Kreisteilungskörper

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Kreisteilungskörper sind Studienobjekte des mathematischen Teilgebietes der algebraischen Zahlentheorie. Sie sind in gewisser Hinsicht besonders einfache Verallgemeinerungen des Körpers der rationalen Zahlen.

Definition: Es sei n>2 eine natürliche Zahl. Dann ist der n-te Kreisteilungskörper diejenige Körpererweiterung \mathbb Q(\mu_n) von \mathbb Q, die durch Adjunktion der Menge \mu_n aller n-ten Einheitswurzeln entsteht.

Eigenschaften[Bearbeiten]

\mathbb Q(\mu_n) = \mathbb Q(\zeta_n)\cong\mathbb Q[T]/(\Phi_n(T)).
Insbesondere ist der Körpergrad [\mathbb Q(\mu_n):\mathbb Q]=\varphi(n) mit der eulerschen φ-Funktion.
  • Zwei Kreisteilungskörper \mathbb Q(\mu_n) und \mathbb Q\mathbb(\mu_m) mit n<m sind genau dann gleich, wenn n ungerade ist und m = 2n gilt.
  • Die Adjunktion der m-ten Einheitswurzeln zu \mathbb Q(\mu_n) ergibt \mathbb Q(\mu_N) mit N=\mathrm{kgV}(m,n).
  • Die Erweiterung \mathbb Q(\mu_n)|\mathbb Q ist galoissch. Die Galoisgruppe ist isomorph zu (\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times; ist \zeta_n eine primitive n-te Einheitswurzel, so entspricht einem Element k\in(\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times der durch
\zeta_n\mapsto\zeta_n^k
definierte Automorphismus von \mathbb Q(\mu_n).
  • Der Ganzheitsring von \mathbb Q(\mu_n) ist \mathbb Z[\zeta_n] mit einer beliebigen primitiven n-ten Einheitswurzel \zeta_n.
  • Eine Primzahl p\ne2 ist genau dann verzweigt in \mathbb Q(\mu_n), wenn p ein Teiler von n ist. p ist genau dann voll zerlegt, wenn p\equiv 1\pmod n gilt.
  • Ist n=\ell^\nu eine Primzahlpotenz und \zeta_n eine primitive n-te Einheitswurzel, so ist \ell in \mathbb Q(\mu_n) unzerlegt und rein verzweigt. Das einzige Primideal über \ell ist das Hauptideal, das von 1-\zeta_n erzeugt wird:
(\ell)=(1-\zeta_n)^{\varphi(n)}.

Satz von Kronecker-Weber[Bearbeiten]

Der Satz von Kronecker-Weber (nach L. Kronecker und H. Weber) besagt, dass jeder algebraische Zahlkörper mit abelscher Galoisgruppe in einem Kreisteilungskörper enthalten ist. Die maximale abelsche Erweiterung von \mathbb Q entsteht also durch Adjunktion aller Einheitswurzeln.

Literatur[Bearbeiten]

  • Serge Lang Cyclotomic Fields, Springer, Graduate Texts in Mathematics, 2. Auflage 1990
  • Lawrence C. Washington Introduction to Cyclotomic Fields, Graduate Texts in Mathematics, Springer 1982, 2. Auflage 1996