Lagrange-Formalismus

Der Lagrange-Formalismus ist eine 1788 von Joseph Louis Lagrange eingeführte Formulierung der klassischen Mechanik, in der die Dynamik eines Systems durch eine einzige skalare Funktion, die Lagrangefunktion, beschrieben wird. Dadurch wird automatisch eine Invarianz gegen Koordinatentransformationen in den Formalismus „eingebaut“. Die Bewegungsgleichungen folgen als sogenannte Lagrangegleichungen aus dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung.

Diese Betrachtungsweise vereinfacht viele physikalische Probleme, denn im Gegensatz zur Newton’schen Formulierung der Bewegungsgesetze lassen sich im Lagrange-Formalismus Zwangsbedingungen relativ einfach durch das explizite Ausrechnen der Zwangskräfte oder die Wahl geeigneter Koordinaten $q_{i}$ (generalisierte Koordinaten) berücksichtigen.

Lagrangesche Methode erster Art

Wir betrachten $N$ Punktteilchen im $\ \mathbb {R} ^{3}$ mit den Ortsvektoren $\ \mathbf {r} _{i}$, $i\in \{1,...,N\}$, deren Koordinaten durch $s$ voneinander unabhängige (holonome) Zwangsbedingungen $F_{k}$ der Form $F_{k}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0$ mit $k\in \{1,\ldots ,s\}$ eingeschränkt sind (wobei eine explizite Zeitabhängigkeit zugelassen wurde). Dadurch werden die Lagen der Teilchen auf eine $f=3N-s$-dimensionale Mannigfaltigkeit eingeschränkt (f ist die Anzahl der Freiheitsgrade).

Das Pendel

Die Zwangskräfte $\mathbf {Z}$ stehen senkrecht auf dieser Mannigfaltigkeit und können daher durch eine Linearkombination der Gradienten $\nabla F_{k}$ dargestellt werden:

$\mathbf {Z} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k}$

Wenn man annimmt, dass sich die äußeren Kräfte aus einem Potential ableiten lassen, kann man die Bewegungsgleichung folgendermaßen schreiben:

$m_{i}{\ddot {\mathbf {r} }}_{i}=-\nabla _{i}V+\sum _{k=1}^{s}\lambda _{k}\nabla _{i}F_{k},\qquad i=1,\ldots ,N$

Die $m_{i}$ sind die Massen der $N$ Punktteilchen, $V$ ist die potentielle Energie. Dies, zusammen mit den Zwangsbedingungen $F_{i}(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)=0$, sind 3N+s unabhängige Gleichungen für die 3N Koordinaten der $\mathbf {r} _{i}$ sowie für die s Lagrangemultiplikatoren $\lambda _{k}$. Somit ist die Lösung des Gleichungssystems eindeutig.

Die Lagrangegleichungen erster Art sind äquivalent zu den Gleichungen, die sich aus dem D’Alembertschen Prinzip ergeben.

Bemerkung: Hier wurden nur holonome Zwangsbedingungen behandelt. Der Formalismus lässt sich aber auch auf Zwangsbedingungen der Form $\sum _{k}a_{k}\delta q_{k}=0\,$ anwenden, die z. B. bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen zwischen den Geschwindigkeiten der Teilchen folgen . Diese Zwangsbedingungsgleichungen lassen sich im Gegensatz zu holonomen Zwangsbedingungen nicht als vollständiges Differential einer Funktion darstellen, das heißt zwischen den Koeffizientenfunktionen gilt nicht ${\frac {\partial a_{i}}{\partial q_{k}}}={\frac {\partial a_{k}}{\partial q_{i}}}$.

Ähnlich wie oben können die Zwangsbedingungen in den Bewegungsgleichungen über Lagrangemultiplikatoren berücksichtigt werden (siehe unten).

Beispiel – Fallmaschine nach Atwood

Bei der Fallmaschine nach Atwood betrachtet man zwei Punktmassen im Gravitationsfeld der Erde, die über eine Rolle in der Höhe h aufgehängt und durch ein Seil der Länge l verbunden seien. Die Zwangsbedingung lautet in diesem Fall:

$\,F:=y_{1}+y_{2}+l-2h=0$

Wird das Seil berücksichtigt, das auf der Rolle (Rollenradius r) liegt, dann ergibt sich:

$F:=y_{1}+y_{2}+l-2h-\pi \ r=0$

Die potentielle Energie V berechnet sich zu:

$V:=m_{1}gy_{1}+m_{2}gy_{2}$

Für die Gradienten erhält man

${\frac {\partial F}{\partial y_{1}}}=1,\qquad {\frac {\partial F}{\partial y_{2}}}=1$

${\frac {\partial V}{\partial y_{1}}}=m_{1}g,\qquad {\frac {\partial V}{\partial y_{2}}}=m_{2}g$

Dies führt auf das System der Lagrange-Gleichungen 1. Art:

${\begin{matrix}m_{1}{\ddot {y}}_{1}&=&-m_{1}g+\lambda \\m_{2}{\ddot {y}}_{2}&=&-m_{2}g+\lambda \\y_{1}+y_{2}+l-2h&=&0\end{matrix}}$

Dies kann man auflösen und erhält z. B. für bekannte Anfangsbedingungen:

${\begin{matrix}y_{1}(t)&=&{\frac {1}{2}}{m_{2}-m_{1} \over {m_{1}+m_{2}}}gt^{2}+{\dot {y}}_{1,0}t+y_{1,0}\\\lambda &=&2g{\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\end{matrix}}$

Lagrangesche Methode zweiter Art

Herleitung der Lagrange-Gleichungen

Die Lagrange-Funktion der klassischen Mechanik für konservative Systeme mit holonomen Zwangsbedingungen ist (im nicht-relativistischen Fall)$\,L=T-V$, wobei die kinetische Energie $T$ und die potentielle Energie $V$ mit unterschiedlichem Vorzeichen eingehen.

Die (Euler-)Lagrange-Gleichungen erhält man durch Variation des mit der Lagrangefunktion gebildeten Wirkungsintegrals im Hamiltonschen Prinzip. Dazu variiert man die generalisierten Koordinaten mit

$\,q\rightarrow q+\delta q$

$\,{\dot {q}}\rightarrow {\dot {q}}+\delta {\dot {q}}$

Das Hamiltonsche Prinzip wird dann zu

$\delta W=\delta \int {\text{d}}tL(q,{\dot {q}},t)=\int {\text{d}}t(L(q+\delta q,{\dot {q}}+\delta {\dot {q}},t)-L(q,{\dot {q}},t)){\stackrel {!}{=}}0\,.$

Eine Näherung in erster Ordnung lautet für eine gewöhnliche Funktion f(x,y)

$f(x+{\text{d}}x,y+{\text{d}}y)\approx f+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\text{d}}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\text{d}}y$

also

${\text{d}}f=f(x+{\text{d}}x,y+{\text{d}}y)-f(x,y)={\frac {\partial f}{\partial x}}{\text{d}}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\text{d}}y$.

In erster Ordnung ergibt sich die Variation des Integrals also zu

$\int {\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta {\dot {q}}\right)=\int {\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial q}}\delta q+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta q\right)$

Nun führt man eine partielle Integration in dem Term aus, der die Ableitung nach der Zeit enthält:

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\text{d}}t\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\delta q\right)=\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\,{\text{d}}t$.

Hierbei wird benutzt, dass

$\,\delta q(t_{1})=\delta q(t_{2})=0$

ist, da Anfangs- und Endpunkt festgehalten werden. Daher gilt für die Randterme

$\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=0$

Damit resultiert schließlich

$\int {\text{d}}t\left(-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {\partial L}{\partial q}}\right)\delta q{\stackrel {!}{=}}0\,.$

Da nun $\delta q$ als Faktor des gesamten Integrals auftritt und beliebig ist, kann das Integral nur dann nach dem Variationsprinzip verschwinden, wenn der Integrand selbst verschwindet. Es folgen die Euler-Lagrange-Gleichungen (Ursprünglich Euler-Gleichungen aus der Variationsrechnung, hier angewandt auf die Lagrangefunktion), häufig nur kurz als Lagrange-Gleichungen bezeichnet:

${\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial {L}}{\partial q_{i}}}=0\,.$

Für jede generalisierte Koordinate $q_{i}$ (und die zugehörige generalisierte Geschwindigkeit ${\dot {q}}_{i}$) gibt es eine solche Gleichung. Die Lagrange-Gleichungen bilden ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Wie viele Differentialgleichungen das im Endeffekt sind, weiß man erst, wenn die Zahl der Freiheitsgrade des "Systems" berechnet wurden.

Beispiel zu den Euler-Lagrange-Gleichungen

Ein-Massen-Schwinger als harmonischer Oszillator

Für einen eindimensionalen harmonischen Oszillator gilt

$T={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}$

$V={\frac {1}{2}}cx^{2}$

Mit $q=x$ als generalisierter Koordinate folgt die Bewegungsgleichung direkt aus der Euler-Lagrange-Gleichung (Lagrangegleichung zweiter Art). Die Lagrangefunktion ist

$L=T-V={\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}-{\frac {1}{2}}cx^{2}={\frac {1}{2}}m{\dot {q}}^{2}-{\frac {1}{2}}cq^{2}$

und damit

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=m{\dot {q}}$ $,{\frac {\partial L}{\partial q}}=-cq$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(m{\dot {x}}\right)+cx=0\Leftrightarrow {\ddot {x}}=-{\frac {c}{m}}x$

Die allgemeine Lösung dieser Gleichung ist

$\,x(t)=A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)$,

wobei $\omega ={\sqrt {c/m}}$ die Kreisfrequenz ist und A,B reelle Konstanten sind.

Zyklische Variable, generalisierter Impuls

Wenn die Lagrangefunktion $L$ nicht von einer Koordinate $q$ abhängt, sondern nur von der zugehörigen Geschwindigkeit ${\dot {q}}\,,$ dann nennt man $q$ zyklisch oder zyklische Koordinate oder zyklische Variable. Der zur zyklischen Variablen $q$ konjugierte Impuls

$p={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}$

ist eine Erhaltungsgröße: ihr Wert ändert sich nicht während der Bewegung wie gleich gezeigt wird.

Begründung: Wenn die Lagrangefunktion nicht von $q$ abhängt, gilt

${\frac {\partial {L}}{\partial q}}=0\,.$

Dann folgt aber aus der Euler-Lagrangegleichung (Lagrangegleichung zweiter Art)

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0$

$\Rightarrow {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}=0\,,$

dass die Zeitableitung des zugehörigen konjugierten Impulses verschwindet und er somit zeitlich konstant ist.

Allgemeiner gehört nach dem Noether-Theorem zu jeder kontinuierlichen Symmetrie der Wirkung eine Erhaltungsgröße. Bei einer zyklischen Variablen ist die Wirkung invariant unter der Verschiebung von $q$ um eine beliebige Konstante, $q\rightarrow q+c\,.$

Erweiterung auf nicht-konservative Systeme

Für nicht-konservative Systeme (Systeme, bei denen nicht alle Kräfte Potentialkräfte sind) lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

${{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {L} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {L} \over \partial q_{i}}=Q_{i}^{*}$

bzw.

${{\text{d}} \over {\text{d}}t}{\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {T} \over \partial q_{i}}=Q_{i}$

$T$: kinetische Energie

$\,Q_{i}$: generalisierte Kräfte als Summe der nicht-konservativen Kräfte und der Potentialkräfte

$Q_{i}^{*}$: generalisierte Kräfte ausschließlich nicht-konservativer Natur

Die generalisierten Kräfte bestimmt man aus der virtuellen Arbeit der eingeprägten Kräfte

$\delta W=\sum _{i}Q_{i}\;\delta q_{i}$

durch Vergleich der Koeffizienten von $\delta q_{i}$.

Beispiel

Schema eines Aufzuges

Die Achse einer Aufzugtrommel wird durch ein Drehmoment M angetrieben. Die Masse der Last beträgt m, das Massenträgheitsmoment der Trommel ist J. Der Radius der Trommel ist r.

Zwischen den Koordinaten x und φ besteht folgende Beziehung:

$x=r\varphi$

$\Rightarrow \;{\dot {x}}=r{\dot {\varphi }}$

$\Rightarrow \;\delta x=r\delta \varphi$

Die kinetische Energie ist:

$T={\frac {1}{2}}\left(m{\dot {x}}^{2}+J{\dot {\varphi }}^{2}\right)={\frac {1}{2}}\left(mr^{2}+J\right){\dot {\varphi }}^{2}$

Die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte ist

$\delta W=-mg\,\delta x+M\,\delta \varphi =(-mgr+M)\,\delta \varphi$

$\Rightarrow \;Q=-mgr+M$

Daraus folgt schließlich die Bewegungsgleichung

$\left(mr^{2}+J\right){\ddot {\varphi }}=-mgr+M$

Die Auflösung dieser Gleichung nach der Winkelbeschleunigung ergibt

${\ddot {\varphi }}={\frac {-mgr+M}{mr^{2}+J}}$

Erweiterung auf Systeme mit Nebenbedingungen

Zwischen den generalisierten Koordinaten mögen noch n Nebenbedingungen folgender Form existieren:

$\sum _{i}a_{ki}(q_{1},q_{2}\ldots q_{n},{\dot {q}}_{1},{\dot {q}}_{2}\ldots {\dot {q}}_{n},t)\;\delta q_{i}=0$

(Nur bei holonomen Systemen lassen sich mit Hilfe der Nebenbedingungen überzählige Koordinaten eliminieren.)

Für Systeme mit Nebenbedingungen lassen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen wie folgt formulieren:

${d \over dt}{\partial {T} \over \partial {{\dot {q}}_{i}}}-{\partial {T} \over \partial q_{i}}=Q_{i}+\sum _{k}\lambda _{k}a_{ki}$

$\lambda _{k}$: beim Integrationsprozess zu bestimmende Lagrangesche Multiplikatoren

Siehe auch: Hamiltonsche Mechanik

Erweiterung auf Felder

In der Feldtheorie ergibt sich die Bewegungsgleichung aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder zu

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-\sum _{j=1}^{3}{\frac {d}{dx_{j}}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial ({\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x_{j}}})}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\frac {\partial \phi _{i}}{\partial t}}}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)\equiv 0$

wobei $\Phi =\Phi (x,y,z,t)$ das betrachtete Feld und ${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\left(\phi ,{\frac {\partial \phi }{\partial x}},{\frac {\partial \phi }{\partial y}},{\frac {\partial \phi }{\partial z}},{\frac {\partial \phi }{\partial t}},x,y,z,t\right)$ die Lagrange-Dichte sind.

Man kann dies in Kurzform auch schreiben als

${\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}\equiv 0\,,$

mit der so definierten Variationsableitung   ${\frac {\delta {\mathcal {L}}}{\delta \phi }}:={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi _{i}}}-{\partial _{\mu }}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi _{i})}}\right)$.

Der Lagrangeformalismus ist auch der Ausgangspunkt vieler Formulierungen der Quantenfeldtheorie.

Zusammenhang mit Pfadintegralen in der Quantenmechanik

Richard Feynman hat als erster diese Herangehensweise auch konsequent für die Herleitung der Gleichungen der Quantenmechanik verwendet. In der klassischen Physik ergeben sich die oben beschriebenen Lagrange-Gleichungen aus der Forderung, dass das Wirkungsintegral (bei dem über die Lagrange-Funktion integriert wird) stationär wird (durch die Variation des Integrals erhält man die Differenzialgleichungen). In Feynmans Pfadintegral-Formalismus ist die quantenmechanische Wahrscheinlichkeitsamplitude, das ein System zwischen Anfangs- und Endbedingungen einen bestimmten Pfad einschlägt proportional $e^{\frac {iW}{\hbar }}$ mit dem Wirkungsintegral $W$. Pfade in der Umgebung des klassischen Weges, für den die Variation von $W$ verschwindet, liefern dabei meist die Hauptbeiträge, da sich in ihrer Umgebung die Beiträge mit fast gleichen Phasenfaktoren addieren.

Frei fallende Teilchen in der allgemeinen Relativitätstheorie

In der allgemeinen Relativitätstheorie durchlaufen frei fallende Teilchen Weltlinien längster Zeit: zwischen zwei (genügend nah beieinander liegenden) Ereignissen $A$ und $B$ vergeht auf einer mitgeführten Uhr auf der Weltlinie frei fallender Teilchen mehr Zeit, als auf allen anderen Weltlinien durch diese Ereignisse. Sei $s$ ein entlang des Pfades monoton wachsender Laufparameter, so ergibt sich die verstrichene Zeit zu

$\tau _{AB}=\int _{\underline {s}}^{\overline {s}}L{\bigl (}s,x(s),{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} s}}{\bigr )}\,\mathrm {d} s\ ,\ x({\underline {s}})=A\,,\ x({\overline {s}})=B\,,$

mit der Lagrangefunktion

$L(s,x,{\dot {x}})={\sqrt {g_{mn}(x)\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}\,.$

Dabei sind $g_{mn}(x)$ die Komponentenfunktionen der Metrik. Wir rechnen einfachheitshalber in Maßsystemen, in denen die Lichtgeschwindigkeit dimensionslos ist und den Wert $c=1$ hat, und verwenden die Einsteinsche Summenkonvention.

Der zu $x^{k}$ konjugierte Impuls ist

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}^{k}}}={\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}$

und die Euler-Lagrange-Gleichungen lauten

$0={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {g_{kl}\,{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}$

$\qquad \qquad =g_{kl}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}{\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}+{\frac {{\dot {x}}^{r}\,\partial _{r}g_{ks}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\partial _{k}g_{rs}\,{\dot {x}}^{r}\,{\dot {x}}^{s}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}\,.$

Verwenden wir hier als Abkürzung das Christoffel-Symbol

$\Gamma _{rs}{}^{l}={\frac {1}{2}}g^{lm}{\bigl (}\partial _{r}g_{sm}+\partial _{s}g_{rm}-\partial _{m}g_{rs}{\bigr )}\,,$

so erweist sich die Weltlinie längster Dauer als Gerade: die Richtung der Tangente an die Weltlinie

$u^{l}={\frac {{\dot {x}}^{l}}{\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}}$

ändert sich nicht bei Parallelverschiebung längs der Weltlinie

$0=g_{kl}{\bigl (}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}u^{l}+{\dot {x}}^{r}\,\Gamma _{rs}{}^{l}\,u^{s}{\bigr )}\,.$

Die Parametrisierung wird nicht festgelegt. Verfügen wir so über sie, dass der Tangentialvektor überall gleich lang ist, dann ist ${\sqrt {g_{mn}\,{\dot {x}}^{m}\,{\dot {x}}^{n}}}$ konstant und der Tangentialvektor geht beim Durchlaufen der Weltlinie in sich über. Sie erfüllt die Geodätengleichung

$0={\frac {\mathrm {d} ^{2}x^{l}}{\mathrm {d} s^{2}}}+\Gamma _{rs}{}^{l}(x)\,{\frac {\mathrm {d} x^{r}}{\mathrm {d} s}}\,{\frac {\mathrm {d} x^{s}}{\mathrm {d} s}}\,.$

Dies ist die allgemein-relativistische Form der Bewegungsgleichung eines frei fallenden Teilchens. Die Gravitation ist in den $\Gamma _{rs}{}^{l}$ voll berücksichtigt.

Literatur

Lehrbücher der klassischen Mechanik wie

• Josef Honerkamp, Hartmann Römer: Klassische Theoretische Physik. 3. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-55901-9.  (Volltext hier erhältlich)
• Herbert Goldstein, Charles P. Poole, John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, 2006, ISBN 3-527-40589-5. 
• Cornelius Lanczos: The Variational Principles of Mechanics. 4. Auflage. Dover Pubn Inc, 1986, ISBN 0-486-65067-7. 
• Friedhelm Kuypers: Klassische Mechanik. 8. Auflage. Wiley-Vch, 2008, ISBN 3-527-40721-9. 

zu Pfadintegralen

• Hagen Kleinert: Pfadintegrale in Quantenmechanik, Statistik und Polymerphysik. Spektrum Akad. Vlg., Mannheim 1993, ISBN 3860256130
• Hagen Kleinert: Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets. 4. Auflage, World Scientific, Singapore 2006, ISBN 978-9812700087 ([1] auch online lesbar hier)

Weblinks

• Whittaker Analytische Dynamik der Punkte und starren Körper, Springer, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 1924
• Artikel "Von d´Alembert zu Lagrange II" auf www.matheplanet.com
• Anwendungen des Lagrange-Formalismus an Beispielen der Oberstufenphysik