Konvergenzbereich

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Ein Konvergenzbereich ist in der Analysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einer Funktionenfolge oder (häufiger) Funktionenreihe zugeordnet und bezeichnet eine (oft auch die im Sinne der Inklusion maximale) Menge von Punkten im Definitionsbereich, in denen die Funktionenreihe absolut konvergiert. Konvergenzgebiete sind Gebiete, also offene, zusammenhängende Teilmengen von Konvergenzbereichen. Die Begriffe Konvergenzbereich und -gebiet verallgemeinern die Begriffe „Konvergenzintervall“ bzw. „Konvergenzkreisscheibe“ aus der elementaren, reellen Analysis und der elementaren Funktionentheorie. Konvergenzkriterien für Funktionenfolgen und -reihen werden aus historischen Gründen gelegentlich als (verallgemeinerte) Cauchy-Hadamard-Formeln bezeichnet. Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard formuliert solche Kriterien für komplexe Potenzreihen.

Häufig gebrauchte Funktionenreihen

• Für eine Potenzreihe ist das maximale Konvergenzgebiet eine offene Kreisscheibe um den Entwicklungspunkt, deren Radius Konvergenzradius $r\in \mathbb {R} \cup \lbrace \infty \rbrace$ genannt wird.
• Für eine Laurentreihe ist das maximale Konvergenzgebiet ein offener Kreisring um den Entwicklungspunkt.
• Für eine Dirichletreihe ist der maximale Konvergenzbereich $H$ eine „rechte“ Halbebene, die in der komplexen Zahlenebene durch $H=\lbrace z\in \mathbb {C} ,\operatorname {Re} (z)>\sigma _{0}\rbrace$ gegeben ist. Die Zahl $\sigma _{0}\in \mathbb {R} \cup \lbrace \pm \infty \rbrace$ heißt die Konvergenzabszisse der Dirichletreihe.

In allen genannten Fällen

• existiert genau ein maximales Konvergenzgebiet (das Konvergenzgebiet)
• konvergiert die Reihe auf jedem Konvergenzgebiet kompakt,
• ist der maximale Konvergenzbereich eine Teilmenge der abgeschlossenen Hülle des maximalen Konvergenzgebietes und also
• das maximale Konvergenzgebiet genau das Innere des maximalen Konvergenzbereiches,
• kann die Reihe auf dem Rand des maximalen Konvergenzgebietes konvergieren oder divergieren.

Der klassische Satz von Cauchy-Hadamard

Die folgenden Aussagen über die Konvergenzbereiche von komplexen Potenzreihen wurden (im wesentlichen) zunächst von Augustin Louis Cauchy 1821 formuliert, aber allgemein kaum zur Kenntnis genommen, bis sie von Jacques Hadamard wiederentdeckt wurden. Dieser veröffentlichte sie 1888. Daher werden sie (und einige moderne Verallgemeinerungen) als Formel oder auch Satz von Cauchy-Hadamard bezeichnet.

Sei $M=\mathbb {C}$, $E=\mathbb {C}$ und $f_{n}(x)=c_{n}\cdot x^{n}$ mit $c_{n}\in \mathbb {C}$ für jedes $n\in \mathbb {N}$, d.h. die Funktionenreihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}$ sei eine komplexe Potenzreihe. Dann gilt:

1. Die offene Kreisscheibe B(0,r) um den Nullpunkt mit Radius r>0 gehört zum maximalen Konvergenzbereich, falls |c_n|∙rⁿ<1 für alle bis auf endlich viele $n\in \mathbb {N}$ erfüllt ist.
2. Das Komplement der abgeschlossenen Kreisscheibe B(0,R) liegt außerhalb des maximalen Konvergenzbereichs, wenn |c_n|∙Rⁿ>1 für unendlich viele $n\in \mathbb {N}$ gilt.
3. Es gibt einen Radius, bei dem sich die beiden vorgenannten Aussagen "treffen". Als Konvergenzradius wird $\textstyle r=\left(\limsup _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{|c_{n}|}}\right)^{-1}$ bezeichnet, falls diese Zahl existiert. Wenn nicht, wird der Konvergenzradius auf $\infty$ festgelegt. Der maximale Konvergenzbereich der Potenzreihe enthält die offene Kreisscheibe um 0 mit Radius $r$.
4. Die Potenzreihe konvergiert in allen Punkten, deren Abstand zur Null kleiner als $r$ ist. Außerdem divergiert sie in allen Punkten, deren Abstand größer $r$ ist. Über die Konvergenz in Punkten, deren Abstand zum Nullpunkt genau $r$ ist (d.h. die Kreislinie mit diesem Radius), kann keine allgemeine Aussage gemacht werden.

Die letze Aussage gilt sinngemäß ebenso für die Randpunkte der maximalen Konvergenzbereiche von Laurent- und Dirichletreihen. Auch deren maximales Konvergenzgebiet kann durch geeignetete limites superiores berechnet werden.

Verallgemeinerung für metrische Räume

Sei (M,d) ein metrischer Raum und (E,||.||) ein Banachraum. Es sei eine Folge von stetigen Funktionen $f_{n}:M\to E$ gegeben. Dann

• konvergiert die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ im Punkt $x\in M$, falls die Folge der Partialsummen $\textstyle S_{k}(x):=\sum _{n=0}^{k}f_{n}$, die eine Punktfolge im Wertebereich E ist, konvergiert.
• konvergiert die Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }f_{n}$ absolut im Punkt $x\in M$, falls die Zahlenreihe über die Normen der Summanden $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|f_{n}(x)\|$ konvergiert.

Jede Menge von Punkten $x\in M$, in denen absolute Konvergenz vorliegt, wird Konvergenzbereich genannt. Jede Zusammenhangskomponente des Inneren der Menge aller Punkte, in denen die Folge absolut konvergiert, ein maximales Konvergenzgebiet.

Bemerkung: In Randpunkten eines Konvergenzgebietes oder eines Konvergenzbereiches muss keine absolute Konvergenz vorliegen, die entsprechende Reihe kann im Wertebereich sogar divergent sein.

Majorantenkriterium

→ Hauptartikel: Weierstraßscher M-Test

1. Gibt es eine konvergente Reihe $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ mit positiven reellen Gliedern und ein Gebiet $G\subset M$ mit $\|f_{n}\|\leq a_{n}$ für alle $x\in G$ und alle bis auf endlich viele $n\in \mathbb {N}$, so ist G Teilmenge eines maximalen Konvergenzgebietes. Die Konvergenz ist auf G gleichmäßig und kompakt, damit ist die durch die Reihe auf G definierte Grenzfunktion F auf G stetig, falls dies für alle bis auf endlich viele Folgenglieder gilt.
2. Ist $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$ eine divergente Reihe mit positiven reellen Gliedern und gilt auf einem Gebiet $H\subseteq M$ die Ungleichung $\|f_{n}(x)\|>b_{n}$ für alle $x\in H$ und alle bis auf endlich viele $n\in \mathbb {N}$, so ist $G$ im Komplement des maximalen Konvergenzbereiches als Teilmenge enthalten.

Beispiele

$\exp(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}$ konvergiert überall absolut.

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a(a-1)\dots (a-n+1)}{n!}}z^{n}$ konvergiert im Inneren der Einheitskreisscheibe absolut gegen $(1+z)^{a}$

Literatur

• Heinrich Behnke und Friedrich Sommer: Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Studienausgabe, 3. Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1972, ISBN 3-540-07768-5. 
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 14. Auflage. Vieweg und Teubner, Stuttgart 2008, ISBN 978-3-8351-0208-8.  – Inhaltsverzeichnis
• Harro Heuser: Funktionalanalysis: Theorie und Anwendung. 3., durchgesehene Auflage. Teubner, Stuttgart 1992, ISBN 3-519-22206-X.  – Inhaltsverzeichnis

Zur Geschichte des Satzes von Cauchy-Hadamard

• Umberto Bottazzini: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass. Springer, New York/Berlin/Heidelberg 1986, ISBN 978-0-387-96302-0. 
• Jacques Hadamard: Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. In: C. R. Acad. Sci. Band 106. Springer, Paris 1888, ISBN 978-0-387-96302-0, S. 259–262.