Distributivgesetz

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Die Distributivgesetze (lat. distribuere „verteilen“) sind mathematische Regeln, die angeben, wie sich zwei zweistellige Verknüpfungen bei der Auflösung von Klammern zueinander verhalten, nämlich dass die eine Verknüpfung in einer bestimmten Weise verträglich ist mit der anderen Verknüpfung.

Insbesondere in der Schulmathematik bezeichnet man die Verwendung des Distributivgesetzes zur Umwandlung einer Summe in ein Produkt als Ausklammern oder Herausheben. Das Auflösen von Klammern durch Anwenden des Distributivgesetzes wird als Ausmultiplizieren bezeichnet.

Das Distributivgesetz bildet mit dem Assoziativgesetz und dem Kommutativgesetz grundlegende Regeln der Algebra.

Formale Definition[Bearbeiten]

Auf einer Menge A seien zwei zweistellige Verknüpfungen {\diamond}\colon A \times A\to A und *\colon A \times A\to A definiert. Die Verknüpfung * heißt

  • linksdistributiv über \diamond, wenn für alle a, b, c \in A gilt a * (b \diamond c) = (a * b) \diamond (a * c)
  • rechtsdistributiv über \diamond, wenn für alle a, b, c \in A gilt (a \diamond b) * c = (a * c) \diamond (b * c)
  • distributiv über \diamond, wenn sie links- und rechtsdistributiv über \diamond ist.

Wenn die Verknüpfung * kommutativ ist, so sind diese drei Bedingungen äquivalent.

Bedeutung[Bearbeiten]

Als Beispiel können die zweistelligen Verknüpfungen der Addition (+) und der Multiplikation (\cdot) von Zahlen dienen.

Man unterscheidet zwischen linksdistributiven und rechtsdistributiven Verknüpfungen:

a \cdot \left( b \pm c \right) = a \cdot b \pm a \cdot c  (linksdistributiv)
(a \pm b) \cdot c = a \cdot c \pm b \cdot c  (rechtsdistributiv)

In Worten:

Eine Summe (bzw. Differenz) wird mit einem Faktor multipliziert, indem man jeden Summand (bzw. Minuend und Subtrahend) mit diesem Faktor multipliziert und die Produktwerte addiert (bzw. subtrahiert).

Ist die „übergeordnete“ Verknüpfung, in diesem Fall die Multiplikation, kommutativ, so kann man aus der Linksdistributivität auch die Rechtsdistributivität folgern und umgekehrt.

Ein Beispiel für „nur“ Rechtsdistributivität ist die Division, die ja nicht kommutativ ist:

(a \pm b) : c = a : c \pm b : c

Hier gilt in der Regel nicht:

a : (b \pm c) = a : b \pm a : c

In der Schulmathematik werden meistens nur die beidseitigen (kommutativen) Distributivgesetze als solche bezeichnet und das Divisionsgesetz umgangen. Es wird dann nur gerechnet:

\text{seien } a = m \cdot c \text{ und } b = n \cdot c
(a \pm b) : c = (m \cdot c \pm n \cdot c) : c = (m \pm n) \cdot c : c = m \pm n

Die Distributivgesetze gehören zu den Axiomen für Ringe und Körper. Beispiele für Strukturen, in denen zwei Funktionen sich gegenseitig zueinander distributiv verhalten, sind Boolesche Algebren, wie die Algebra der Mengen oder die Schaltalgebra. Es gibt aber auch Kombinationen von Verknüpfungen, die sich nicht distributiv zueinander verhalten; zum Beispiel ist die Addition nicht distributiv über der Multiplikation.

Das Multiplizieren von Summen kann man auch folgendermaßen in Worte fassen: Eine Summe wird mit einer Summe multipliziert, indem man jeden Summanden der einen Summe mit jedem Summanden der anderen Summe – unter Beachtung der Vorzeichen – multipliziert und die entstehenden Produkte addiert.

Beispiele[Bearbeiten]

Reelle Zahlen[Bearbeiten]

In den folgenden Beispielen wird die Verwendung des Distributivgesetzes auf der Menge der reellen Zahlen \R illustriert. In der Schulmathematik spricht man bei diesen Beispielen meist von Ausmultiplizieren. Aus der Sicht der Algebra bilden die reellen Zahlen einen Körper, was die Gültigkeit des Distributivgesetzes sichert.

Erstes Beispiel (Kopfrechnen und schriftlich Multiplizieren)

Beim Kopfrechnen wird das Distributivgesetz oftmals unbewusst verwendet:

6 \cdot 16 = 6 \cdot (10+6) = 6\cdot 10 + 6 \cdot 6 = 60+36 = 96

Man will 6·16 im Kopf berechnen. Dazu multipliziert man 6·10 sowie 6·6 und addiert die Zwischenergebnisse. Auch das schriftliche Multiplizieren beruht auf dem Distributivgesetz.

Zweites Beispiel (mit Variablen)
3a^2b \cdot (4a - 5b) = 3a^2b \cdot 4a - 3a^2b \cdot 5b = 12a^3b - 15a^2b^2
Drittes Beispiel (mit zwei Summen)

\begin{align}
(a + b) \cdot (a - b) & = a \cdot (a - b) + b \cdot (a - b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2 \\
                      & = (a + b) \cdot a - (a + b) \cdot b = a^2 + ba - ab - b^2 = a^2 - b^2
\end{align}
Hier wurde das Distributivgesetz zweimal angewandt und das Ergebnis zusammengefasst. Dabei ist es egal, welche Klammer zuerst ausmultipliziert wird oder ob in einem Schritt jeder Summand der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert wird. Es ergibt sich also die dritte Binomische Formel.
Viertes Beispiel
Hier wird das Distributivgesetz andersherum angewandt als in den Beispielen zuvor. Betrachte
12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 \,.
Da in allen Summanden der Faktor 6 a^2 b vorkommt, kann dieser ausgeklammert werden. Das heißt aufgrund des Distributivgesetzes gilt
12 a^3 b^2 - 30 a^4 b c + 18 a^2 b^3 c^2 = 6 a^2 b (2 a b - 5 a^2 c + 3 b^2 c^2)\,.

Matrizen[Bearbeiten]

Auch für die Matrizenmultiplikation ist das Distributivgesetz gültig. Genauer gesagt gilt

(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C

für alle l \times m-Matrizen A,B und m \times n-Matrizen C sowie

A \cdot (B + C) = A \cdot B + A \cdot C

für alle l \times m-Matrizen A und m \times n-Matrizen B, C. Da für die Matrizenmultiplikation das Kommutativgesetz nicht gilt, folgt aus dem ersten Gesetz nicht das zweite. Es handelt sich in diesem Fall also um zwei verschiedene Gesetze.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]