Eisenstein-Zahl

Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Sie sind nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein, einem Schüler von Gauß benannt. Die gaußschen Zahlen sind eine andere Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring, also die Maximalordnung des quadratischen Zahlkörpers $\mathbb {Q} \left({\sqrt {-3}}\right)$, der mit dem Kreisteilungskörper $\mathbb {Q} \left({\sqrt[{3}]{-1}}\right)$ übereinstimmt. Sie treten beispielsweise bei der Formulierung des kubischen Reziprozitätsgesetzes auf.

Definition

Eine komplexe Zahl $w$ ist eine Eisenstein-Zahl, wenn sie sich in der Form

$w=a+b\,\omega$ mit $\omega =e^{2\pi \mathrm {i} /3}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} }{2}}{\sqrt {3}}$

und ganzen Zahlen $a$ und $b$ darstellen lässt. $\omega$ ist eine (primitive) dritte Einheitswurzel und erfüllt somit die Gleichung

$\omega ^{2}+\omega +1=0.$.

Mit anderen Worten: Die Eisensteinzahlen bilden den Ring $Z[\omega ]$, der aus dem Ring der ganzen Zahlen durch Adjunktion der primitiven 3. Einheitswurzel $\omega$ entsteht.

Geometrische Bedeutung

"Kleine" Primelemente unter den Eisenstein-Zahlen in der komplexen Zahlenebene. Die Rotationssymmetrie um 60° folgt aus der Existenz von sechs Einheiten in $\mathbb {Z} [\omega ]$

Die Eisenstein-Zahlen bilden ein Dreiecksgitter in der gaußschen Zahlenebene. Sie entsprechen den Mittelpunkten einer dichtesten Kugelpackung in zwei Dimensionen.

Zahlentheorie

Auf den Eisenstein-Zahlen lässt sich Zahlentheorie betreiben: Die Einheiten sind genau die sechs komplexen Nullstellen der Gleichung $X^{6}=1$, die Einheitengruppe $U$ wird also von jeder primitiven 6. Einheitswurzel, z. B. $\xi =-\omega ^{2}=e^{2\pi i/6}$ erzeugt. Zu jeder Eisensteinzahl $\alpha$, die von 0 verschieden ist, existieren genau 6 assoziierte Elemente, die die Nebenklasse $\alpha U$ bilden.

Man kann Primelemente analog zu den Primzahlen in $\mathbb {Z}$ definieren und zeigen, dass die Primfaktordarstellung einer Eisenstein-Zahl eindeutig ist, die Eisensteinzahlen bilden also einen faktoriellen Integritätsbereich. Ganze Zahlen der Form $m^{2}+3n^{2}$ sind in den Eisenstein-Zahlen immer zerlegbar. Daher sind die Zahlen 3, 7, 13, 19, ... keine Primelemente in den Eisenstein-Zahlen.

Genauer treten die folgenden 3 Fälle auf:

• 3 ist ein Sonderfall: $3=-\omega ^{2}(1-\omega )^{2}$. Dies ist die einzige Primzahl in $\mathbb {Z}$, die durch das Quadrat eines Primelementes in $\mathbb {Z} [\omega ]$ teilbar ist. Man sagt in der algebraischen Zahlentheorie, diese Primzahl sei verzweigt.

• Positive Primzahlen $p\in Z$, die die Kongruenz $p\equiv 2\mod 3$ erfüllen, sind auch in $\mathbb {Z} [\omega ]$ Primelemente. Man sagt dann, diese Primzahlen sind träge.

• Positive Primzahlen $p\in Z$, die die Kongruenz $p\equiv 1\mod 3$ erfüllen, werden zu Produkten von zueinander komplex konjugierten Primelementen in $\mathbb {Z} [\omega ]$. Man sagt dann, diese Primzahlen sind zerlegt.

Die trägen Primzahlen sind also $2,5,11,17,23,\ldots$ und eine Faktorisierung der ersten zerlegten Primzahlen lautet:

$7=(3+\omega )\cdot (2-\omega ),\quad 13=(4+\omega )\cdot (3-\omega ),\quad 19=(3-2\omega )\cdot (5+2\omega ),\ldots$

Die 6 assozierten Elemente eines Primelementes sind prim, ebenso das zu einem Primelement $\alpha$ komplex konjugierte Element ${\overline {\alpha }}$.

Literatur

• David A. Cox: Primes of the form $x^{2}+ny^{2}$. Wiley, New York 1989, ISBN 0-471-50654-0. 
• Ferdinand Gotthold Eisenstein: Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzen Zahlen. Journal für die reine und angewandte Mathematik 27, S. 289–310, 1844. 
• Kenneth Ireland, Michael Rosen: A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1990, ISBN 0-387-97329-X. 
• Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, Berlin 2000, ISBN 3-540-66967-4(?!). 
• Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin 1996, ISBN 3-540-58791-8. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Eisenstein-Zahlen. In: MathWorld (englisch).