Massenmittelpunkt

Der Massenmittelpunkt (auch Schwerpunkt oder manchmal zur Unterscheidung vom Formschwerpunkt auch Gewichtsschwerpunkt genannt) eines Körpers ist das mit der Masse gewichtete Mittel der Positionen seiner Massepunkte. Für kontinuierliche Massenverteilungen wird das Ortsmittel der Dichte als Massenmittelpunkt definiert. Bei einem homogenen Körper (d. h. bei überall gleicher Dichte) stimmt der Massenmittelpunkt mit dem geometrischen Schwerpunkt überein.

Das Konzept des Massenmittelpunktes dient in der Physik der Reduktion eines komplexen ausgedehnten starren Körpers auf einen einzigen Massepunkt zur einfacheren Berechnung seiner Bahnkurve bei Einwirkung einer äußeren Kraft. Auch vereinfachen sich viele Rechnungen im Schwerpunktsystem, in dem der Massenmittelpunkt als Koordinatenursprung verwendet wird (siehe auch Mehrkörpersystem). Im Massenmittelpunkt angreifende externe Kräfte können den Rotationszustand des Objekts nicht verändern, da sie wegen des im Schwerpunkt fehlenden Hebelarms kein Drehmoment ausüben. Achsen durch den Schwerpunkt werden auch als Schwerachsen bezeichnet.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenmittelpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum.

Der Massenmittelpunkt eines Körpers muss nicht im Inneren des Körpers liegen. Bei einem Bumerang liegt er beispielsweise zwischen den beiden Armen. Ist der Körper aber konvex, so liegt der Schwerpunkt niemals außerhalb.

Massenschwerpunkt zweier Punktmassen auf einem Stab

Gegeben sei ein Stab der Länge $a$. Auf diesem Stab befinden sich die zwei Punktmassen $m_{1}$ und $m_{2}$ an den Orten $x_{1}$ und $x_{2}$.

Bild 1: Stab mit zwei Punktmassen und Massenschwerpunkt $x_{s}$ (hier mit $x_{m}$ bezeichnet)

Der Massenschwerpunkt (Massenmittelpunkt) $x_{s}$ lässt sich dann wie folgt berechnen:

$x_{s}=x_{1}+{\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot a$

Das Massenverhältnis ist sozusagen ein prozentualer Faktor zu $a$. Wird die Masse $m_{2}$ unendlich groß, so verschiebt sich der Massenschwerpunkt an den Ort $x_{2}$. Wird jedoch die Masse $m_{1}$ im Verhältnis zu $m_{2}$ unendlich groß, so verschiebt sich der Massenschwerpunkt an den Ort $x_{1}$.

Etwas Allgemeiner:

Bild 2: Massenschwerpunkt etwas Allgemeiner

Aus Bild 1 ist zu erkennen, dass $a=x_{2}-x_{1}$ gilt. In Bild 2 liegen nun die Punktmassen nicht mehr am Anfangs- bzw. Endpunkt des Stabes. Da in den Bildern die Skala von links nach rechts verläuft, muss man den Abstand zwischen dem Anfangspunkt des Stabes und dem Massenpunkt $x_{1}$ dazu addieren. Somit kommt man zu folgender Formel:

$x_{s}={\frac {m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\cdot (x_{2}-x_{1})+x_{1}={\frac {x_{1}\cdot m_{1}+x_{2}\cdot m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

Massenschwerpunkt mehrerer Punktmassen auf einem Stab

Um dies vom vorherigen Abschnitt fortzusetzen, platzieren wir nun drei Punktmassen auf einem Stab.

Bild 3: Stab mit drei Punktmassen

Um den Massenschwerpunkt zu bestimmen, zerlegen wir dieses Konstrukt in zwei Teilstäbe. Dazu durchtrennen wir den Stab am Ort $x_{2}$ und teilen die Masse $m_{2}$ zur Hälfte auf den einen Teilstab und die andere Hälfte auf den anderen Teilstab auf. Zunächst berechnen wir wie folgt die Massenschwerpunkte der Teilstäbe wie aus dem vorherigen Abschnitt bekannt:

$x_{s1}={\frac {0{,}5\cdot m_{2}}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}\cdot (x_{2}-x_{1})+x_{1}$

$x_{s2}={\frac {m_{3}}{0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}}\cdot (x_{3}-x_{2})+x_{2}$

Nun kann man mit der Gesamtmasse der Teilstäbe und dem Massenschwerpunkt die Teilstäbe als neue Punktmasse zusammenfassen:

$m_{xs1}=m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}$

$m_{xs2}=0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}$

Nun berechnet man mit diesen neuen Werten einen weiteren Massenschwerpunkt, welche schlussendlich der Massenschwerpunkt der drei Punktmassen ist:

$x_{s}={\frac {m_{xs2}}{m_{xs1}+m_{xs2}}}\cdot (x_{s2}-x_{s1})+x_{s1}$

Eingesetzt sieht das dann wie folgt aus:

${x_{s}={\frac {0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}\cdot \left({\frac {m_{3}\cdot (x_{3}-x_{2})}{0{,}5\cdot m_{2}+m_{3}}}+x_{2}-{\frac {0{,}5\cdot m_{2}\cdot (x_{2}-x_{1})}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}-x_{1}\right)+{\frac {0{,}5\cdot m_{2}\cdot (x_{2}-x_{1})}{m_{1}+0{,}5\cdot m_{2}}}+x_{1}}$

Formt man diese Gleichung etwas um, kommt man zu folgendem Ergebnis:

$x_{s}={\frac {x_{1}\cdot m_{1}+x_{2}\cdot m_{2}+x_{3}\cdot m_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}}}$

Vergleicht man dieses Ergebnis mit dem aus vorherigen Abschnitt, so ist eine Regelmäßigkeit zu erkennen. Verteilt man nun $n$ Massepunkte auf einem Stab, so lässt sich der Massenschwerpunkt wie folgt bestimmen:

$x_{s}={\frac {1}{M}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}\cdot m_{i}}$

Dabei ist $M$ die Gesamtmasse, sprich die Summe aller Punktmassen:

$M=\sum _{i=1}^{n}{m_{i}}$

Massenschwerpunkt bei kontinuierlicher Massenverteilung entlang eines Stabes

Bei einer kontinuierlichen Masseverteilung entlang eines Stabs ${\cal {S}}$ zerlegt man den Stab gedanklich in endlich viele kleine Teilstücke. Das $i$-te Stück habe die Masse $\Delta m_{i}$; ferner sei $x_{i}$ ein Punkt auf dem $i$-ten Stück. $M$ bezeichnet weiterhin die Gesamtmasse des Stabes. Dann gilt für den Massenschwerpunkt des Stabs die Näherungsformel

$x_{s}\approx {\frac {1}{M}}\sum _{i}x_{i}\Delta m_{i}.$

Zerlegt man den Stab in immer kleinere Stücke und lässt die Länge der Stücke schließlich gegen null gehen, so hat jedes Stückchen einerseits nur noch eine unendlich kleine Länge $\mathrm {d} x$, die man auch als Längenelement bezeichnet; andererseits haftet ihm nur noch eine unendlich kleine Masse $\mathrm {d} m$ (ein sogenanntes Massenelement) an. Durch diesen Grenzübergang $\Delta m_{i}\to \mathrm {d} m$ geht die obige Summe in ein Integral über, und die Näherungsformel wird exakt:

$x_{s}={\frac {1}{M}}\int _{\cal {S}}{x\;\mathrm {d} m}.$

Das Integral auf der rechten Seite der Gleichung lässt sich wie folgt interpretieren: Jeder Punkt $x$ des Stabes wird mit dem zugehörigen Massenelement $\mathrm {d} m$ gewichtet. Anschließend werden alle massengewichteten Punkte des Stabes summiert. Es handelt sich also um eine Art massengewichtete Summe von Punkten.

Für konkrete Berechnungen ist die obige Formel oftmals unbrauchbar, da die Integration über die Massenelemente $\mathrm {d} m$ durchzuführen ist. Ein Ausweg besteht darin, über die Längenelemente $\mathrm {d} x$ zu integrieren, die mit den Massenelementen über die Längendichte $\lambda (x)$ verknüpft sind:

$\lambda (x)={\frac {\mathrm {d} m}{\mathrm {d} x}}\iff \mathrm {d} m=\lambda (x)\mathrm {d} x$.

Damit erhält man für den Massenschwerpunkt die Formel

$x_{s}={\frac {1}{M}}\int _{x_{l}}^{x_{r}}x\cdot \lambda (x)\mathrm {d} x$,

wobei $x_{l}$ den linken Endpunkt und $x_{r}$ den rechten Endpunkt des Stabes bezeichnet.

Die Gesamtmasse des Stabes lässt sich ebenfalls durch Integration gewinnen:

$M=\int _{\cal {S}}\mathrm {d} m=\int _{x_{l}}^{x_{r}}{\lambda (x)\mathrm {d} x}$.

Beispielrechnung

Gegeben sei ein Stab der Länge $l=a$. Die Koordinatenachse sei so gewählt, dass der Nullpunkt mit $x_{l}$ zusammenfalle und entlang des Stabes orientiert sei. Die Dichte nehme proportional mit der Länge des Stabes zu:

$\lambda (x)=cx,\;c>0.$

Dann beträgt die Gesamtmasse

$M=\int _{0}^{a}cx\;\mathrm {d} x=c\int _{0}^{a}x\;\mathrm {d} x=c\left[{\frac {x^{2}}{2}}\right]_{0}^{a}={\frac {c\cdot a^{2}}{2}}$

und der Massenschwerpunkt

$x_{s}={\frac {1}{M}}\int _{0}^{a}{x\cdot cx\;\mathrm {d} x}={\frac {c}{M}}\int _{0}^{a}{x^{2}\;\mathrm {d} x}={\frac {c}{M}}\cdot \left[{\frac {1}{3}}x^{3}\right]_{0}^{a}={\frac {2}{3}}a$.

Der Massenschwerpunkt ist also unabhängig vom Proportionalitätsfaktor $c$. Er ist im Vergleich zum geometrischen Schwerpunkt nach rechts verschoben, was den Umstand widerspiegelt, dass der Stab zum rechten Ende her dichter ist.

Ist zum Beispiel $l=1\;\mathrm {m}$, so liegt der Schwerpunkt bei $x_{s}\approx 66,7\;\mathrm {cm}$.

Massenschwerpunkt mehrerer Punktmassen im Raum

Die Formel aus dem letzten Abschnitt lässt sich verallgemeinern für den Fall, dass mehrere Massepunkte $m_{i}$ im Raum verteilt sind. Dann gehört zu jedem Massepunkt ein Ortsvektor ${\vec {r}}_{i}$, der vom Ursprung des Koordinatensystems zum Massepunkt zeigt und dessen Position beschreibt. Der Schwerpunkt wird definiert als das mit den Massen gewichtete Mittel der Ortsvektoren:

${\vec {r}}_{s}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}\cdot {\vec {r}}_{i}$,

wobei $M$ die Summe aller Einzelmassen $m_{i}$ ist:

$M=\sum _{i}m_{i}$

Legt man ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde, so erhält man folgende Formeln für die Koordinaten des Schwerpunktvektors ${\vec {r}}_{s}=(x_{s},y_{s},z_{s})$:

$x_{s}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}x_{i},\quad y_{s}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}y_{i},\quad z_{s}={\frac {1}{M}}\sum _{i}m_{i}z_{i}$.

Massenschwerpunkt bei kontinuierlicher Massenverteilung im Raum

Der Massenmittelpunkt ${\vec {r}}_{s}$ eines Körpers ${\cal {K}}$ ist das mit der Masse gewichtete Mittel der Ortsvektoren ${\vec {r}}$ aller Massepunkte $\mathrm {d} m$ des Körpers:

${\vec {r}}_{s}:={\frac {1}{M}}\int _{\cal {K}}{{\vec {r}}\mathrm {d} m}={\frac {1}{M}}\int _{\cal {K}}{{\vec {r}}\,\rho ({\vec {r}})\,\mathrm {d} V}$.

Dabei ist $\rho ({\vec {r}})$ die Dichte am Ort ${\vec {r}}$, $\mathrm {d} V$ ein Volumenelement und $M$ die Gesamtmasse des Körpers.

In einem kartesischen Koordinatensystem erhält man für die Koordinaten des Schwerpunktvektors ${\vec {r}}_{s}=(x_{s},y_{s},z_{s})$ die Formeln:

$x_{s}={\frac {1}{M}}\int _{\cal {K}}x\rho (x,y,z)\mathrm {d} V,\quad y_{s}={\frac {1}{M}}\int _{\cal {K}}y\rho (x,y,z)\mathrm {d} V,\quad z_{s}={\frac {1}{M}}\int _{\cal {K}}z\rho (x,y,z)\mathrm {d} V$.

Bei einem homogenen Körper ist die Dichte konstant, $\rho ({\vec {r}})=\rho _{0}$, und kann als Faktor vor das Integral gezogen werden. Der Massenmittelpunkt fällt dann mit dem Volumenmittelpunkt (dem geometrischen Schwerpunkt) zusammen. In vielen Fällen kann die Berechnung dann vereinfacht werden; beispielsweise, wenn der Volumenmittelpunkt auf einer Symmetrieachse des Körpers liegt, zum Beispiel bei einer Kugel im Mittelpunkt.

Der Begriff Massenmittelpunkt im Vergleich zum Gravizentrum

→ Hauptartikel: Gravizentrum

Die Gravitation wirkt auf alle Massenpunkte eines Körpers. Nur in einem homogenen Gravitationsfeld ist die Gesamtwirkung so, als würde die Gravitationskraft im Massenmittelpunkt angreifen. Da das Gravitationsfeld oft als homogen angenommen werden kann, z. B. in der Nähe der Erdoberfläche, werden die Begriffe Gravizentrum und Massenmittelpunkt oft beide undifferenziert als Schwerpunkt bezeichnet. In einem inhomogenen Feld ist dieser effektive Punkt verschieden vom Massenmittelpunkt und wird Gravizentrum genannt. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Der Begriff Massenmittelpunkt im Vergleich zum Volumenschwerpunkt

→ Hauptartikel: Geometrischer Schwerpunkt

Ist ein Körper homogen (besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat), so fällt sein Massenmittelpunkt mit seinem geometrischen Schwerpunkt zusammen. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenmittelpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Masse innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Massenmittelpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, der Isaac Newton zur Entwicklung der Infinitesimalrechnung führte (gleichzeitig mit Leibniz).

Experimentelle Bestimmung des Massenmittelpunktes

Der Schwerpunkt liegt unter dem Aufhängepunkt auf der „Schwerlinie“.

Der Schwerpunkt liegt ebenfalls unter einem anderen Aufhängepunkt. Die Lage des Schwerpunkt kann damit aus dem Schnittpunkt der beiden Linien ermittelt werden.

Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur experimentellen Bestimmung des Massenmittelpunktes eines beliebigen starren Körpers. Dabei besteht die Näherung darin, die Abweichungen von Gravizentrum und Massenmittelpunkt und damit auch die Veränderungen der Lage des Gravizentrums bei Drehung des Körpers unberücksichtigt zu lassen: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der (näherungsweise) Massenmittelpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts).

Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man (näherungsweise) den Massenmittelpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden („Schwerlinien“). Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial, als der erste Anschein glauben lässt.

Verblüffend ist die folgende Methode zur Bestimmung des Massenmittelpunktes eines schmalen und länglichen Gegenstandes (zum Beispiel Lineal oder Besen): Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit voneinander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf dem Finger, der dem Massenmittelpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt. Das heißt, der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern in etwa dieselbe Reibung vorliegt und der Massenmittelpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern. Ist der Gegenstand allerdings zu sehr gebogen, ergibt sich der oben erwähnte Effekt und der Schwerpunkt liegt unterhalb des Unterstützungspunktes.

Siehe auch

• Massenverteilung
• Massenlinie (Verfahren)

Literatur

• Die Physik: ein Lexikon der gesamten Schulphysik. Schülerduden, Bibliographisches Institut, Mannheim 1974, ISBN 3-411-01122-X, S. 367–368.