Benutzer:MovGP0/Mathematik/Metrischer Tensor

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Metrischer Tensor

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Gradient / Steigung

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Position


Gradient ϕ in x-Richtung:

Zeichen bedeutet, dass ϕ nur in einer von mehreren Dimensionen abgeleitet wird.

Distanz s im rechtwinkeligen Koordinatensystem:

Vektor s ist Summe aus Vektor x und Vektor y:

Gradient ϕ in Richtung s ist Summe aus Gradient in Richtung x und Gradient in Richtung y:


Position


 
 
 (Gl. 1: Gradient)
 

Koordinatentransformation

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Transformation von Koordinaten x nach Koordinaten y:

 
 
 (Gl. 2: Koordinatentransformation)
 
 
 
 (Gl. 3: Vektor-Koordinatentransformation)
 

Arbeit W (in Richtung x) ist Kraft F (in Richtung x) mal Distanz x:

Tensor kombiniert mehrere Vektoren:

Koordinatentransformation erfolgt über Transformation der Teilvektoren:

 
 
 (Gl. 4: kontravariante Tensor-Koordinatentransformation)
 
 
 
 (Gl. 5: kovariante Tensor-Koordinatentransformation)
 

Pythagoras:

Alternativ:

// Definition: checks if indices are equal
let delta i j = 
    if i = j then 1 else 0;

Metrischer Tensor

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Mit

und der Koordinatentransformation

erhält man

  • Der metrische Tensor projiziert die Vektoren, sodass das Pythagoras-Theorem korrigiert wird.
  • Wenn der Raum flach ist, so gilt .