Benutzer:MovGP0/Physik/Tensoren

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  • Ein Tensor ist eine Funktion, welche eine bestimmte Anzahl von Vektoren (Rang ) auf ein Ergebnis abbildet.
  • Verhält sich multilinear, dh. eine lineare Funktion für jeden Eingangsvektor, Es gilt:
  • Multilinearität ermöglicht es den Wert der Funktion einer beliebigen Menge von Vektoren als Funktion von Basisvektoren darzustellen.
  • Die Ergebniswerte der Tensor-Funktion auf den jeweiligen Basisvektoren werden als Komponenten bezeichnet.

Komponenten von Tensoren

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Seien die Basisvektoren des Raums , so lassen sich die Vektoren wie folgt in Komponenten darstellen:

Dann gilt für den Tensor vom Rang 2:

Die Werte , sind hierbei die Komponenten des Tensors für die jeweiligen Basisvektoren. Der Tensor selbst ist hierbei – im Gegensatz zu den Komponenten des Tensors – unabhängig davon, welches Basissystem verwendet wird.

Basistransformation

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Um die Komponenten von einem Basissystem mit den Basisvektoren in ein anderes Basissystem mit den Basisvektoren zu überführen, wird der geometrische Tensor benötigt. Dieser definiert sich aus dem Zusammenhang:

Daraus folgt:

Darstellung des Tensors mit Hilfe der Komponenten

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Mit Hilfe der Komponenten kann ein Tensor dargestellt werden. Beispielsweise kann ein Tensor mit Rang 2 in einem gegebenen Basissystem wie folgt als Matrix dargestellt werden:

Dadurch lässt sich der Wert im Rahmen des entsprechenden Basissystems mit Hilfe der Matrixmultiplikation berechnen:

Anwendungsbeispiel

Es soll mit Hilfe des Trägheitstensors der Drehimpuls eines starren Körpers mit der Winkelgeschwindigkeit in einem dreidimensionalen Vektorraum mit der Basis berechnet werden: