Benutzer:MovGP0/Physik/Imaginäre Zahlen

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Imaginäre Zahlen Definition $\mathrm {i} ^{2}=-1$ $\left\{z=\mathrm {i} \,y\ |\ y\in \mathbb {R} \right\}$ Multiplikation $\mathrm {i} \,y=y\,\mathrm {i}$ $\left(\mathrm {i} \,y\right)^{2}=\mathrm {i} ^{2}\,y^{2}=-y^{2}$ Komplexe Zahlen Definition $\left\{z=x+\mathrm {i} \,y\ |\ x,y\in \mathbb {R} \right\}$ $\left\{w=u+\mathrm {i} \,v\ |\ u,v\in \mathbb {R} \right\}$ Summe $w+z=(u+x)+\mathrm {i} \,(v+y)$ Skalarprodukt $w\,z=(u\,x-v\,y)+\mathrm {i} \,(u\,y+v\,x)$ Komplement $-z=(-x)+(-\mathrm {i} \,y)$ Inverses Element $\left\{\left.z^{-1}={\frac {x-\mathrm {i} \,y}{x^{2}+y^{2}}}\ \right|\ z\neq 0\right\}$ $z\,z^{-1}=1$ Absolutwert, Betrag $|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ $|w\,z|^{2}=|w|^{2}\,|z|^{2}$ $|w\,z|=|w|\,|z|$ $\left|z^{-1}\right|=|z|^{-1}$ $\left|{\frac {w}{z}}\right|={\frac {|w|}{|z|}}$ $|w+z|\leq |w|+|z|$ Polardarstellung $z=x+iy=r\cos \theta +\mathbb {i} \,r\sin \theta =r\,(\cos \theta +\mathbb {i} \sin \theta )=r\,\mathbb {e} ^{\mathbb {i} \theta }$ konjungiert komplexe Zahlen Definition $z^{*}=x-\mathrm {i} \,y$ ${z^{*}}^{*}=z$ Spezialfälle Realteil $z+{z^{*}}=2\,x$ Imaginärteil $z-{z^{*}}=2\,\mathrm {i} \,y$ Konjungation von reeller Zahl $x^{*}=x$ Konjugation von imaginärer Zahl $(y\,\mathrm {i} )^{*}=-(y\,\mathrm {i} )$ Summe $w^{*}+z^{*}=(w+z)^{*}$ Skalarprodukt $w^{*}\,z^{*}=(w\,z)^{*}$ Inverses Element $(z^{*})^{-1}={\frac {x+\mathrm {i} \,y}{x^{2}+y^{2}}}$ $(z^{*})^{-1}=(z^{-1})^{*}$ $\left({\frac {w}{z}}\right)^{*}={\frac {w^{*}}{z^{*}}}$ Absolutwert, Betrag $|z^{*}|=|z|$ $z\,z^{*}=z^{*}\,z=|z|^{2}$