Bonferroni-Ungleichung

Die Bonferroni-Ungleichungen sind Formeln, die zur Abschätzung der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts bzw. der Vereinigung von Ereignissen dienen.

Benennung nach Bonferroni

Die Bonferroni-Ungleichungen werden nicht unbedingt zu Recht nach Carlo Emilio Bonferroni benannt.

Bonferroni war vermutlich nicht der Urheber dieser Ungleichungen, benutzte sie aber, um einen statistischen Schätzer zu definieren (Bonferroni-Methode). Die Benennung nach ihm ist daher vor allem in statistischen Kreisen beliebt. Aufgrund ihrer Einfachheit sind die Ungleichungen mit großer Wahrscheinlichkeit schon vor ihm bekannt gewesen.

Die erste der folgenden Ungleichungen wird häufiger nach George Boole als Boolesche Ungleichung bezeichnet; oft werden die Ungleichungen aber auch ohne Namensbezug genannt.

Erste Ungleichung

Im Folgenden seien $E_{i}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\Pr )$. Es bezeichne $\Pr(E_{i})$ die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $E_{i}$ und $\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}$ die Vereinigungsmenge der Ereignisse $E_{1},\dots ,E_{n}$. Dann gilt:

$\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n}E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{n}\Pr \left(E_{i}\right)$.

Es gilt auch allgemeiner:

$\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\Pr \left(E_{i}\right)$

Diese Ungleichungen werden auch Boolesche Ungleichungen genannt.

Beweis

Setzt man

$A_{i}=E_{i}\setminus \left(\bigcup _{j=1}^{i-1}E_{j}\right),$

dann sind die $A_{i}$ paarweise disjunkt und es gilt

$\bigcup _{i}A_{i}=\bigcup _{i}E_{i}.$

Damit folgt

$\Pr \left(\bigcup _{i}E_{i}\right)=\Pr \left(\bigcup _{i}A_{i}\right)=\sum _{i}\Pr(A_{i})\leq \sum _{i}\Pr(E_{i}).$

Dabei gilt die zweite Gleichheit wegen der σ-Additivität und die Ungleichung wegen $A_{i}\subseteq E_{i}$ und der Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes.

Zweite Ungleichung

Im Folgenden seien wieder $E_{i}$ beliebige Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,{\mathcal {A}},\Pr )$. Ferner bezeichne ${\overline {E_{i}}}=\Omega \setminus E_{i}$ das Komplement von $E_{i}$. Dann folgt:

$\Pr \left(\bigcap _{i=1}^{n}E_{i}\right)\geq 1-\sum _{i=1}^{n}\Pr \left({\overline {E_{i}}}\right)$

Dritte Ungleichung

Mit den beiden obigen Ungleichungen eng verbunden ist die folgende, welche von einigen Autoren auch als bonferronische Ungleichung (englisch Bonferroni's Inequality) genannt wird. Sie besagt (unter den genannten Voraussetzungen):

$\Pr \left(\bigcup _{i=1}^{n}{E_{i}}\right)\geq \sum _{i=1}^{n}\Pr \left(E_{i}\right)-\sum _{i,j=1,\ldots ,n \atop \;{\text{mit}}\;i<j}\Pr \left({E_{i}\cap E_{j}}\right)$

Beispiele

• Sei $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$ die Menge der Ergebnisse eines Würfelwurfs. Bezeichne $E_{1}=\{2,4,6\}$ das Ereignis, eine gerade Zahl zu würfeln und $E_{2}=\{5,6\}$ das Ereignis, wenigstens eine 5 zu würfeln. Offensichtlich gilt $\Pr(E_{1})={\frac {1}{2}}$ und $\Pr(E_{2})={\frac {1}{3}}$. Nach der ersten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl oder wenigstens eine 5 zu würfeln

$\Pr \left(E_{1}\cup E_{2}\right)\leq \Pr \left(E_{1}\right)+\Pr \left(E_{2}\right)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}={\frac {5}{6}}.$

• Sei das Szenario wie im vorausgehenden Beispiel. Nach der zweiten Bonferroni-Ungleichung gilt für das Ereignis, eine gerade Zahl und mindestens eine 5 zu würfeln

$\Pr \left(E_{1}\cap E_{2}\right)\geq 1-\Pr \left({\overline {E_{1}}}\right)-\Pr \left({\overline {E_{2}}}\right)=1-(1-{\frac {1}{2}})-(1-{\frac {1}{3}})=-{\frac {1}{6}}$

Das Ergebnis liefert also keine brauchbare Aussage, da jede Wahrscheinlichkeit ohnehin größer oder gleich Null ist. Für das Ereignis, eine gerade Zahl und weniger als eine 5 zu würfeln folgt jedoch

$\Pr \left(E_{1}\cap {\overline {E_{2}}}\right)\geq 1-\Pr \left({\overline {E_{1}}}\right)-\Pr \left(E_{2}\right)=1-(1-{\frac {1}{2}})-(1-{\frac {2}{3}})={\frac {1}{6}}.$

Literatur

• János Galambos, Italo Simonelli: Bonferroni type inequalities with applications. Springer, New York u.a. 1996, ISBN 0-387-94776-0.
• J. Galambos: Bonferroni inequalities. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 
• Klaus Dohmen: Improved Bonferroni Inequalities via Abstract Tubes. Inequalities and Identities of Inclusion-Exclusion Type. Springer, Berlin u.a. 2003, ISBN 3-540-20025-8.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5.
• Kenneth H. Rosen (Hrsg.): Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics. CRC Press, 2000, ISBN 0-8493-0149-1.