Evolute

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Die Evolute einer ebenen Kurve ist die Bahn, auf der sich der Mittelpunkt des Krümmungskreises bewegt, wenn der Berührpunkt auf der Kurve entlang wandert. Oder auch: Die Evolute einer Kurve ist die Hüllkurve oder Enveloppe ihrer Normalen.

EvolutenKonstruktion.png

Zur nebenstehenden Figur: Ausgangskurve ist die schwarz gezeichnete Normalparabel. K, K1, K2,... sind ihre Krümmungskreise in den Punkten S, P1, P2... Deren Mittelpunkte M, M1, M2,... bilden die Evolute zu der Normalparabel. Der rechte Ast der Evolute entsteht, wenn die Parabelpunkte P nach links wandern.

Für eine ebene Kurve mit der Parameterdarstellung

 \vec x(t)\,= \, \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix}\,

ist die Parameterdarstellung der Evoluten  \vec u(t)\, = \,\begin{pmatrix} u_1(t) \\ u_2(t) \end{pmatrix}\, gegeben durch die Koordinaten des Krümmungsmittelpunkts

u_1(t) = x_1(t) - x_2'(t)\frac{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)}

und

u_2(t) = x_2(t) + x_1'(t)\frac{x_1'(t)^2+x_2'(t)^2}{x_1'(t) x_2''(t) - x_1''(t)x_2'(t)}.

Die Ausgangskurve, aus der eine Evolute entsteht, heißt (mit Hinblick auf die Evolute) deren Involute oder deren Evolvente.

Evoluten bekannter Kurven[Bearbeiten]


Alle Äquidistanten zur Ausgangskurve haben die gleiche Evolute.

Weblinks[Bearbeiten]