„Croccos Wirbelsatz“ – Versionsunterschied
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Der '''[[Wirbelsatz]] von Crocco''' oder die '''Crocco-Gleichung'''<ref name="durst">{{Literatur |
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Der '''[[Wirbelsatz]] von Crocco''' (auch ''Croccosche Gleichung'') bezeichnet einen 1937 von [[Luigi Crocco]] aufgestellten [[physik]]alischen Satz aus der [[Strömungsmechanik]]. Er besagt, dass für die [[Stationäre Strömung|stationäre]] [[Strömungsmechanik|Strömung]] eines [[reibung]]s<nowiki/>losen, nicht-[[Wärmeleitung|wärmeleitenden]] [[Gas]]es unter Vernachlässigung äußerer [[Kraft|Kräfte]] gilt: |
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| Autor=F. Durst |
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| Titel=Grundlagen der Strömungsmechanik |
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| Verlag=Springer |
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| Jahr=2006 |
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| ISBN=3-540-31323-0}}</ref>{{rp|157ff}} ist ein 1922 von [[Alexander Alexandrowitsch Friedmann|A. Friedmann]]<ref>{{Literatur |
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| Autor=[[Alexander Alexandrowitsch Friedmann|A. Friedmann]] |
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| Titel=Ein Aufsatz über die Hydrodynamik komprimierbarer Flüssigkeiten |
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| Sprache=ru |
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| Originaltitel=Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости |
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| Ort=Petrograd |
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| Jahr=1922 |
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| Seiten=198 |
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| Online=http://books.e-heritage.ru/book/10073889 |
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| Kommentar=Nachdruck 1934 unter Schriftleitung von [[Nikolai Kochin]], erste Formel mit <math>\operatorname{grad}T=\vec0</math> |
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| Abruf=2023-08-22}}</ref> und 1937 von Luigi Crocco<ref>{{Literatur |
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| Autor=Luigi Crocco (Sohn von [[Gaetano Crocco]]) |
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| Titel=Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation |
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| Sammelwerk=[[Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik|Z. Angew. Math. Mech.]] |
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| Band=17 |
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| Nummer=1 |
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| Jahr=1937 |
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| DOI=10.1002/zamm.19370170103 |
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| Seiten=1–7}}</ref> aufgestellter [[physik]]alischen Satz aus der [[Strömungsmechanik]]. Er besagt, dass im [[Konservatives Kraftfeld|konservativen Kraftfeld]], wie dem [[Schwerefeld]] auf der Erde, eine [[Wirbel (Strömungslehre)|wirbel]]<nowiki/>freie [[stationäre Strömung]] [[homentrop]] ist. Auf der anderen Seite folgt, dass nicht homentrope aber homenergetische stationäre Strömungen (mit [[Homogenität|homogener]] [[Energie (Physik)|Energie]]<nowiki/>verteilung) wirbelbehaftet sind.<ref name="spurk">{{Literatur |
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| Autor=J. H. Spurk |
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| Titel=Strömungslehre |
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| TitelErg=Einführung in die Theorie der Strömungen |
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| Verlag=Springer Verlag |
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| Ort=Heidelberg, Dordrecht, London, New York |
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| Auflage=8. überarbeitete Auflage |
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| Jahr=2010 |
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| ISBN=978-3-642-13142-4 |
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| DOI=10.1007/978-3-642-13143-1}}</ref>{{rp|152}} Er stellt den Zusammenhang zwischen Verwirbelung und [[Entropie]] und somit zwischen [[Kinematik]] und [[Thermodynamik]] in einem [[Strömungsfeld]] her. |
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== Aussage == |
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:<math>\vec v \times \operatorname{rot} \, \vec v = \operatorname{grad} \, h_0 - T \, \operatorname{grad} \, s</math> |
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In einer [[Stationäre Strömung|stationären Strömung]] eines [[viskosität]]s<nowiki/>freien, und damit nicht-[[Wärmeleitung|wärmeleitenden]] [[Gas]]es<ref>''Die Vernachlässigung der Reibungsspannungen zieht die Vernachlässigung der Wärmeleitung nach sich''. Spurk, ''Strömungslehre'' (2010), S. 86</ref> gilt: |
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:<math>\vec v\times\operatorname{rot}\vec v |
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=\operatorname{grad}h_0-T\operatorname{grad}s</math> |
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Hierin bezeichnen |
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* <math>\vec v</math> das [[Geschwindigkeitsfeld]] der Strömung |
* <math>\vec v</math> das [[Geschwindigkeitsfeld]] der Strömung und <math>\operatorname{rot}\vec v</math> dessen [[Rotation (Mathematik)|Rotation]] |
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* <math>h_0:=h+v^2/2</math> die [[Ruheenthalpie]] des Gases und <math>\operatorname{grad}h_0</math> deren [[Gradient (Mathematik)|Gradient]] |
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* <math>h_0 \dot{=} h + v^2/2</math> die [[Ruheenthalpie]] des Gases |
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** <math>\operatorname{grad} \, h_0</math> den [[Gradient (Mathematik)|Gradienten]] der Ruheenthalpie |
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* ''T'' die Temperatur |
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* ''s'' die [[Entropie (Thermodynamik)|Entropie]], |
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Oft kann man eine isoenergetische oder homenergetische Strömung mit <math>\operatorname{grad}h_0 = 0</math> annehmen. Ist die Strömung außerdem noch [[homentrop]], so ist auch <math>\operatorname{grad}s=0</math>, und nach Croccos Wirbelsatz folgt |
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:<math>\vec v \times \operatorname{rot}\vec v = 0</math>. |
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Im Allgemeinen folgt daraus |
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womit die Strömung rotations- bzw. [[wirbelfrei]] ist, was in einer [[Potentialströmung]] mit [[Geschwindigkeitspotential]] <math>\Phi</math> und |
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der Fall ist. |
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Croccos Wirbelsatz besagt also, dass rotationsfreie Strömungen homentrop sind und umgekehrt, wobei vorausgesetzt wird, dass sie stationär sind und [[Viskosität]] sowie Wärmeleitung vernachlässigbar sind. |
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== Herleitung == |
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Die Formel für die [[Enthalpie#Temperatur- und Druckabhängigkeit der Enthalpie|Temperatur- und Druckabhängigkeit der Enthalpie]] <math>T\mathrm{d}s=\mathrm{d}h-v\mathrm{d}p</math> wird umgestellt und das [[Spezifisches Volumen|spezifische Volumen]] <math>v</math> durch den Kehrwert der [[Dichte]] <math>\rho</math> ersetzt:<ref name="spurk"/>{{rp|78}} |
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:<math>-\frac1\rho\mathrm{d}p=T\mathrm{d}s-\mathrm{d}h</math> |
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[[Ableitungsfunktion|Ableitung]] nach einer [[Kartesisches Koordinatensystem|kartesischen Koordinate]] <math>x_i</math>, Multiplikation mit einem Vektor ê<sub>i</sub> der [[Standardbasis]] und Summation der Ergebnisse liefert<ref name="spurk"/>{{rp|151}} |
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:<math>-\frac1\rho\sum_{i=1}^3\frac{\part p}{\part x_i}\hat e_i |
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=T\sum_{i=1}^3\frac{\part s}{\part x_i}\hat e_i |
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oder koordinatenunabhängig mit dem [[Nabla-Operator]] 𝜵 |
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:<math>-\frac1\rho\nabla p=T\nabla s-\nabla h</math> |
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In die [[substantielle Ableitung]] <math>\dot{\vec v}:=\tfrac{\part\vec v}{\part t}+(\vec v\cdot\nabla)\vec v=\tfrac{\part\vec v}{\part t}+\mathrm{grad}(\vec v)\cdot\vec v</math> der Geschwindigkeit <math>\vec v</math> wird die [[Formelsammlung Tensoranalysis#Grassmann-Entwicklung|Grassmann-Entwicklung]] eingearbeitet: |
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:<math>\dot{\vec v}=\frac{\part\vec v}{\part t}+ |
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\frac12\mathrm{grad}(\vec v\cdot\vec v)-\vec v\times\mathrm{rot}(\vec v) |
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=\frac{\part\vec v}{\part t}+ |
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\frac12\nabla(\vec v\cdot\vec v)-\vec v\times(\nabla\times\vec v) |
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Die [[Euler-Gleichungen (Strömungsmechanik)|Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik]] lauten mit diesen Ergebnissen |
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:<math>\frac{\part\vec v}{\part t} |
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+\frac12\nabla(\vec v\cdot\vec v)-\vec v\times(\nabla\times\vec v) |
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=-\frac1\rho\nabla p+\vec k |
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=T\nabla s-\nabla h-\nabla\psi |
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</math> |
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Darin ist ''ψ'' das [[Potential (Physik)|Potential]] des konservativen Kraftfeldes mit Gradient <math>\vec k=-\operatorname{grad}\psi=-\nabla\psi</math>, wo das Minuszeichen Konvention ist. In einer stationären Strömung entfällt der erste Term auf der linken Seite und Umstellung sowie Zusammenfassung liefert: |
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:<math> |
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-\vec v\times(\nabla\times\vec v) |
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+\nabla\left(\frac12(\vec v\cdot\vec v)+h+\psi\right) |
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=T\nabla s |
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In stationärer und [[viskosität]]sfreier Strömung mit vernachlässigbarer [[Wärmeleitung]] ist die Summe in der großen Klammer im ganzen Strömungsfeld konstant<ref>siehe Spurk, Strömungslehre (2010), S. 150, und vergleiche [[Bernoulli-Gleichung#Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositätsfreier, idealer Gase]]</ref> womit ihr Gradient verschwindet, was in den croccoschen Wirbelsatz mündet: |
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:<math>-\vec v\times(\nabla\times\vec v)=T\nabla s |
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d. h. die Strömung ist rotationsfrei bzw. [[wirbelfrei]], und es existiert ein [[Geschwindigkeitspotential]] <math>\Phi</math> mit |
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\quad\leftrightarrow\quad |
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-\vec v\times(\operatorname{rot}\vec v)=T\operatorname{grad}s |
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In wirbelfreien Strömungen ist das Geschwindigkeitsfeld [[Rotation eines Vektorfeldes|rotationsfrei]] (<math>\operatorname{rot}\vec v=\vec0</math>) und somit das Strömungsfeld zugleich homentrop (<math>\operatorname{grad}s=\vec0</math>). Umgekehrt ist eine stationäre homenergetische Strömung, die nicht homentrop ist, zwangsläufig wirbelbehaftet.<ref name="spurk"</>{{rp|152}}<ref name="durst"/>{{rp|159}} |
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:<math>\vec v = \operatorname{grad} \, \Phi</math>. |
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== Gekrümmter Stoß in einer Hyperschallströmung == |
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Es handelt sich dann um eine [[Potentialströmung]]. |
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Beim Durchgang durch einen gekrümmten [[Stoßwelle|Stoß]], wie er in [[Überschallflug|Hyperschallströmungen]] auftreten kann, wird die Entropie auf den einzelnen [[Stromlinie]]n unterschiedlich erhöht. Hinter der Stoßfläche ist daher die Entropie nicht mehr homogen, und infolge des Croccoschen Wirbelsatzes kann die Strömung dort nicht mehr wirbelfrei sein.<ref name="spurk"/>{{rp|152}} |
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== Einzelnachweise == |
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Croccos Wirbelsatz besagt also, dass rotationsfreie Strömungen isentrop sind und umgekehrt, wobei vorausgesetzt wird, dass sie stationär sind, und Reibung sowie äußere Kräfte vernachlässigbar sind. |
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<references/> |
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<!-- eigentlich äußere Massenkräfte, aber der Artikel Massenkräfte beschreibt etwas anderes --> |
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== Literatur == |
== Literatur == |
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* {{Literatur |
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* Luigi Crocco: Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. Z. Angew. Math. Mech., 17 (1), 1937, S. 1–7. {{DOI|10.1002/zamm.19370170103}} |
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| Autor=Karl Wieghardt |
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* Karl Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. Universitätsverlag Göttingen, Nachdruck von 1974, ISBN 3-938616-33-4 |
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| Titel=Theoretische Strömungslehre |
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* Franz Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006, ISBN 3-540-31323-0 |
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| Verlag=Universitätsverlag Göttingen |
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| Ort=Göttingen |
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| Jahr=2005 |
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| DOI=10.17875/gup2005-72 |
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| ISBN=3-938616-33-4 |
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| Online=https://www.univerlag.uni-goettingen.de/handle/3/isbn-3-938616-33-4}} |
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[[Kategorie:Strömungsmechanik]] |
[[Kategorie:Strömungsmechanik]] |
Version vom 22. August 2023, 20:16 Uhr
Der Wirbelsatz von Crocco oder die Crocco-Gleichung[1]:157ff ist ein 1922 von A. Friedmann[2] und 1937 von Luigi Crocco[3] aufgestellter physikalischen Satz aus der Strömungsmechanik. Er besagt, dass im konservativen Kraftfeld, wie dem Schwerefeld auf der Erde, eine wirbelfreie stationäre Strömung homentrop ist. Auf der anderen Seite folgt, dass nicht homentrope aber homenergetische stationäre Strömungen (mit homogener Energieverteilung) wirbelbehaftet sind.[4]:152 Er stellt den Zusammenhang zwischen Verwirbelung und Entropie und somit zwischen Kinematik und Thermodynamik in einem Strömungsfeld her.
Aussage
In einer stationären Strömung eines viskositätsfreien, und damit nicht-wärmeleitenden Gases[5] gilt:
Hierin bezeichnen
- das Geschwindigkeitsfeld der Strömung und dessen Rotation
- die Ruheenthalpie des Gases und deren Gradient
- T die Temperatur
- s die Entropie,
wobei und s als Enthalpie und Entropie pro Masseneinheit eingehen (spezifische Größen).
Interpretation
Oft kann man eine isoenergetische oder homenergetische Strömung mit annehmen. Ist die Strömung außerdem noch homentrop, so ist auch , und nach Croccos Wirbelsatz folgt
- .
Im Allgemeinen folgt daraus
womit die Strömung rotations- bzw. wirbelfrei ist, was in einer Potentialströmung mit Geschwindigkeitspotential und
- .
der Fall ist.
Croccos Wirbelsatz besagt also, dass rotationsfreie Strömungen homentrop sind und umgekehrt, wobei vorausgesetzt wird, dass sie stationär sind und Viskosität sowie Wärmeleitung vernachlässigbar sind.
Herleitung
Die Formel für die Temperatur- und Druckabhängigkeit der Enthalpie wird umgestellt und das spezifische Volumen durch den Kehrwert der Dichte ersetzt:[4]:78
Ableitung nach einer kartesischen Koordinate , Multiplikation mit einem Vektor êi der Standardbasis und Summation der Ergebnisse liefert[4]:151
oder koordinatenunabhängig mit dem Nabla-Operator 𝜵
In die substantielle Ableitung der Geschwindigkeit wird die Grassmann-Entwicklung eingearbeitet:
Die Euler-Gleichungen der Strömungsmechanik lauten mit diesen Ergebnissen
Darin ist ψ das Potential des konservativen Kraftfeldes mit Gradient , wo das Minuszeichen Konvention ist. In einer stationären Strömung entfällt der erste Term auf der linken Seite und Umstellung sowie Zusammenfassung liefert:
In stationärer und viskositätsfreier Strömung mit vernachlässigbarer Wärmeleitung ist die Summe in der großen Klammer im ganzen Strömungsfeld konstant[6] womit ihr Gradient verschwindet, was in den croccoschen Wirbelsatz mündet:
In wirbelfreien Strömungen ist das Geschwindigkeitsfeld rotationsfrei () und somit das Strömungsfeld zugleich homentrop (). Umgekehrt ist eine stationäre homenergetische Strömung, die nicht homentrop ist, zwangsläufig wirbelbehaftet.[4]:152[1]:159
Gekrümmter Stoß in einer Hyperschallströmung
Beim Durchgang durch einen gekrümmten Stoß, wie er in Hyperschallströmungen auftreten kann, wird die Entropie auf den einzelnen Stromlinien unterschiedlich erhöht. Hinter der Stoßfläche ist daher die Entropie nicht mehr homogen, und infolge des Croccoschen Wirbelsatzes kann die Strömung dort nicht mehr wirbelfrei sein.[4]:152
Einzelnachweise
- ↑ a b F. Durst: Grundlagen der Strömungsmechanik. Springer, 2006, ISBN 3-540-31323-0.
- ↑ A. Friedmann: Ein Aufsatz über die Hydrodynamik komprimierbarer Flüssigkeiten. Petrograd 1922, S. 198 (russisch, e-heritage.ru [abgerufen am 22. August 2023] Originaltitel: Опыт гидромеханики сжимаемой жидкости. Nachdruck 1934 unter Schriftleitung von Nikolai Kochin, erste Formel mit ).
- ↑ Luigi Crocco (Sohn von Gaetano Crocco): Eine neue Stromfunktion für die Erforschung der Bewegung der Gase mit Rotation. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 17, Nr. 1, 1937, S. 1–7, doi:10.1002/zamm.19370170103.
- ↑ a b c d e J. H. Spurk: Strömungslehre. Einführung in die Theorie der Strömungen. 8. überarbeitete Auflage. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, doi:10.1007/978-3-642-13143-1.
- ↑ Die Vernachlässigung der Reibungsspannungen zieht die Vernachlässigung der Wärmeleitung nach sich. Spurk, Strömungslehre (2010), S. 86
- ↑ siehe Spurk, Strömungslehre (2010), S. 150, und vergleiche Bernoulli-Gleichung#Erweiterte bernoullische Druckgleichung viskositätsfreier, idealer Gase
Literatur
- Karl Wieghardt: Theoretische Strömungslehre. Universitätsverlag Göttingen, Göttingen 2005, ISBN 3-938616-33-4, doi:10.17875/gup2005-72 (uni-goettingen.de).