Filter (Mathematik)

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In der Mathematik ist ein Filter eine nichtleere nach unten gerichtete Oberhalb-Menge innerhalb einer umgebenden halbgeordneten Menge. Der Begriff des Filters geht auf den französischen Mathematiker Henri Cartan[1] zurück.

Anschaulich betrachtet enthält ein Filter Elemente, die zu groß sind, als dass sie den Filter passieren könnten. Ist x ein Filterelement, so ist auch jedes in der gegebenen Ordnungsrelation größere Element y ein Filterelement, und je zwei Filterelemente x und y haben einen gemeinsamen Kern z, der selbst schon zu groß ist, als dass er den Filter passieren könnte.

Filter in der umgekehrten Halbordnung heißen Ideale der Ordnung oder Ordnungsideale.

Anwendungen[Bearbeiten]

Filter treten in der Theorie der Ordnungen und Verbände auf. Ein wichtiger Spezialfall sind Mengenfilter, d. h. Filter in der durch die Mengeninklusion halbgeordneten Potenzmenge einer Menge. Mengenfilter werden besonders in der Topologie verwendet und erlauben dort die Verallgemeinerung des Begriffs der Folge für topologische Räume ohne abzählbare Umgebungsbasis. So bildet das System der Umgebungen \mathcal{U}(x) eines Punktes x in einem topologischen Raum einen speziellen Filter, den Umgebungsfilter. Umgebungsfilter können in Räumen, die kein Abzählbarkeitsaxiom erfüllen, zur Definition von Netzen verwendet werden, die die Rolle der Folgen aus der elementaren Analysis teilweise übernehmen. Man fasst dazu einen Filter als gerichtete Menge auf und betrachtet Netze auf dieser gerichteten Menge.

Mit einem Ultrafilter (der kein Hauptfilter ist) auf den natürlichen Zahlen lassen sich die hyperreellen Zahlen der Nichtstandardanalysis konstruieren. Allerdings wird die Existenz solcher Filter selbst nur durch das Auswahlaxiom – also nicht konstruktiv – gesichert.

Allgemeine Definitionen[Bearbeiten]

Eine nichtleere Teilmenge F einer halbgeordneten Menge (P,\leq) heißt Filter, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

  • F ist eine Oberhalb-Menge: \forall x\in F,y\in P\colon x\leq y\Rightarrow y\in F,
(D. h. alle (mit x in Relation stehenden) Elemente, die größer als x sind, sind Teil des Filters.)
  • F ist nach unten gerichtet: \forall x,y\in F\ \exists z\in F\colon z\leq x und z\leq y.
(D. h. F ist bzgl. der Umkehrrelation der betrachteten Halbordnung gerichtet.)

Ein Filter heißt echter Filter, wenn er nicht ganz (also ungleich) P ist.

Jeder Filter auf einer halbgeordneten Menge P ist Element der Potenzmenge von P. Die Menge der auf derselben halbgeordneten Menge definierten Filter wird durch die Inklusionsrelation ihrerseits halbgeordnet. Sind F_1 und F_2 Filter auf derselben halbgeordneten Menge P, so heißt F_2 feiner als F_1 (F_1 gröber als F_2), wenn F_1 \subseteq F_2. Ein maximal feiner echter Filter heißt Ultrafilter.

Filter in Verbänden[Bearbeiten]

Während diese Definition von Filter die allgemeinste für beliebige halbgeordnete Mengen ist, wurden Filter ursprünglich für Verbände definiert. In diesem Spezialfall ist ein Filter eine nichtleere Teilmenge F des Verbandes (P,\leq), die eine Oberhalb-Menge ist und abgeschlossen unter endlichen Infima, d. h. für alle x,y\in F ist auch x\wedge y\in F.

Hauptfilter[Bearbeiten]

Der kleinste Filter, der ein vorgegebenes Element p enthält, ist \{x\in P\mid p\leq x\}. Filter dieser Form heißen Hauptfilter, und p ein Hauptelement des Filters. Der zu p gehörende Hauptfilter wird als \operatorname\uparrow p geschrieben.

Primfilter[Bearbeiten]

Ein echter Filter F in einem Verband P mit der Zusatzeigenschaft

a\vee b \in F \iff (a\in F\; \mathrm{oder}\; b\in F)

heißt Primfilter.

Ideal[Bearbeiten]

Betrachtet man in einer halbgeordneten Menge (P,\leq) die Umkehrrelation \leq^{-1}={\geq}, so ist auch (P,\geq) wieder eine halbgeordnete Menge, ebenso erhält man aus einem (distributiven) Verband (P,\vee,\wedge) durch Vertauschen der beiden Verbandsverknüpfungen Supremum \vee und Infimum \wedge wieder einen (distributiven) Verband. Sind in P ein kleinstes Element 0 und ein größtes Element 1 vorhanden, so werden sie ebenfalls vertauscht. In allen genannten Fällen wird die so durch Dualisierung entstehende Struktur als P^{\text{opp}} notiert.

Ein Filter in P^{\text{opp}} heißt ein Ordnungsideal oder auch kurz Ideal in P.

Beispiel[Bearbeiten]

Wir betrachten in der sogenannten punktierten komplexen Ebene \C^\times := \C{\setminus}\{0\} die Teilmengen s_\alpha = \{z\in\C^\times \mid \operatorname{Arg}(z)=\alpha\}, für 0 \leq \alpha < 2\pi, der (offenen) Strahlen aus der Null (kurz: Nullstrahlen). Auf \C^\times definieren wir nun eine Halbordnung \trianglelefteq, indem wir z_1\in\C^\times als kleiner-gleich z_2\in\C^\times betrachten, falls z_1 und z_2 auf demselben Strahl liegen und z_1 betraglich kleiner-gleich z_2 ist. D. h.

\begin{align}
z_1 \trianglelefteq z_2 & :\Leftrightarrow & \operatorname{Arg}(z_1) = \operatorname{Arg}(z_2) & \ \ \mathrm{und} & \left| z_1 \right| \leq \left| z_2 \right|
\end{align}

für z_1, z_2 \in \C^\times.

In der halbgeordneten Menge \left(\C^\times, \trianglelefteq\right) sind nun alle Filter gegeben durch die Nullstrahlen und deren offene und abgeschlossene Teilstrahlen

s(z) := \{z'\in\C^\times \mid z \trianglelefteq z', z \neq z'\} \subset \bar s(z) := \{z'\in\C^\times \mid z \trianglelefteq z'\} \subset s_\alpha

für alle z\in\C^\times mit \alpha = \operatorname{Arg}(z). Jeder dieser Filter ist echt. Außerdem folgt aus z_1 \trianglelefteq z_2, dass \bar s(z_1) feiner s(z_1) feiner \bar s(z_2) feiner s(z_2); insbesondere ist s_\alpha\ (0 \leq \alpha < 2\pi) ein maximal-feiner echter Filter und damit ein Ultrafilter. Für jede komplexe Zahl z\in\C^\times ist der abgeschlossene Strahl \bar s(z) ihr Hauptfilter \operatorname\uparrow z mit z als (einzigem) Hauptelement.

Die Ordnungsideale in \left(\C^\times, \trianglelefteq\right) entsprechen den fehlenden Strahlenabschnitten zwischen der Null und dem Beginn jedes Teilstrahls. Ist der Teilstrahl offen, enthält er also nicht seinen Aufpunkt, so fehlt auch im entsprechenden Ordnungsideal der Aufpunkt – analog ist er im abgeschlossenen Fall in Teilstrahl und Ideal jeweils enthalten. (Filter und Ordnungsideal sind also nicht disjunkt!) Aus dem Nullstrahl ergibt sich kein entsprechendes Ordnungsideal, da der „fehlende“ Strahlenabschnitt durch die leere Menge gegeben wäre (die kein Filter sein kann). Die Ideale haben also die Form:

s^{{-}1}(z) = (s_\alpha{\setminus}s(z))\setminus\{z\} = \{z'\in\C^\times \mid z \trianglerighteq z', z \neq z'\} und
\bar s^{{-}1}(z) = (s_\alpha{\setminus}\bar s(z))\cup\{z\} = \{z'\in\C^\times \mid z \trianglerighteq z'\}

für alle z\in\C^\times und \alpha = \operatorname{Arg}(z).

Mengenfilter[Bearbeiten]

Definition[Bearbeiten]

Ein wichtiger Spezialfall eines Filters – vor allem in der Topologie – sind Mengenfilter. Man geht in diesem Fall von der durch die Mengeninklusion halbgeordneten Potenzmenge \left(\mathcal{P}(X),\subseteq\right) einer beliebigen nichtleeren Mengen X aus. Eine echte Teilmenge \mathcal{F}\subset\mathcal{P}(X) ist genau dann ein Mengenfilter oder Filter, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind

  1. \emptyset\notin\mathcal{F} und X\in\mathcal{F},
  2. F,G\in\mathcal{F}\ \Rightarrow\ F\cap G\in\mathcal{F},
  3. F\in\mathcal{F},\;G\supset F\ \Rightarrow\ G\in\mathcal{F}.

Diese Definition stimmt mit der oben gegebenen für echte Filter in Verbänden überein, da die Potenzmenge von X einen Verband bildet.

Beispiele für Mengenfilter[Bearbeiten]

  • \mathcal{F}_C:=\{M\subseteq X\mid C\subseteq M\} heißt der von C\subseteq X erzeugte Hauptfilter.
  • Ist (X,\tau) ein topologischer Raum mit Topologie \tau, dann heißt \mathcal{U}(x):=\left\{U\subseteq X\mid \exists O\in\tau\colon O\subseteq U\and x\in O\right\} Umgebungsfilter von x.
  • Ist S eine unendliche Menge, dann heißt \{M\subseteq S\mid S\setminus M \text{ endlich}\} Fréchet-Filter der Menge S.
  • Ist \mathcal{B} ein nichtleeres Mengensystem von \mathcal{P}(X) mit folgenden Eigenschaften
    1. \emptyset\notin\mathcal{B} und
    2. \forall B_1,B_2\in\mathcal{B}\ \exists B_3\in\mathcal{B}\colon B_3\subseteq B_1\cap B_2,
so heißt \mathcal{B} Filterbasis in X. Ein solches Mengensystem erzeugt auf natürliche Weise einen Filter
\mathcal{F}_{\mathcal{B}}:=\langle\mathcal{B}\rangle:=\left\{M\subseteq X\mid \exists B\in\mathcal{B}\colon B\subseteq M\right\}
Dieser heißt der von \mathcal{B} erzeugte Filter.
  • Ist f\colon X\rightarrow Y eine Abbildung zwischen zwei nichtleeren Mengen und \mathcal{F} ein Filter auf X, so bezeichnet f(\mathcal{F}) den von der Filterbasis \{B\subseteq Y\mid \exists F\in\mathcal{F}\colon f(F)=B\} erzeugten Filter. Dieser heißt Bildfilter von f.

Anwendungen in der Topologie[Bearbeiten]

In der Topologie ersetzen Filter und Netze die dort für eine befriedigende Konvergenztheorie unzureichenden Folgen. Insbesondere die Filter als sich verengende Mengensysteme haben sich hier als gut geeignet zur Konvergenzmessung erwiesen.[2] Man erhält auf diesem Wege oft analoge Sätze zu Sätzen über Folgen in metrischen Räumen.

Ist (X,\tau) ein topologischer Raum, heißt ein Filter \mathcal{F} genau dann konvergent gegen ein x\in X, wenn \mathcal{U}(x)\subseteq\mathcal{F}, d. h., wenn \mathcal{F} feiner ist als der Umgebungsfilter \mathcal{U}(x) von x, d. h. alle (es genügen offene) Umgebungen von x enthält. Schreibweise: \mathcal{F}\rightarrow x. Von der Verfeinerung von Zerlegungen spricht man besonders im Zusammenhang mit Integrationstheorien.

So ist zum Beispiel eine Abbildung f\colon X\rightarrow Y zwischen zwei topologischen Räumen genau dann stetig, wenn für jeden Filter \mathcal{F} mit \mathcal{F}\rightarrow x gilt, dass f(\mathcal{F})\rightarrow f(x).

In einem nicht-hausdorffschen Raum kann ein Filter gegen mehrere Punkte konvergieren. Hausdorff-Räume lassen sich sogar gerade dadurch charakterisieren, dass in ihnen kein Filter existiert, welcher gegen zwei verschiedene Punkte konvergiert.[3]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Zu den allgemeinen, ordnungs- und verbandstheoretischen Begriffsbildungen und ihren Anwendungen:

  • Niels Schwartz: Spektrale Räume und Spektren in der Algebra. (Skript) PDF.

Zu den Anwendungen in der mengentheoretischen Topologie:

  • Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3., neu bearbeitete und erweiterte Auflage. Springer, Berlin u. a. 2001, ISBN 3-540-67790-9.
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Bd. 15). Heldermann, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X.
  •  Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  •  Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6.

Originalarbeiten[Bearbeiten]

  • Henri Cartan: Théorie des filtres. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Bd. 205, 1937, ISSN 0001-4036, S. 595–598, Digitalisat.
  • Henri Cartan: Filtres et ultrafiltres. In: Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des Sciences. Bd. 205, 1937, S. 777–779, Digitalisat.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Cartan: In: Comptes rendus. Bd. 205, S. 595–598, 777–779.
  2. Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 9.
  3. Schubert: Topologie. 1975, S. 44.