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Ein Vektorraum
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle K}
c
,
s
∈
K
∈
V
{\displaystyle c,s\in K\in V}
u
,
v
,
w
∈
V
{\displaystyle u,v,w\in V}
Nr.
Axiom
Erklärung
Axiome bezüglich der Vektoraddition
1
∀
v
,
w
∈
V
:
v
⊕
w
=
w
⊕
v
{\displaystyle \forall v,w\in V:\quad v\oplus w=w\oplus v}
Für alle Vektoren gilt Kommutativität bezüglich der Vektoraddition
2
∀
v
,
w
,
x
∈
V
:
v
⊕
(
w
⊕
x
)
=
(
v
⊕
w
)
⊕
x
{\displaystyle \forall v,w,x\in V:\quad v\oplus (w\oplus x)=(v\oplus w)\oplus x}
Für alle Vektoren gilt Assoziativität bezüglich der Vektoraddition
3
∃
0
∈
V
:
∀
v
∈
V
:
v
⊕
0
=
v
{\displaystyle \exists 0\in V:\quad \forall v\in V:\quad v\oplus 0=v}
Es existiert ein Nullvektor
0
{\displaystyle 0}
4
∀
v
∈
V
:
∃
(
−
v
)
:
v
⊕
(
−
v
)
=
0
{\displaystyle \forall v\in V:\quad \exists (-v):\quad v\oplus (-v)=0}
Für jeden Vektor, existiert ein Komplement
Axiome bezüglich der Skalarmultiplikation
5
∀
c
∈
K
:
∀
v
,
w
∈
V
:
c
⊙
(
v
⊕
w
)
=
(
c
⊙
v
)
⊕
(
c
⊙
w
)
{\displaystyle \forall c\in K:\quad \forall v,w\in V:\quad c\odot (v\oplus w)=(c\odot v)\oplus (c\odot w)}
Für alle Skalare gilt Distributivität
6
∃
1
∈
V
:
∀
v
∈
V
:
1
⊙
v
=
v
{\displaystyle \exists 1\in V:\quad \forall v\in V:\quad 1\odot v=v}
Es existiert ein Einheitsvektor
1
{\displaystyle 1}
7
∀
c
,
s
∈
K
:
∀
v
∈
V
:
(
c
+
s
)
⊙
v
=
(
c
⊙
v
)
⊕
(
s
⊙
v
)
{\displaystyle \forall c,s\in K:\quad \forall v\in V:\quad (c+s)\odot v=(c\odot v)\oplus (s\odot v)}
Distributivität
8
∀
c
,
s
∈
K
:
∀
v
∈
V
:
(
c
⋅
s
)
⊙
v
=
c
⊙
(
s
⊙
v
)
{\displaystyle \forall c,s\in K:\quad \forall v\in V:\quad (c\cdot s)\odot v=c\odot (s\odot v)}
Assoziativität
Raum
Beschreibung
Addition
Multiplikation
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
C
n
{\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
Reeller/Komplexer Raum
(
v
i
)
+
(
w
i
)
=
(
v
i
+
w
i
)
{\displaystyle (v^{i})+(w^{i})=(v^{i}+w^{i})}
s
⋅
(
v
i
)
=
(
s
v
i
)
{\displaystyle s\cdot (v^{i})=(s\,v^{i})}
M
n
(
R
)
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}
M
n
(
C
)
{\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}
reelle/komplexe n×n-Matrix
(
A
+
B
)
i
j
=
A
i
j
+
B
i
j
{\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}}
s
(
A
i
j
)
=
(
s
A
)
i
j
{\displaystyle s\,(A_{ij})=(s\,A)_{ij}}
H
n
(
C
)
{\displaystyle H_{n}(\mathbb {C} )}
hermitesch -komplexe n×n-Matrix[e 1] Pauli-Matrizen )
↑ Eine hermitesche Matrix kann bei Multiplikation mit einem komplexen Skalar eine nicht-hermitesche Matrix bilden. Man sagt: „eine hermitesche Matrix ist nicht geschlossen unter komplex-skalarer Multiplikation“.
