Einmaleins

Das kleine Einmaleins ist ein Sammelbegriff für alle Produkte zweier natürlicher Zahlen von 1 bis 10. Als großes Einmaleins gelten alle Multiplikationen von je zwei Zahlen zwischen 1 und 20. Das Kleine Einmaleins gehört zum arithmetischen Grundwissen der Mathematik und wird meist in der Grundschule auswendig gelernt. Als Einmaleins werden metaphorisch auch Grundkenntnisse eines Wissensgebiets oder einer Fertigkeit bezeichnet.

Anwendung

Die meisten praktisch-arithmetischen Berechnungen sind ohne Kenntnis des kleinen Einmaleins nur umständlich durchführbar. Beim schriftlichen Multiplizieren etwa werden die Produkte aus einstelligen Zahlen verwendet. Anstatt diese Produkte nun in jedem Schritt zu berechnen, ist es effektiver, die Ergebnisse auswendig zu lernen, da das Erinnern ein schnellerer Vorgang ist als das Berechnen. Ähnlich verfährt man bei der schriftlichen Division.

Dieser Kniff (des 'Erinnerns') wird beispielsweise auch in der Computertechnik angewendet: Dort speichert man häufig benötigte, aufwändig zu berechnende Ergebnisse oder Zwischenergebnisse in einer sogenannten Lookup-Tabelle, aus der sie schneller abrufbar sind als sie jeweils (z. B. millionenfach) neu zu berechnen - was jedoch für einfache Rechenoperationen (wie beim Einmaleins) nicht zutrifft.

Um das kleine Einmaleins in der Bruchrechnung effektiv einzusetzen, müssen die Beziehungen auch rückwärts gelernt werden, also beispielsweise 54 = 6 · 9, da man hier vom schnellen Faktorisieren profitiert.

Beim Überschlagen wendet man dieselben Techniken wie bei der Multiplikation und Division an, jedoch beschränkt man sich auf diejenigen Teilschritte, welche für eine auf die Schnelle benötigte Genauigkeit ausreichen. Beispiel: Gesucht ist das Ergebnis von 549839 : 7. Die Zahl 549839 liegt nahe bei 560000. Man weiß aus dem Einmaleins: 7 · 8 = 56. Das Ergebnis liegt also etwas unterhalb von 80000.

Tabellarische Darstellung

Als Tabelle wird das Einmaleins unterteilt in die 2er-Reihe, 3er-Reihe, 4er-Reihe usw. bis zur 10er-Reihe. Die 2er-Reihe besteht dabei aus 1 · 2 = 2, 2 · 2 = 4, 3 · 2 = 6 usw. bis 10 · 2 = 20, die 3er-Reihe entsprechend aus 1 · 3 = 3, 2 · 3 = 6, 3 · 3 = 9 usw.

Die folgende Multiplikationstabelle dient dem raschen Ermitteln von Produkten mit Faktoren bis 20.

·	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26	28	30	32	34	36	38	40
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30	33	36	39	42	45	48	51	54	57	60
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40	44	48	52	56	60	64	68	72	76	80
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65	70	75	80	85	90	95	100
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60	66	72	78	84	90	96	102	108	114	120
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70	77	84	91	98	105	112	119	126	133	140
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80	88	96	104	112	120	128	136	144	152	160
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90	99	108	117	126	135	144	153	162	171	180
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	110	120	130	140	150	160	170	180	190	200
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	110	121	132	143	154	165	176	187	198	209	220
12	12	24	36	48	60	72	84	96	108	120	132	144	156	168	180	192	204	216	228	240
13	13	26	39	52	65	78	91	104	117	130	143	156	169	182	195	208	221	234	247	260
14	14	28	42	56	70	84	98	112	126	140	154	168	182	196	210	224	238	252	266	280
15	15	30	45	60	75	90	105	120	135	150	165	180	195	210	225	240	255	270	285	300
16	16	32	48	64	80	96	112	128	144	160	176	192	208	224	240	256	272	288	304	320
17	17	34	51	68	85	102	119	136	153	170	187	204	221	238	255	272	289	306	323	340
18	18	36	54	72	90	108	126	144	162	180	198	216	234	252	270	288	306	324	342	360
19	19	38	57	76	95	114	133	152	171	190	209	228	247	266	285	304	323	342	361	380
20	20	40	60	80	100	120	140	160	180	200	220	240	260	280	300	320	340	360	380	400

Beispiel: Um 7·8 zu finden, schaut man links nach der Sieben, dann senkrecht nach der Acht. Die Antwort findet sich im Schnittpunkt der Reihe mit der Spalte und lautet 56.

Vereinfachtes Lernen

Im kleinen Einmaleins müssen nicht alle 100 Einträge gelernt werden, die meisten Einträge sind trivial oder redundant:

• 45 Einträge sind insofern redundant, als sie Paare bilden, auf die das Kommutativgesetz angewandt werden kann (Beispiel: 3 · 7 = 7 · 3).
• Die Multiplikation mit 1 bzw. 10 ist rechnerisch äußerst einfach.
• Die Multiplikation mit 2 bzw. 5 ist fast genauso einfach.
• Für die Multiplikation mit 9 gibt es Tricks, deren Anwendung so einfach ist, dass die entsprechenden Einträge ebenfalls nicht unbedingt auswendig gelernt werden müssen.

Es verbleiben also 15 bzw. 21 Einträge, die auswendig gelernt werden müssen:

·	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Der Zeitvorteil beim Anwenden der einfachen Regeln ist höher als beim klassischen Berechnen, jedoch niedriger als beim Abrufen des Auswendiggelernten. Sie werden daher als Lernhilfe eingesetzt. Der Schüler kann sich auf das Lernen der 15 Einträge ohne einfache Regeln konzentrieren. Bei der häufigen Anwendung der einfachen Regeln geschieht dann das Lernen ihrer Ergebnisse als unbewusster Vorgang, so dass der Schüler am Ende der Ausbildung das Einmaleins auswendig kennt.

Zum Erlernen des Einmaleins gibt es für Grundschüler zahlreiche Lernspiele (Wendekärtchen, Domino, LÜK-Kästen) etc. Mit dem Internet kamen auch etliche Online-Übungen hinzu.

Das Einmaleins in der Kunst

• Das wohl bekannteste Einmaleins der Literatur ist das „Hexeneinmaleins“ aus Johann Wolfgang von Goethes „Faust I“.
• Mit falschen Einmaleins-Ergebnissen spielt das Titellied Hej, Pippi Langstrumpf! der Fernsehserie Pippi Langstrumpf.

Weblinks

 Wiktionary: Einmaleins – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

• Lerntipp zum Auswendiglernen des Kleinen 1×1 für Grundschüler
• Fertige Tafeln für das große 1×1 und ein 1×1-Generator für beliebige Größen
• Kostenloses Würfelspiel zum spielerischen Üben des Kleinen 1x1
• Exerceamus, BestTimesTable Kostenlose interaktive Online-Trainer