Pick–Matrix

Pick–Matrix ist ein mathematischer Begriff, der in dem mathematichen Teilgebiet der Analysis Verwendung findet. Hier bezeichet man eine quadratische Matrix $P=(p_{ij})_{i=1,\dotsc ,n;\ j=1,\dotsc ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl $n$ und dazu $n$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen $a_{i}\in \mathbb {D} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter $n$ komplexe Zahlen $b_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=1,\dotsc ,n)$ gegeben sind, so dass das jeweilige $ij$–Element von $P$ die Form

$p_{ij}={\frac {1-{\overline {b_{i}}}b_{j}}{1-{\overline {a_{i}}}a_{j}}}$

hat.

Der Begriff spielt eine wesentliche Rolle im Zusammenhang mit dem sogenannten Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna.

Interpolationsproblem

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna – oder auch Nevanlinna–Pick–Interpolationsproblem (englisch Nevanlinna–Pick interpolation theorem) – geht auf wissenschaftliche Publikationen der beiden Mathematiker Georg Pick und Rolf Nevanlinna aus den Jahren 1916 bzw. 1920 zurück. Es behandelt die folgende Fragestellung:

Gegeben seien $n$ paarweise verschiedene komplexe Zahlen $a_{i}\in \mathbb {D} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter $n$ komplexe Zahlen $b_{i}\in {\mathbb {C} }\,(i=1,\dotsc ,n)$.

Zu diesen Zahlen gesucht wird eine Funktion $f\in H^{\infty }(\mathbb {D} )$, welche die folgenden beiden Nebenbedingungen erfüllen soll:

(i) $f(a_{i})=b_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$

(ii) $\|f\|_{\infty }\leq 1$

Interpolationssatz

Es gilt zu dem genannten Problem der folgende Interpolationssatz von Pick und Nevanlinna:

Das Interpolationsproblem von Pick und Nevanlinna ist lösbar genau dann, wenn die zu diesen $a_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$ und $b_{i}\,(i=1,\dotsc ,n)$ gehörige Pick-Matrix nichtnegativ-definit ist.

Andere Definition

In einer im Jahre 1974 erschienenen Monographie von William F. Donoghue, Jr., wird der Begriff der Pick–Matrix in einer anderen Weise definiert. Hier bezeichet man eine quadratische Matrix $P=(p_{ij})_{i=1,\dotsc ,n;\ j=1,\dotsc ,n}\in {\mathbb {C} }^{n\times n}$ als Pick–Matrix, wenn eine positive natürliche Zahl $n$ sowie $n$ komplexe Zahlen $z_{i}\in \mathbb {H} \,(i=1,\dotsc ,n)$ und weiter eine Funktion $\phi \colon \,\mathbb {H} \to \mathbb {C}$ vorliegen, so dass das jeweilige $ij$–Element von $P$ die Form

$p_{ij}={\frac {\phi (z_{i})-{\overline {\phi (z_{j})}}}{z_{i}-{\overline {z_{j}}}}}$

hat.

Erläuterungen

1. $\mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}$ ist die offene Einheitskreisscheibe.
2. $\mathbb {T} =\{z\in \mathbb {C} :|z|=1\}$ ist die Einheitskreislinie (oder auch Kreisgruppe).
3. $H^{\infty }(\mathbb {D} )$ ist der zu den beschränkten holomorphen Funktionen $f\colon \mathbb {D} \to \mathbb {C}$ gehörige Hardy-Raum.
4. $\mathbb {H} =\{x+iy\in \mathbb {C} :y>0\}$ ist die (offene) obere Halbebene.

Literatur

• Robert B. Burckel: An Introduction to Classical Complex Analysis. Vol. 1 (= Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften: Mathematische Reihe. Band 64). Birkhäuser Verlag, Basel 1979, ISBN 978-3-0348-9376-3. 
• William F. Donoghue, Jr.: Monotone Matrix Functions and Analytic Continuation (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen. Band 207). Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 1974, ISBN 978-3-642-65757-3, doi:10.1007/978-3-642-65755-9 (MR0486556). 
• Donald E. Marshall: An elementary proof of the Pick-Nevanlinna interpolation theorem. In: Michigan Mathematical Journal. Band 21, 1975, S. 219–223 (MR0364649). 
• Yutaka Yamamoto: From Vector Spaces to Function Spaces. Society for Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA 2012, ISBN 978-1-61197-230-6 (MR2985156).