Potentialströmung

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Potentialströmung wird die Strömung eines Fluids (Flüssigkeit oder Gas) genannt, wenn das Vektorfeld der Geschwindigkeiten mathematisch so geartet ist, dass es ein Potential besitzt. Eine solche Strömung ist in einem homogenen Fluid vorhanden, wenn es rotationsfrei (wirbel- bzw. vortizitätsfrei) ist und keine Zähigkeitskräfte (Reibungskräfte) auftreten oder diese vernachlässigbar klein sind. Jede aus der Ruhe heraus beginnende Strömung eines homogenen, reibungsfreien Fluids besitzt ein solches Potential.

Eine Potentialströmung ist der rotationsfreie Spezialfall der Hydrodynamik einer homogenen idealen Flüssigkeit, die durch die Eulerschen Bewegungsgleichungen beschrieben wird; diese gelten auch für Strömungen homogener, reibungsfreier Fluide mit Rotation (Wirbelströmung). Wenn jedoch bei Scherbewegungen die Zähigkeit berücksichtigt werden muss, wie z.B. bei Grenzschichten oder im Zentrum eines Wirbels, so ist mit den Navier-Stokes-Gleichungen zu rechnen.

In der Potentialströmung gilt die Bernoulli-Gleichung nicht nur entlang einer Stromlinie, sondern auch „quer“ dazu für die benachbarten Stromlinien, also für das ganze Gebiet der Potentialströmung.

Kraftpotential (Beschleunigungspotential)[Bearbeiten]

Der mathematische Begriff Potential hat seinen Ursprung in der Physik der konservativen Kraftfelder. Dort ist das Potential die Fähigkeit eines Feldes, Arbeit pro Massen- oder Ladungseinheit zu verrichten (potentielle Energie pro Masse bzw. Ladung). Das Potential beschreibt dort also die Wirkung des Kraftfeldes auf Massen oder Ladungen, unabhängig von der Größe dieser Massen oder Ladungen.

Im Folgenden wird das jeweilige Potential (es sind verschiedene) mit dem griechischen Buchstaben \phi \! (Phi) bezeichnet.

Das Kraftfeld \vec F\! = (Fx, Fy, Fz), ein dreidimensionales Vektorfeld, erhält man durch partielle Ableitung des Potentials nach dem Ort (Position), also aus der räumlichen Änderung des Potentials:

\vec F = - \, \mbox{grad} \, \phi = - \, \nabla \, \phi = -\frac{\partial \phi}{\partial \vec r}

wobei der Operator grad (Gradient) oder \nabla (der Nabla-Operator) in kartesischen Koordinaten

\operatorname{grad}\phi = \nabla\phi =
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial}{\partial x} \\
  \frac{\partial}{\partial y} \\
  \frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix} \,\phi =
\begin{pmatrix}
  {\frac{\partial \phi}{\partial x}} \\
  {\frac{\partial \phi}{\partial y}} \\
  {\frac{\partial \phi}{\partial z}}
\end{pmatrix}

bedeutet. \vec r\! ist hier der Ortsvektor, der den Ort im Raum (die Position) angibt. Die Ableitung nach \vec r \! bei der Bildung des Gradienten \nabla\phi \! von \phi \! symbolisiert dabei eine Ableitung nach allen Komponenten (Koordinaten) von \vec r \!. Im eindimensionalen Fall ist der Gradient die gewöhnliche Ableitung nach dem Weg in Richtung dieser Dimension.

Geschwindigkeitspotential[Bearbeiten]

Anders als das Potential eines Kraftfeldes ist das Geschwindigkeitspotential oder Strömungspotential nicht die Fähigkeit (potentielle Energie) eines Feldes, Arbeit zu verrichten. Stattdessen beschreibt das Potential \phi des Geschwindigkeitsfeldes \vec v eine spezielle innere Ordnung dieses Feldes, die mathematisch (formal) die Struktur der konservativen Kraftfelder ist. Physikalisch stellt sie jedoch etwas anderes dar, nämlich Rotations- bzw. Vortizitätslosigkeit:

\mbox{rot}\, \vec{v} = \nabla \times \vec{v} = \vec{0}

Da das Geschwindigkeitspotential keine potentielle Energie beinhaltet, ist sein Vorzeichen nicht festgelegt und wird gewöhnlich positiv definiert:

\vec v = + \, \mbox{grad} \, \phi = + \, \nabla \, \phi = +\frac{\partial \phi}{\partial \vec r}

Potentialströmung mit Zirkulation (Potentialwirbel)[Bearbeiten]

Der Potentialwirbel oder „freie Wirbel“ ist eine echte (rotationsfreie) Potentialströmung, die dennoch kreist, d.h. in einem topologisch zweifach zusammenhängenden Gebiet (wie beispielsweise dem Luftraum in einem Saal mit Mittelsäule) eine Zirkulation aufweist. Ein besonderer Potentialwirbel ist an einer freien Wasseroberfläche zu beobachten, wenn der Druck im Zentrum so gering wird, dass sich die Oberfläche merklich einsenkt und einen Wirbeltrichter (Strudel) bildet. Reicht der Trichter unbegrenzt weit in die Tiefe, so herrscht im ganzen Flüssigkeitsgebiet Potentialströmung, nicht jedoch im luftgefüllten Kern.

Beim freien Wirbel bewegen sich alle Fluidpartikel auf konzentrischen Kreisbahnen mit Geschwindigkeiten v, die (außer im Kerngebiet) dem Abstandsgesetz mit Konstante c und Achsenabstand r entsprechen:

v = \frac{c}{r}

Es handelt sich um eine reziproke Proportionalität, d.h. je weiter entfernt von der Achse die Partikel sind, desto langsamer bewegen sie sich. Oder anders ausgedrückt, die innersten Partikel bewegen sich am schnellsten. Dadurch ist eine völlig andere Geschwindigkeits- und Druckverteilung gegeben als beim quasi-starren Wirbel, der kein Potential besitzt und dessen Geschwindigkeit proportional zum Achsenabstand ist: v = \omega \cdot r.

In realen Fluiden bilden sich freie Wirbel nur näherungsweise als Potentialströmungen aus, da in ihrer Mitte Zähigkeitskräfte zu einer quasi-starren Rotation führen und das Geschwindigkeitsfeld hier Vortizität besitzt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Herbert Oertel (Hrg.): Prandtl-Führer durch die Strömungslehre. Grundlagen und Phänomene, Vieweg 2002 (11. Aufl), ISBN 3-528-48209-5
  • Jürgen Zierep: Grundzüge der Strömungslehre, G. Braun Karlsruhe 1990, ISBN 3-7650-2039-7
  • Hans J. Lugt: Wirbelströmung in Natur und Technik, G. Braun Karlsruhe 1979, ISBN 3-7650-2028-1
  • Schade, Kunz: Strömungslehre, de Gruyter, 2. Auflage