Eisenstein-Zahl

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Eisenstein-Zahlen als Punkte eines Dreiecksgitters in der komplexen Zahlenebene

Die Eisenstein-Zahlen sind eine Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Sie sind nach dem deutschen Mathematiker Gotthold Eisenstein, einem Schüler von Gauß, benannt. Die gaußschen Zahlen sind eine andere Verallgemeinerung der ganzen Zahlen auf die komplexen Zahlen. Die Eisenstein-Zahlen sind der Ganzheitsring, also die Maximalordnung des quadratischen Zahlkörpers \mathbb{Q}\left(\sqrt{-3} \right), der mit dem 3. Kreisteilungskörper \mathbb Q(\mu_3) übereinstimmt. Sie treten beispielsweise bei der Formulierung des kubischen Reziprozitätsgesetzes auf (→ siehe Kubisches Reziprozitätsgesetz in diesem Artikel).

Definition[Bearbeiten]

Eine komplexe Zahl E ist eine Eisenstein-Zahl, wenn sie sich in der Form

E = a + b\,\omega mit \omega = e^{2\pi\mathrm i/3} =-\frac12+\frac{\mathrm i}2\sqrt3

und ganzen Zahlen a und b darstellen lässt. \omega ist eine (primitive) dritte Einheitswurzel und erfüllt somit die Gleichung

\omega^2 + \omega + 1 = 0.

Im Folgenden bezeichnet \omega immer genau die oben genannte primitive Einheitswurzel, nicht die zu \omega konjugiert komplexe zweite Nullstelle dieser quadratischen Gleichung.

Mit anderen Worten: Die Eisensteinzahlen bilden den Ring \Z[\omega], der aus dem Ring der ganzen Zahlen durch Adjunktion der primitiven 3. Einheitswurzel \omega entsteht. Der Ganzheitsring des Kreisteilungskörpers, der aus \mathbb{Q} durch Adjunktion einer primitiven 6. Einheitswurzel, zum Beispiel durch Adjunktion des Hauptwertes -\omega^2=_H\sqrt[3]{-1}=e^{\pi\mathrm i/3} entsteht, \Z[-\omega^2], stimmt ebenfalls mit den Eisenstein-Zahlen überein.

Geometrische Bedeutung[Bearbeiten]

„Kleine“ Primelemente unter den Eisenstein-Zahlen in der komplexen Zahlenebene. Die Rotationssymmetrie um 60° folgt aus der Existenz von sechs Einheiten in \Z[\omega].

Die Eisenstein-Zahlen bilden ein Dreiecksgitter in der gaußschen Zahlenebene. Sie entsprechen den Mittelpunkten einer dichtesten Kugelpackung in zwei Dimensionen.

Zahlentheorie[Bearbeiten]

Auf den Eisenstein-Zahlen lässt sich Zahlentheorie betreiben: Die Einheiten sind genau die sechs komplexen Nullstellen der Gleichung X^6=1, die zyklische Einheitengruppe U wird also von jeder der beiden primitiven 6. Einheitswurzeln \pm \omega^2=e^{\pm 2\pi i/6} erzeugt. Zu jeder von 0 verschiedenen Eisensteinzahl \alpha existieren genau sechs assoziierte Elemente, die in der multiplikativen Gruppe des Körpers \mathbb{Q}\left(\sqrt{-3} \right) eine Nebenklasse \alpha U bilden.

Man kann Primelemente analog zu den Primzahlen in \mathbb{Z} definieren und zeigen, dass die Primfaktorzerlegung einer Eisenstein-Zahl – bis auf Assoziiertheit und Reihenfolge der Primfaktoren – eindeutig ist. Die Eisensteinzahlen bilden also einen faktoriellen Integritätsbereich. Alle ganzen Zahlen der Form m^2 + 3n^2 sind in den Eisenstein-Zahlen zerlegbar.[1] Dort sind daher die Zahlen 3, 7, 13, 19, … keine Primelemente.

Genauer treten die folgenden drei Fälle auf:[2]

  • 3 ist ein Sonderfall: 3=-\omega^2(1-\omega)^2. Dies ist die einzige Primzahl in \Z, die durch das Quadrat eines Primelementes in \Z [\omega] teilbar ist. Man sagt in der algebraischen Zahlentheorie, diese Primzahl sei verzweigt.
  • Positive Primzahlen p\in \Z, die die Kongruenz p\equiv 2 \pmod 3 erfüllen, bleiben auch in \Z [\omega] prim. So eine Primzahl nennt man träge.
  • Positive Primzahlen p\in \Z, die die Kongruenz p\equiv 1 \pmod 3 erfüllen, werden in \Z [\omega] zu Produkten von zwei zueinander komplex konjugierten Primelementen Man sagt, solche Primzahlen seien zerlegt.

Die trägen Primzahlen sind also 2, 5, 11, 17, 23, \ldots und eine Primfaktorisierung der ersten zerlegten Primzahlen lautet:

7 = (3 +\omega) \cdot (2 - \omega ),\quad 13 = (4 + \omega) \cdot (3 - \omega),\quad 19 = (3 - 2\omega) \cdot (5 + 2\omega), \ldots

Die sechs mit einem Primelement assoziierten Elemente sind prim, ebenso das zu einem Primelement \alpha komplex konjugierte Element \overline{\alpha}.

Da die Norm N(\alpha)=\alpha\cdot\overline{\alpha} eines Elementes von \Z[\omega] stets in \Z liegt, bilden 1-\omega, die trägen ganzen Primzahlen und die Primelemente, die als Faktoren bei der Zerlegung der zerlegten ganzen Primzahlen auftreten, zusammen mit ihren Assoziierten die Menge aller Primelemente in \Z[\omega].

Der Ring der Eisenstein-Zahlen ist euklidisch.

Kubischer Rest-Charakter[Bearbeiten]

Im Ring der Eisensteinschen Zahlen gilt ein Satz, der analog zum kleinen fermatschen Satz der elementaren Zahlentheorie ist:[3]

Sind \alpha, \rho\in \Z[\omega] und \rho ein Primelement, das \alpha nicht teilt, dann gilt:

\alpha^{N(\rho) - 1} \equiv 1 \pmod{\rho}

Wenn nun für die Norm von \rho gilt, dass N(\rho)\neq 3 und also N(\rho)\equiv 1 \pmod 3 ist, dann ist \alpha^{\frac{N (\rho) - 1}{3}} eine Potenz mit ganzzahligem Exponenten und es gilt:

\alpha^{\frac{N(\rho) - 1}{3}}\equiv \omega^k \pmod{\rho} für eine eindeutig bestimmte 3. Einheitswurzel \omega^k

Man nennt diese Einheitswurzel den kubischen Rest-Charakter von \alpha modulo \rho und schreibt dafür:[4]

\left(\frac{\alpha}{\rho}\right)_3 = \omega^k \equiv \alpha^{\frac{N (\rho) - 1}{3}} \pmod{\rho}

Die Bezeichnung als Charakter ergibt sich daraus, dass die Abbildung bei festem Primelement \rho einen unitären Charakter auf der multiplikativen Gruppe des Körpers \Z[\omega]/(\rho) bestimmt.

Die Kongruenz x^3\equiv \alpha \pmod \rho,\; (\alpha\not\equiv 0 \pmod \rho) ist in  Z[\omega] genau dann lösbar, wenn \left(\frac{\alpha}{\rho}\right)_3 = 1 gilt. Ist die Kongruenz lösbar und \alpha\not\equiv 0 \pmod \rho, dann nennt man \alpha einen kubischen Rest modulo \rho; ist die Kongruenz unlösbar, einen kubischen Nichtrest modulo \rho. Ebenso werden die Begriffe kubischer Rest und Nichtrest allgemeiner erklärt, wenn \rho zwar teilerfremd zu \alpha, aber kein Primelement ist.

Der kubische Rest-Charakter hat für Primelemente \rho, die nicht zu 1-\omega assoziiert sind, formale Eigenschaften, die den Eigenschaften des Legendre-Symbols ähneln:[5]

  1. \left(\frac{\alpha\beta}{\rho}\right)_3=\left(\frac{\alpha}{\rho}\right)_3\left(\frac{\beta}{\rho}\right)_3
  2. \overline{\left(\frac{\alpha}{\rho}\right)_3}=\left(\frac{\overline{\alpha}}{\overline{\rho}}\right)_3, wobei der Überstrich für die komplexe Konjugation steht.
  3. Sind \rho und \theta assoziierte Primelemente, dann gilt \left(\frac{\alpha}{\rho}\right)_3=\left(\frac{\alpha}{\theta}\right)_3.
  4. Ist \alpha \equiv \beta \pmod \rho, dann gilt \left(\frac{\alpha}{\rho}\right)_3=\left(\frac{\beta}{\rho}\right)_3.

Der kubische Rest-Charakter kann im „Nenner“ multiplikativ auf zusammengesetzte Zahlen fortgesetzt werden, die teilerfremd zu 3 sind. Dabei wird dann ergänzend definiert, dass das so definierte kubische Restsymbol \left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)_3 den Wert 0 hat, falls die Zahlen \alpha,\lambda im Ring der Eisenstein-Zahlen nicht zueinander teilerfremd sind, aber \lambda teilerfremd zu 3 ist. Diese Verallgemeinerung ist analog zu der Verallgemeinerung des Legendre-Symbols zum Jacobi-Symbol bis auf die Tatsache, dass für den Fall, dass \lambda\equiv 0\pmod{1-\omega} gilt oder gleichwertig, dass die Norm von \lambda in \Z von 3 geteilt wird, kein Wert für das Symbol definiert wird. Manchmal wird im zuletzt genannten Fall das Symbol 0 gesetzt. Diese Variante ändert an den folgenden Aussagen nichts.

Ähnlich wie beim Jacobi-Symbol gelten für einen „Nenner“ \lambda des kubischen Restsymbols, der kein Primelement ist, folgende Aussagen:

  • Durch die multiplikative Fortsetzung gilt nach Definition:
\left(\frac{\alpha}{\lambda}\right)_3 = \left(\frac{\alpha}{\pi_1}\right)_3^{\nu_1} \left(\frac{\alpha}{\pi_2}\right)_3^{\nu_2} \cdots\;,\, es eine Zerlegung \lambda = \pi_1^{\nu_1}\pi_2^{\nu_2}\pi_3^{\nu_3} \dots von \lambda in paarweise verschiedene Primelemente \pi_j hat, von denen keines zu 1-\omega assoziiert ist.
  • Ist der „Zähler“ \alpha ein kubischer Rest modulo \lambda und \lambda\not\equiv 0\pmod{1-\omega}, dann nimmt das Symbol den Wert 1 an.
  • Nimmt das Symbol einen von 1 verschiedenen Wert an, dann ist der Zähler kein kubischer Rest modulo \lambda oder \lambda nicht teilerfremd zu 3.
  • Das Symbol kann den Wert 1 annehmen, auch wenn der Zähler ein kubischer Nichtrest modulo \lambda ist.

Primäre Zahlen[Bearbeiten]

Zur Formulierung eines kubischen Reziprozitätsgesetzes auf dem Ring der Eisenstein-Zahlen müssen aus den Assoziierten einer Eisensteinzahl bestimmte Vertreter ausgewählt werden. Eisenstein nennt eine Zahl \lambda primär, wenn sie die Kongruenz \lambda\equiv 2 \pmod 3 erfüllt. Man kann leicht nachweisen, dass für Zahlen, deren Norm (in \Z) teilerfremd zu 3 ist, genau ein zu ihnen assoziiertes Element primär im Sinne dieser Definition ist. Ein Nachteil der Definition ist, dass das Produkt zweier primärer Zahlen immer die Gegenzahl einer primären Zahl ist.

Man definiert daher heute meistens:[6][7]

  • Eine Eisenstein-Zahl \lambda ist primär, wenn sie zu 3 teilerfremd ist und modulo (1-\omega)^2=-3\omega zu einer gewöhnlichen ganzen Zahl kongruent ist.

Diese Definition ist gleichbedeutend damit, dass die Kongruenz \lambda \equiv \pm 1 \pmod 3 im Ring der Eisensteinzahlen gilt. Es gilt dann:

  1. Falls die Norm von \lambda\in\Z[\omega]^* teilerfremd zu 3 ist, dann ist genau eine der Zahlen \lambda,\omega\cdot\lambda,\omega^2\cdot\lambda primär.
  2. Das Produkt von zwei primären Zahlen ist primär.
  3. Mit jeder Zahl ist auch die zu ihr konjugiert komplexe Zahl primär.
  4. Eine im modernen Sinn primäre Zahl \lambda ist entweder selbst primär im Sinn von Eisenstein oder -\lambda ist es.
  5. Unter den Assoziierten einer Zahl, die teilerfremd zu 3 ist, sind stets genau zwei primäre Zahlen \pm\lambda.

Da −1 immer ein kubischer Rest ist, reicht die Eindeutigkeit dieser Definition „bis auf das Vorzeichen“ für die Formulierung des Reziprozitätsgesetzes aus.

Kubisches Reziprozitätsgesetz[Bearbeiten]

Für zwei primäre Zahlen \alpha,\beta gilt:

\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)_3 = \left(\frac{\beta}{\alpha}\right)_3

Zu diesem kubischen Reziprozitätsgesetz gibt es Ergänzungssätze für die Einheiten und das Primelement 1-\omega:[8]

Falls \lambda=a+b\omega, (a,b\in\Z) primär ist und a=3m+1, b=3n, (m,n\in\Z) gilt, dann gilt auch


\left(\frac{\omega}{\lambda}\right)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\;
\left(\frac{1-\omega}{\lambda}\right)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\;
\left(\frac{3}{\lambda}\right)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n.

Für primäre „Nenner“ \lambda mit a\equiv 2 \pmod 3 kann \lambda durch das assoziierte primäre Element -\lambda ersetzt werden, ohne dass sich der Wert des Symbols ändert.

Literatur[Bearbeiten]

  •  David A. Cox: Primes of the form x2+n y2. Fermat, class field theory and complex multiplication. Wiley, New York 1989, ISBN 0-471-50654-0.
  •  Ferdinand Gotthold Eisenstein: Beweis des Reciprocitätssatzes für die cubischen Reste in der Theorie der aus den dritten Wurzeln der Einheit zusammengesetzten Zahlen. In: August Leopold Crelle (Hrsg.): Journal für die reine und angewandte Mathematik. Nr. 27, Georg Reimer, Berlin 1844, S. 289–310.
  •  Kenneth Ireland, Michael Rosen (Mathematiker): A Classical Introduction to Modern Number Theory. 2. Auflage. Springer, New York 1990, ISBN 978-1-441-93094-1.
  •  Franz Lemmermeyer: Reciprocity Laws: From Euler to Eisenstein. Springer, Berlin/Heidelberg/New York/Barcelona/Hong Kong/London/Milan/Paris/Singapore/Tokyo 2000, ISBN 3-540-66957-4.
  •  Armin Leutbecher: Zahlentheorie: Eine Einführung in die Algebra. Springer, Berlin/Heidelberg/Singapur/Tokio/New York/Barcelona/Budapest/Hong Kong/London/Mailand/Paris/Santa Clara 1996, ISBN 3-540-58791-8.

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Cox (1989)
  2. Ireland & Rosen Prop 9.1.4
  3. Ireland & Rosen. Prop 9.3.1
  4. Ireland & Rosen, S. 112
  5. Ireland & Rosen, Prop 9.3.3
  6. Ireland & Rosen, S. 206
  7. Lemmermeyer, Seite 361 nennt die im Eisensteinschen Sinn primären Zahlen „semi-primär“.
  8. Lemmermeyer, Th. 6.9