Dreiteilung des Winkels

Unter der Dreiteilung des Winkels (auch: Trisektion des Winkels) versteht man in der Geometrie das Problem, ob man einen beliebigen Winkel nur mit Hilfe von Zirkel und Lineal (den euklidischen Werkzeugen) konstruktiv und präzise in drei gleich große Winkel unterteilen kann. Die Dreiteilung des Winkels gehört zu den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik und ist nur für bestimmte Winkel durchführbar.

Das steht in auffälligem Gegensatz zum Problem einen Winkel mit Zirkel und Lineal zu halbieren, das sehr einfach lösbar ist (Winkelhalbierende).

Klassisches Problem

Drittelung von 180° (∢ AMC) in 60° (∢ BMC) und 120° (∢ AMB)

Hier muss ein beliebiger gegebener Winkel nur mit Hilfe eines Zirkels und eines nichtskalierten Lineals in drei gleich große Teile aufgeteilt werden.

Bei speziellen Winkeln ist die Dreiteilung des Winkels möglich, etwa bei jedem ganzzahligen Vielfachen von 90°. Schon die alten Griechen versuchten vergeblich, eine allgemeine Lösung für beliebige Winkel zu finden. Um das Jahr 1830 schuf der französische Mathematiker Évariste Galois die Grundlagen, mit denen später bewiesen wurde, dass dies nicht allgemein möglich ist. Beispielsweise ist es nicht möglich, den konstruierbaren Winkel 60° zu dritteln, da 20° nicht konstruierbar ist.

Den ersten Beweis der Unmöglichkeit veröffentlichte Pierre Wantzel 1837 (unabhängig von Methoden der Galoistheorie).

Eine Dreiteilung ist nur möglich, wenn man andere Hilfsmittel verwendet als Zirkel und Lineal – etwa eine Trisektrix – oder wenn man auf dem Lineal Markierungen anbringt. Andererseits kann man mit Zirkel und Lineal beliebig gute Näherungslösungen angeben.

Verallgemeinerung

Eine Verallgemeinerung des Problems ist es, genau zu charakterisieren, welche Winkel konstruierbar sind und welche nicht. Äquivalente Fragestellungen sind, für welche natürlichen Zahlen $n$ man einen Kreis in $n$ gleich große Stücke mittels Zirkel und Lineal unterteilen kann bzw. welche regulären Polygone konstruierbar sind. Die exakte Charakterisierung der konstruierbaren $n$-Ecke wurde 1837 von Pierre Wantzel (nach wesentlichen Vorarbeiten von Carl Friedrich Gauß und Évariste Galois) erzielt und besagt, dass dies genau dann der Fall ist, wenn $n$ ein Produkt aus einer Zweierpotenz und untereinander verschiedenen fermatschen Primzahlen ist. Der erste entscheidende Schritt über die Mathematik des Altertums hinaus war dem jungen Gauß mit seiner Entdeckung zu verdanken, dass das reguläre Siebzehneck konstruierbar ist. Die bekannten Fermatschen Primzahlen sind 3, 5, 17, 257 und 65537. Allgemein sind Fermat-Zahlen die Zahlen $2^{m}+1$, wobei $m=2^{q}$ selbst eine Zweierpotenz ist. Man vermutet, dass die Fermat-Zahlen mit $q>4$ keine Primzahlen sind, und weiß es für viele $q$.

Für das Problem der Winkeldreiteilung braucht man die fortgeschrittenen Theorien von Gauß und Galois nicht. Hier genügt die Erkenntnis, dass eine Streckenlänge, die einer irreduziblen Gleichung dritten Grades genügt, nicht konstruierbar ist; denn jede konstruierbare Streckenlänge lässt sich algebraisch durch die aufeinanderfolgende Lösung quadratischer Gleichungen gewinnen, ist also algebraisch von einem Zweierpotenzgrad.

Nicht-klassische Verfahren

Beschränkt man sich nicht auf die klassischen Konstruktionvorschriften für Zirkel und Lineal, sondern lässt darüber hinaus die Verwendung anderer Konstruktionswerkzeuge und mathematischer Hilfsobjekte zu oder begnügt sich auch mit Näherungslösungen, so ergibt sich eine Vielzahl von möglichen Verfahren, einen beliebigen Winkel zu dreiteilen. In den folgenden Abschnitten werden einige von ihnen beispielhaft vorgestellt.

Die Methode des Archimedes

Erforderlicher Anlegevorgang der Konstruktion

Beweisführung für die Winkeldreiteilung nach Archimedes: $\alpha =3\beta$

Archimedes war ein Pragmatiker, er gab eine Lösung in seinem Liber Assumptorum an. Sei $\alpha$ der dreizuteilende Winkel wie in nebenstehender Zeichnung. Gehe dann wie folgt vor:

1. Schlage einen Kreis um $A$ mit beliebigem Radius $r$.
2. Am Lineal bringe zwei Markierungen im Abstand $r$ an.
3. Lege das Lineal so an $B$, dass eine der beiden Markierungen auf der Geraden $AD$ im Punkt $D$ und die andere auf der Kreislinie im Punkt $C$ liegt, und zeichne die Strecke ${\overline {BD}}$.
4. Der Winkel $\beta$ bei $D$ ist der gesuchte Drittelwinkel.

Zur Begründung beachte man, dass wegen der speziellen Positionierung des Lineals die Länge der Strecke ${\overline {CD}}$ gleich dem Abstand $r$ der Markierungen ist, also gleich dem Radius des Kreises, der sich auch als ${\overline {AC}}$ und ${\overline {AB}}$ wiederfindet. Insbesondere ist das Dreieck $ACD$ gleichschenklig, weshalb der Winkel $\beta$ auch bei $A$ auftritt. Der Winkel des Dreiecks $ACD$ bei $C$ ist einerseits gleich $180^{o}-2\beta$ (Winkelsumme im Dreieck), andererseits der Nebenwinkel von $\gamma$, also ist $\gamma =2\beta$. Da das Dreieck $ABC$ ebenfalls gleichschenklig ist, taucht der Winkel $\gamma$ auch bei $B$ auf, und der Winkel dieses Dreiecks bei $A$ ist gleich $180^{o}-2\gamma$. Beachtet man nun, dass sich die Winkel bei $A$ zu $180^{o}$ addieren, ergibt sich $\alpha =180^{o}-(180^{o}-2\gamma )-\beta =2\gamma -\beta =3\beta$.

Dass mit dieser Methode jeder Winkel wie bewiesen dreigeteilt werden kann, steht nicht im Widerspruch zur Unlösbarkeit des klassischen Problems, denn die obige Konstruktion wurde nicht nach den klassisch erlaubten Regeln durchgeführt. Eine Markierung am Lineal und ein geschicktes Anlegen des Lineals sind nicht erlaubte Konstruktionsmethoden. Es wurde also ein abweichender Instrumentensatz verwendet und die möglichen Konstruktionen sind vom Instrumentensatz abhängig.

Teilung mit Tomahawk

Dreiteilung eines Winkels mit einem Tomahawk. Der Griff und die Gerade durch den Kreis-Mittelpunkt markieren Drittel-Winkel. Die Dreiecke gleicher Größe sind in Rot/Gelb/Grün hervor gehoben.

Anwendungsbeispiel (Animation)
Eine Weiterführung der Konstruktion des Siebenecks nach Andrew M. Gleason.

Schablone (schematische Darstellung) zur Dreiteilung von Winkeln von 90° (rot) bis 180° (blau)

Der Tomahawk ist eine Figur, die aus mathematischer Sicht aus zwei aufeinander senkrecht stehenden Strecken und einem an einer der Geraden anliegenden Halbkreis besteht; das hintere Ende ist dabei so lang wie der Radius des Halbkreises (siehe Zeichnung). Die Bezeichnung Tomahawk rührt daher, dass die Figur vage an einen Tomahawk (indianische Streitaxt) erinnert. Um einen Winkel mit Hilfe des Tomahawks zu dreiteilen, muss man ihn so positionieren, dass sein „Stiel“ an der Winkelspitze liegt, während der Halbkreis und das Ende der anderen Strecke jeweils die Schenkel des Winkels berühren. In dieser Position bildet der Stiel mit einem der Schenkel einen Winkel, der genau ein Drittel des Ausgangswinkels beträgt. Die Verbindung des Mittelpunktes des Halbkreises mit der Winkelspitze teilt das zweite und dritte Drittel des Ausgangswinkels. Da der Tomahawk eine Figur ist, die angelegt werden muss, ist diese Methode nicht mit den klassischen Konstruktionsregeln (Lineal und Zirkel) konform.

Andrew M. Gleason veröffentlichte 1988 in der mathematischen Zeitschrift The American Mathematical Monthly zwei elegante Konstruktionen zu den regelmäßigen Polygonen Siebeneck und Dreizehneck, die für eine exakte Lösung die Dreiteilung des Winkels erfordern. Das Prinzip der Winkeldreiteilung ist in keiner der beiden Konstruktionen festgelegt.
Für das Siebeneck (siehe nebenstehendes Anwendungsbeispiel) beginnt man im Koordinatenursprung eines kartesischen Koordinatensystems mit einem Kreis um Punkt $O$ mit Radius $6$. Es folgt die Festlegung der Punkte $A(6,0),R(3,0),P(-1,0)$ und $Q(-3,0)$. Anschließend werden die Punkte $K(0,{\sqrt {27}})$ und $L(0,-{\sqrt {27}})$ bestimmt, sie sind Eckpunkte zweier gleichseitiger Dreiecke mit der Basis ${\overline {QR}}$. Nach dem Verbinden der Punkte $K$ und $L$ mit $P$ (in der Original-Zeichnung aus der Zeitschrift The American Mathematical Monthly, siehe Einzelnachweise, ist dieser Punkt zwischen $P$ und $O$), wird um $P$ ein Kreisbogen von $K$ bis $L$ gezogen. Nun drittelt man den Winkel $LPK$ mit einer frei wählbaren Methode (z. B. Trisektrix, Tomahawk etc.), dabei ergeben sich die Punkte $S$ und $T$. Eine Gerade durch $S$ und $T$ ergibt $B$ und $G$, die Eckpunkte eines regelmäßigen Siebenecks $ABCDEFG$ sind. Die übrigen Eckpunkte können durch Verwendung des Kreisbogens $OAB$ nacheinander gefunden werden.

Das Prinzip des Tomahawk erschließt sich, wenn man sich die faktisch dahinter stehende Gruppe aus drei rechtwinkligen Dreiecken gleicher Metrik betrachtet. Die Kante zum offenen Ende des Winkels hin hat überall dieselbe Länge $R$. An dieser Seite liegt immer ein rechter Winkel. Weiterhin sind die kurze und die lange Seite zum Zentrum des Winkels bei allen drei Dreiecken gleich. Somit ist auch der Winkel an der Zentrumsspitze bei allen drei Dreiecken gleich. Die Dreiecke liegen so aneinander, dass sich immer gleiche Längen der Zentrumsseiten berühren. Damit ist das mittlere Dreieck spiegelverkehrt zu den beiden äußeren. Eine nähere Untersuchung des nachstehenden Origami-Verfahrens zeigt, dass dabei ebenfalls eine solche Gruppe aus drei Dreiecken durch die dort enthaltenen Kanten als zentraler Bestandteil gegeben ist.

Dreiteilung des Winkels mit Origami

Drittelung mit Origami. Umfaltung mit Wellen markiert. Implizite Dreiecke gleicher Metrik in rot/gelb/grün.

Während die Dreiteilung des Winkels mit den klassischen Instrumenten der Geometrie nicht möglich ist, kann die Aufgabe mit der Papierfalttechnik Origami gelöst werden. Als Grundlage dienen eine Linie (durch Falten realisiert) von einer Blattecke aus, die den Ausgangswinkel zu einer Kante abträgt, und zwei gleich hohe Streifen an einer Papierkante. Daraufhin wird eine Faltung so ausgeführt, dass die Ecke auf der mittleren Streifenkante liegt und das obere linke Ende des Streifens auf der Linie des Winkels. Die vormalige Außenkante wird dabei wie ein markiertes Lineal auf die Elemente der restlichen Fläche angelegt. Diese Lösung ist, ähnlich der archimedischen Methode, mit Markierungen am Lineal auch geometrisch nachzustellen. Dass dies beim Origami augenscheinlich nicht nötig ist, ist auf eine automatische Begrenzung des „Lineals“ rückführbar – das Faltpapier ist in jedem Fall endlich.

Näherung durch mehrfache Winkel-Halbierung, Hilfsgerade und Strecken-Dreiteilung

Hoch-genaue Näherung durch Winkel-Halbierungen, mit Hilfsgeraden und Strecken-Drittelung

Zu den besten endlichen Näherungsmethoden gehört die in Wikibooks beschriebene Methode. Hierbei werden zu einem gegebenen Winkel mehrere Halbierungen ausgeführt. Beispielsweise würde ein Ausgangswinkel von 60°, ohne Verwendung des Supplementwinkels, zu folgenden Unterteilungen führen:

• w1 = 30°
• w2 = 15°
• w3 = 7,5°
• w4 = 3,75°

Während w1 und w4 lediglich als Konstruktionshilfen dienen und in ihrem nominellen Wert nicht weiter genutzt werden, wird w2 direkt genutzt und aus w3 unter Verwendung einer speziell definierten Hilfs-Geraden ein Versatz auf der Geraden erzeugt, so dass in sehr guter Näherung für kleine Winkel w3/3 = 2,5° bzw. w3*2/3 = 5° in der Grafik entsteht. Durch Aufsummierung ergibt sich ungefähr w2+w3*2/3 = 20° - was mit dem gesuchten Wert harmoniert. Für allgemeine Winkel ist, bei Verwendung des Supplementwinkels, der maximale Winkelfehler von beta ca. ±1,25E-6°, wenn der Winkel alpha nahezu 0° bzw. 180° ist. Das wäre bei einem Radius r von zum Beispiel 100 km ein maximaler Fehler an der Sehne von 2,2 mm.

Kurven

Als Trisektrix bezeichnet man eine Kurve, die das exakte Dritteln eines Winkels mit Zirkel und Lineal ermöglicht. Die Existenz beziehungsweise Konstruierbarkeit der Kurve mit anderen Mitteln als Zirkel und Lineal ist hierbei gegeben und unter Zuhilfenahme dieser Kurve als einziges zusätzliches Hilfsmittel ist es dann möglich einen Winkel zu dritteln. Im Gegensatz zur reinen Konstruktion mit Zirkel und Lineal können Punkte so nicht nur durch den Schnitt von Geraden und Kreisen konstruiert werden, sondern auch durch den Schnitt von Geraden und Kreisen mit der gegebenen Kurve. Die Gesamtheit der Kurvenpunkte selbst ist dabei aber nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar, weshalb die Verwendung einer solchen Kurve eine Verletzung der klassischen Regeln zur Winkeldreiteilung darstellt.

Zu den ältesten Beispielen für solche Kurven gehören die Spirale des Archimedes und die Trisektrix von Hippias.

Bernoullische Lemniskate

Auch die geometrische Figur der bernoullischen Lemniskate ist geeignet, einen Winkel zu dritteln. Das ist im Artikel "Winkel in der bernoullischen Lemniskate" ausgeführt.

Literatur

• Nikolai Antonowitsch Dolleschal Трисекция угла (Dreiteilung des Winkels), Zeitschrift «Наука и Жизнь» (Wissenschaft und Leben) 3/1998 (online)
• Underwood Dudley The Trisectors, Mathematical Association of America 1996
• Underwood Dudley A budget of trisections, Springer Verlag 1987

Weblinks

• 

  Wikiversity: Ein Unmöglichkeitsbeweis für die Winkeldreiteilung – Kursmaterialien
• 

  Wikibooks: Dreiteilung des Winkels – Lern- und Lehrmaterialien
• Eric W. Weisstein: Angle Trisection. In: MathWorld (englisch).
• Jim Loy: Trisection of an Angle (Memento vom 1. Januar 2014 im Internet Archive)
• Terry Tao, A geometric proof of the impossibility of angle trisection by straightedge and compass, 2011