Euler-Zahlen

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Dieser Artikel behandelt die ganzen Zahlen des Euler-Dreiecks.

Die nach Leonhard Euler benannte Euler-Zahl An,k in der Kombinatorik, auch geschrieben als E(n,k) oder \textstyle\bigl\langle\!{n \atop k}\!\bigr\rangle, ist die Anzahl der Permutationen (Anordnungen) von 1, …, n, in denen genau k Elemente größer als das vorhergehende sind, die also genau k Anstiege enthalten. Äquivalent dazu ist die Definition mit „kleiner“ statt „größer“ und „Abstiege“ statt „Anstiege“. Nach einer anderen Definition ist die Euler-Zahl a(n,k) die Anzahl der Permutationen von 1, …, n mit genau k maximalen monoton ansteigenden Abschnitten, wodurch der zweite Parameter gegenüber der hier verwendeten Definition um eins verschoben ist: a(n,k) = An,k−1.

Euler-Dreieck[Bearbeiten]

Wie die Binomialkoeffizienten im Pascalschen Dreieck können die Euler-Zahlen im Euler-Dreieck angeordnet werden (erste Zeile n = 1, erste Spalte k = 0; Folge A008292 in OEIS):

                             1
                          1     1
                       1     4     1
                    1    11    11     1
                 1    26    66    26     1
              1    57    302   302   57     1
           1    120  1191  2416  1191   120    1
        1    247  4293  15619 15619 4293   247    1
     1    502  14608 88234 156190 88234 14608 502    1
  1    ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...   ...    1

Dabei kann man mit der folgenden Rekursionsformel jeden Eintrag aus den beiden darüberstehenden berechnen:

A_{n,k} = (n-k)\,A_{n-1,k-1} + (k+1)\,A_{n-1,k}

für n > 0 mit A0,0 = 1 und A0,k = 0 für k ≠ 0. Auch die Konvention A0,−1 = 1 und A0,k = 0 für k ≠ −1 wäre sinnvoll, sie ist bei der alternativen Definition üblich.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Direkt aus der Definition folgen An,0 = 1 und An,n−1−k = An,k für n > 0 und

\sum_{k=0}^n A_{n,k} = n!     für n ≥ 0.

Aus den Binomialkoeffizienten können die Euler-Zahlen mit der Formel

A_{n,k} = \sum_{i=0}^k\,(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n

für n, k ≥ 0 berechnet werden, insbesondere

Es gilt die Worpitzky-Identität (Worpitzky 1883)[1]

\sum_{k=0}^n A_{n,k}\,\binom{x+k}{n} = x^n

für n ≥ 0, wobei x eine Variable und \tbinom{x+k}{n} ein verallgemeinerter Binomialkoeffizient ist.

Eine erzeugende Funktion für An,k ist

\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n A_{n,k}\,\frac{t^n}{n!}\,x^k = \frac{x-1}{x - e^{(x-1)\,t}}\,.

Eine Beziehung zu den Bernoulli-Zahlen βm wird durch die alternierende Summe

\sum_{k=0}^{m-1} (-1)^k A_{m-1,k} = \frac{(-2)^m\,(2^m - 1)}{m}\,\beta_m

für m > 0 hergestellt.

Euler-Polynome[Bearbeiten]

Euler-Zahlen als Koeffizienten von Euler-Polynomen[2]

Das Euler-Polynom An(x) ist definiert durch

A_n(x) = \sum_{k=0}^n A_{n,k}\,x^k\,,

also

  • A_0(x) = A_1(x) = 1,
  • A_2(x) = 1 + x,
  • A_3(x) = 1 + 4 x + x^2,
  • A_4(x) = 1 + 11 x + 11 x^2 + x^3,
  • A_5(x) = 1 + 26 x + 66 x^2 + 26 x^3 + x^4,
  • A_6(x) = 1 + 57 x + 302 x^2 + 302 x^3 + 57 x^4 + x^5,
  • A_7(x) = 1 + 120 x + 1191 x^2 + 2416 x^3 + 1191 x^4 + 120 x^5 + x^6.

Aus den entsprechenden Gleichungen für die Euler-Zahlen erhält man die Rekursionsformel

A_{n+1}(x) = (1 + n\,x)\,A_n(x) + x\,(1-x)\,A^\prime_n(x)

und die erzeugende Funktion

\sum_{n=0}^\infty A_n(x)\,\frac{t^n}{n!} = \frac{x-1}{x - e^{(x-1)\,t}}\,.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Julius Worpitzky: Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 94, 1883, S. 203–232
  2. Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis Teil 2, Academia imperialis scientiarum Petropolitanae, 1755, S. 485–486 (lateinisch)