„Alternierende Reihe“ – Versionsunterschied
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Eine alternierende Reihe ist eine unendliche Reihe, deren Reihenglieder aus [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] bestehen, die abwechselndes [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] haben. |
Eine alternierende Reihe ({{enS|{{enS|alternating series}}}}) ist eine unendliche Reihe, deren Reihenglieder aus [[Reelle Zahl|reellen Zahlen]] bestehen, die abwechselndes [[Vorzeichen (Zahl)|Vorzeichen]] haben. |
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Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form |
Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form |
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:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k</math> oder <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k</math> |
:<math>\sum_{k=0}^\infty (-1)^k a_k</math> oder <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k a_k</math> |
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dargestellt werden kann, wobei die <math>a_k \geq 0</math> sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_k)_{k\in \N_0}</math> bzw. <math>(a_k)_{k\in \N}</math>[[Monoton fallende Folge|monoton fallend]] sein soll.<ref name="MB-FF-001">{{Literatur |Autor=Martin Barner, Friedrich Flohr|Titel=Analysis I|Auflage=5.|Datum=2000|Seiten=145–146}}</ref><ref name="OF-001">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1 |
dargestellt werden kann, wobei die <math>a_k \geq 0</math> sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die [[Folge (Mathematik)|Folge]] <math>(a_k)_{k\in \N_0}</math> bzw. <math>(a_k)_{k\in \N}</math>[[Monoton fallende Folge|monoton fallend]] sein soll.<ref name="MB-FF-001">{{Literatur |Autor=Martin Barner, Friedrich Flohr|Titel=Analysis I|Auflage=5.|Datum=2000|Seiten=145–146}}</ref><ref name="CC-AT-001">{{Literatur |Autor=Claudio Canuto, Anita Tabacco|Titel=Mathematical Analysis I|Auflage=2.|Datum=2015|Seiten=151–152}}</ref><ref name="RC-001">{{Literatur |Autor=Richard Courant|Titel=Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band|Auflage=2.|Datum=1948|Seiten=295–298}}</ref><ref name="OF-001">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=66–68}}</ref><ref name="HG-IL-001">{{Literatur |Autor=Hans Grauert, Ingo Lieb|Titel=Differential- und Integralrechnung I. (Kapitel III, Definition 3.1)|Auflage=4.|Datum=1976|Seiten=}}</ref> |
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== Beispiele == |
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=== I === |
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Zu den Standardbeispielen für alternierende Reihen gehört die ''[[alternierende harmonische Reihe]]'' |
Zu den immer wieder genannten Standardbeispielen für alternierende Reihen gehört die ''[[alternierende harmonische Reihe]]'' |
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:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2</math>, |
:<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{k}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +- \ldots=\ln 2</math>, |
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die im Gegensatz zur ([[Divergente Folge|divergenten]]!) [[harmonische Reihe]] nach dem [[Leibniz-Kriterium]]<ref>Benannt nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz]].</ref> [[Konvergente Folge|konvergiert]]. |
die im Gegensatz zur ([[Divergente Folge|divergenten]]!) [[harmonische Reihe]] nach dem [[Leibniz-Kriterium]]<ref group="A">Benannt nach [[Gottfried Wilhelm Leibniz]].</ref> [[Konvergente Folge|konvergiert]].<ref name="BSMM-001">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Auflage=10.|Datum=2016|Seiten=477–478}}</ref><ref name="CC-AT-001"></ref><ref name="RC-001" /><ref name="OF-001" /> |
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Dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern |
Dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern unter Einbezug der [[Logarithmusfunktion]]. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 < x \leq 1</math> die [[Reihenentwicklung]] |
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:<math>\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +- \ldots</math>,<ref name="BSMM-002">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Auflage=10.|Datum=2016|Seiten=1077}}</ref><ref name="OF-003">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=254–258}}</ref> |
:<math>\ln(1+x) = \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k-1} \frac{x^k}{k} = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} +- \ldots</math>,<ref name="BSMM-002">{{Literatur |Hrsg=I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a|Titel=Taschenbuch der Mathematik|Auflage=10.|Datum=2016|Seiten=1077}}</ref><ref name="OF-003">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=254–258}}</ref> |
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aus der für [[nichtnegativ]]e <math>x</math> (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.<ref>Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man das zuvor genannte Beispiel.</ref> |
aus der für [[nichtnegativ]]e <math>x</math> (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man das zuvor genannte Beispiel.</ref> |
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Ein anderes gängiges Beispiel ist hier die alternierende Reihe für den [[Kehrwert]] der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]]. Man hat nämlich:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" /> |
Ein anderes gängiges Beispiel ist hier die alternierende Reihe für den [[Kehrwert]] der [[Eulersche Zahl|eulerschen Zahl]]. Man hat nämlich:<ref name="MB-FF-001" /><ref name="BSMM-001" /> |
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: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} +- \ldots = \frac{\pi}{4}</math>. |
: <math>\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} +- \ldots = \frac{\pi}{4}</math>. |
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Auch dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) Arkustangensreihe für reelle Zahlen <math>x</math> mit <math>-1 \leq x \leq 1</math>. Hier gilt nämlich:<ref name="OF-004">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=258}}</ref> |
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Zur Kreiszahl gibt es weitere alternierende Reihen, nämlich:<ref name="BSMM-001" /> |
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:<math>\arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1} = x - \frac{1}{3} x^3 + \frac{1}{5} x^5 - \frac{1}{7} x^7 + \dotsb</math>.<ref group="A">Im Falle <math>x=1</math> gewinnt man die zuvor genannte Leibnizsche Reihe.</ref> |
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Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa |
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: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} +- \ldots = \frac{{\pi}^2}{12}</math> |
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^2} = 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \frac{1}{5^2} +- \ldots = \frac{{\pi}^2}{12}</math> |
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: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4} = 1 - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} +- \ldots = \frac{{7 \cdot \pi}^4}{720}</math>. |
: <math>\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1}}{k^4} = 1 - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{4^4} + \frac{1}{5^4} +- \ldots = \frac{{7 \cdot \pi}^4}{720}</math>.<ref name="BSMM-001" /> |
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=== III === |
=== III === |
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Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle <math>x</math> mit <math>|x| < 1</math> gebildete [[geometrische Reihe]] |
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⚫ | Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die |
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:<math>\sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k x^k = \sum_{k=0}^{\infty} (-x)^k = 1-x + x^2 - x^3 +- \ldots = \frac{1}{1+x}</math>. |
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Diese bildet für den Fall <math>x \geq 0</math> eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich [[absolut konvergent]] ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.<ref name="RC-001" /> |
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⚫ | Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die [[Reelle Funktion|reelle]] [[Sinus und Kosinus|Sinus- und Kosinusfunktion]]:<ref name="OF-002">{{Literatur |Autor=Otto Forster|Titel=Analysis 1.|Auflage=9.|Datum=2008|Seiten=137–138, 253–254}}</ref><ref>Diese Taylorreihen sind für sogar für alle reellen Zahlen (und auch für alle [[Komplexe Zahl|komplexen Zahlen]] <math>x</math>) [[absolut konvergent]].</ref> |
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:<math> \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots \; (x \in \R)</math> |
:<math> \sin(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} +- \ldots \; (x \in \R)</math> |
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:<math> \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots \; (x \in \R)</math> |
:<math> \cos(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} +- \ldots \; (x \in \R)</math> |
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== Einzelnachweise == |
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[[Kategorie:Folgen und Reihen]] |
[[Kategorie:Folgen und Reihen]] |
Version vom 1. September 2019, 22:48 Uhr
Alternierende Reihen sind unendliche Reihen und gehören als solche in das mathematische Teilgebiet der Analysis.
Definition
Eine alternierende Reihe (englisch englisch alternating series) ist eine unendliche Reihe, deren Reihenglieder aus reellen Zahlen bestehen, die abwechselndes Vorzeichen haben.
Es handelt sich also um eine Reihe, die in der Form
- oder
dargestellt werden kann, wobei die sind. Oft wird zusätzlich gefordert, dass die Folge bzw. monoton fallend sein soll.[1][2][3][4][5]
Beispiele
I
Zu den immer wieder genannten Standardbeispielen für alternierende Reihen gehört die alternierende harmonische Reihe
- ,
die im Gegensatz zur (divergenten!) harmonische Reihe nach dem Leibniz-Kriterium[A 1] konvergiert.[6][2][3][4]
Dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern unter Einbezug der Logarithmusfunktion. Hier ergibt sich nämlich für reelle Zahlen mit die Reihenentwicklung
aus der für nichtnegative (offenbar) alternierende Reihen hervorgehen.[A 2]
Ein anderes gängiges Beispiel ist hier die alternierende Reihe für den Kehrwert der eulerschen Zahl. Man hat nämlich:[1][6]
- .
II
Ein weiteres Standardbeispiel ist auch die Leibnizsche Reihe, welche eine Reihenentwicklung der Kreiszahl beinhaltet:[1][6][4]
- .
Auch dieses Beispiel lässt sich verallgemeinern vermöge der (alternierenden!) Arkustangensreihe für reelle Zahlen mit . Hier gilt nämlich:[9]
Zur Kreiszahl gibt es eine ganze Anzahl weiterer alternierender Reihen wie etwa
und
- .[6]
III
Ein interessantes Beispiel liefert die für reelle mit gebildete geometrische Reihe
- .
Diese bildet für den Fall eine alternierende Reihe, die jedoch zusätzlich absolut konvergent ist. Hier ist dann die Situation gegeben, dass man die Reihensumme einfach als Summe der nur aus den positiven und der nur aus den negativen Gliedern gebildeten Teilreihen ermittelt, also als Differenz zweier Reihen aus lauter positiven Gliedern.[3]
IV
Zu den bedeutenden alternierenden Reihen zählen ebenfalls die Taylorreihen für die reelle Sinus- und Kosinusfunktion:[10][11]
Literatur
- Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I (= de Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 2000, ISBN 3-11-016778-6.
- I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew, Gerhard Musiol, Heiner Mühlig (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 10., überarbeitete Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2016, ISBN 978-3-8085-5790-7.
- Claudio Canuto, Anita Tabacco: Mathematical Analysis I (= Unitext). 2. Auflage. Springer International Publishing Switzerland, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-319-12771-2, doi:10.1007/978-3-319-12772-9. }
- Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band. Funktionen einer Veränderlichen. Neudruck 1948 (der 2. Auflage von 1930). 2. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin 1948.
- Otto Forster: Analysis 1. Differential- und Integralrechnung einer Veränderlichen (= Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). 9., überarbeitete Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0395-5.
- Hans Grauert, Ingo Lieb: Differential- und Integralrechnung I. Funktionen einer reellen Veränderlichen (= Heidelberger Taschenbücher. Band 26). 4. verbesserte Auflage. Springer Verlag, Berlin, New York 1976, ISBN 0-387-07574-7 (MR0430171). }
- Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 2). 5., berichtigte Auflage. Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964, ISBN 3-540-03138-3 (MR0183997).
- Herbert Meschkowski: Unendliche Reihen. 2., verbesserte und erweiterte Auflage. BI Wissenschaftsverlag, Mannheim u. a. 1982, ISBN 3-411-01613-2 (MR0671586).
Einzelnachweise
- ↑ a b c Martin Barner, Friedrich Flohr: Analysis I. 5. Auflage. 2000, S. 145–146.
- ↑ a b Claudio Canuto, Anita Tabacco: Mathematical Analysis I. 2. Auflage. 2015, S. 151–152.
- ↑ a b c Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Erster Band. 2. Auflage. 1948, S. 295–298.
- ↑ a b c Otto Forster: Analysis 1. 9. Auflage. 2008, S. 66–68.
- ↑ Hans Grauert, Ingo Lieb: Differential- und Integralrechnung I. (Kapitel III, Definition 3.1). 4. Auflage. 1976.
- ↑ a b c d I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage. 2016, S. 477–478.
- ↑ I. N. Bronstein, K. A. Semendjajev u. a (Hrsg.): Taschenbuch der Mathematik. 10. Auflage. 2016, S. 1077.
- ↑ Otto Forster: Analysis 1. 9. Auflage. 2008, S. 254–258.
- ↑ Otto Forster: Analysis 1. 9. Auflage. 2008, S. 258.
- ↑ Otto Forster: Analysis 1. 9. Auflage. 2008, S. 137–138, 253–254.
- ↑ Diese Taylorreihen sind für sogar für alle reellen Zahlen (und auch für alle komplexen Zahlen ) absolut konvergent.
Anmerkungen
- ↑ Benannt nach Gottfried Wilhelm Leibniz.
- ↑ Im Falle gewinnt man das zuvor genannte Beispiel.
- ↑ Im Falle gewinnt man die zuvor genannte Leibnizsche Reihe.