Archimedische Spirale

Archimedische Spirale

Die archimedische Spirale (auch arithmetische Spirale genannt) ist die einfachste aller Spiralen. Sie entsteht, wenn bei einer Drehbewegung der Radius proportional zum Drehwinkel wächst, das heißt, es gilt $\ r=a\cdot \varphi$ mit Radius $\ r$, Drehwinkel $\varphi$ und $\ a > 0$.

Eigenschaften

Die Darstellung als Parameterkurve in kartesischen Koordinaten lautet:

$f\colon\varphi \mapsto (r\,\cos \varphi, r\,\sin \varphi ) = (a\, \varphi\,\cos \varphi ,a\, \varphi\,\sin\varphi )$.

Die Länge eines Bogenstücks von $\ \varphi_1$ bis $\varphi_2$ ist

$\frac{a}{2}\left[\varphi\,\sqrt{1+\varphi^2}+\ln\left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2}\right)\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}$

oder kurz: $\frac{a}{2}\left[\varphi\,\sqrt{1+\varphi^2}+\operatorname{arsinh}\varphi\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}$

Die Gesamtlänge der Spirale von $\varphi_1\ =\ 0$ bis $\varphi_2\ =\ \varphi$ ist folglich

$\frac{a}{2}\left[\varphi\,\sqrt{1+\varphi^2}+\ln \left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2} \right)\right].$

Die Fläche, die bei der ersten Umdrehung eingeschlossen wird, ist

$\frac{4}{3}\pi^3a^2,$

während bei der n-ten Umdrehung die Fläche

$\ 8(n-1)\pi^3a^2$

zusätzlich eingeschlossen wird.

Archimedische Spirale - mit Parametern

Windungsabstand

Jeder vom Koordinatenursprung O(0|0) ausgehende Strahl schneidet aufeinander folgende Windungen der archimedischen Spirale $\ r=a\, \varphi\$ in Punkten mit dem konstanten Abstand $a\cdot 2\,\pi\$ (siehe Figur rechts !). Daher kommt auch die Bezeichnung als „arithmetische Spirale“.

Diese besondere Eigenschaft der archimedischen Spirale wird oft so ausgedrückt, dass ihr Windungsabstand konstant sei. Diese Sprechweise kann allerdings leicht missverstanden werden, da es sich hier nicht um einen konstanten Abstand zwischen Kurven im Sinne von Parallelkurven handelt. Eine Spirale, deren Windungen tatsächlich konstanten Abstand in letzterem Sinn haben, wäre die Kreisevolvente.

Historisches

Archimedes beschrieb die nach ihm benannte Spirale 225 v. Chr. in seiner Abhandlung „Über Spiralen“, sie war allerdings schon vorher seinem Freund und Zeitgenossen Konon von Samos bekannt, der als ihr Entdecker gilt. Im 4. Jahrhundert n. Chr. wurde sie von Pappos untersucht. Die allgemeine Bestimmung der Spirallänge gelang Isaac Barrow 1670.

Verallgemeinerungen

Es gibt verschiedene Verallgemeinerungen der ursprünglich von Archimedes beschrieben Spirale, für die in der Literatur auch oft archimedische Spiralen als Sammelbegriff verwendet wird. Hierbei wird die ursprüngliche Gleichung $r=a\, \varphi$ zu $r=a\, \varphi^\frac{1}{d}$ mit $d\in\mathbb{R}$ erweitert. Für $d=1$ erhält man die gewöhnliche Spirale des Archimedes, jene für $d=2$ wird auch als fermatsche Spirale bezeichnet. Generell können sich diese Spiralen in Eigenschaften und Aussehen deutlich von der ursprünglichen archimedischen Spirale unterscheiden.

Anwendungen

Lakritzschnecken in Form einer archimedischen Spirale

Schallplatten als Anwendung archimedischer Spiralen

Viele Speichermedien verwenden das Prinzip der archimedischen Spirale, so Rollen sich Speicherbänder (z.B. Audio- und Videokassetten) in Form einer Spirale auf. Spuren auf Schallplatten oder CDs sind ebenfalls in Form einer archimedischen Spirale angeordnet, dies ermöglicht es dem Lesekopf, ohne Unterbrechung durch einen Spurwechsel beliebig viele Daten linear (sequentiell) zu lesen.

Festplattenlaufwerke für wahlfreien Zugriff verwenden dagegen seit Beginn Blöcke/Kreissegmente auf konzentrisch angeordneten Kreisen.

Literatur

• Matthias Richter: Grundwissen Mathematik für Ingenieure. Vieweg+Teubner 2001, ISBN 3-519-00413-5, S. 173
• D.D.Sokolov: Archimedean spiral. In Encyclopaedia of Mathematics, Band 1, S. 240
• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Charming Proofs: A Journey Into Elegant Mathematics. MAA 2010, ISBN 9780883853481, S. 145-146 (Auszug (Google))

Weblinks

 Commons: Archimedische Spirale – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Maximilian Löber: Spiralen, Facharbeit (PDF-Datei; 579 kB)
• Archimedean Spiral auf PlanetMath (engl.)
• Eric W. Weisstein: Archimedean spiral. In: MathWorld. (englisch)
• John J. O’Connor, Edmund F. Robertson: Spiral of Archimedes. In: MacTutor History of Mathematics archive (englisch)