwei der drei Mittelpunkte der sogenannten oberen Höhenabschnitte, nämlich $E$ und $N,$ liegen auf den Seitenmittelpunkten $J$ bzw. $M.$ Der dazugehörende dritte Mittelpunkt $K$ liegt auf dem Scheitelpunkt $C.$ Schließlich findet man den dritten Höhenfußpunkt $L$ auf dem Höhenschnittpunkt $H.$

Die Bezeichnungen der ausgezeichneten Punkte und deren Positionen sind mit denen des spitzwinkligen Dreiecks vergleichbar.

Die Punkte $U$, $S$, $F$ und $H$ befinden sich, wie bei allen Dreiecken, auf der Eulerschen Gerade $e$ (rot).

Rechtwinkliges Dreieck mit den vier „klassischen“ ausgezeichneten Punkten $U$, $S$, $I$ und $H,$ darüber hinaus der Mittelpunkt des Feuerbachkreises $F$ mit dessen neun ausgezeichneten Punkten (davon nur fünf sichtbar) und der Eulerschen Geraden $e.$

Satz von Eddy

Der Satz von Eddy:

„Die Winkelhalbierende des rechten Winkels eines rechtwinkligen Dreiecks teilt das Hypotenusenquadrat in zwei kongruente Flächen.“

Der Satz wurde erst im Jahr 1991 formuliert, ist aber sicher schon sehr viel älter.

Bild 2: Beweis durch Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz)

Bild 1: Beweis durch Symmetrie

Es sei ein beliebiges Dreieck $ABC$ mit der Hypotenuse $c,$ dem Hypotenusenquadrat $c^{2}$ und mit der Winkelhalbierenden $wh$ des rechten Winkels am Scheitel $C.$ Die Winkelhalbierende $wh$ schneidet im Punkt $F$ sowie im Punkt $G$ das Hypotenusenquadrat $c^{2}$ in zwei Vierecke $ADGF$ und $GEBF.$

Beweise

A) Beweis durch Symmetrie, Bild 1.

B) Ansatz für einen alternativen Beweis, Bild 2:

• Die beiden Dreiecke $IFM$ und $IGJ$ müssen kongruent sein.
• Dies trifft nur zu, wenn die Winkelhalbierende $wh$ durch den Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}$ verläuft.

Zuerst wird der Mittelpunkt $M$ der Hypotenuse $c$ bestimmt, anschließend der Kreis $k_{1}$ mit dem Radius ${\overline {MB}}$ um $M$ eingezeichnet und die Mittelsenkrechte des Durchmessers ${\overline {AB}}$ mit den soeben erzeugten Schnittpunkten $H,$ $I$ und $J$ eingetragen. Der Schnittpunkt $I$ entspricht dem Mittelpunkt des Hypotenusenquadrates $c^{2}.$ Abschließend noch den Punkt $A$ mit $I$ verbinden.

Das einbeschriebene Dreieck $AIC$ hat am Scheitel $M$ den Zentriwinkel mit der Winkelweite gleich $90^{\circ }.$ Nach dem Kreiswinkelsatz (Zentriwinkelsatz) hat der Winkel $ACI$ folglich die Winkelweite $45^{\circ },$ damit verläuft die Winkelhalbierende $wh$ ebenfalls durch den Mittelpunkt $I$ des Hypotenusenquadrates $c^{2}.$

Somit bestätigt sich, die beiden Dreiecke $IFM$ und $IGJ$ sowie die beiden Vierecke $ADGF$ und $GEBF$ sind kongruent bzw. haben jeweils die gleichen Flächeninhalte.

Siehe auch

• Dreieck, allgemein
• Gleichseitiges Dreieck
• Gleichschenkliges Dreieck
• Spitzwinkliges Dreieck
• Stumpfwinkliges Dreieck
• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Weblinks

Commons: Rechtwinkliges Dreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Wiktionary: Hypotenuse – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Wiktionary: Kathete – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Rechtwinkliges Dreieck auf Webseite der TU Freiberg
• Rechner für interaktive Dreiecksberechnungen
• Eric W. Weisstein: rechtwinkliges Dreieck. In: MathWorld (englisch).