Große Kardinalzahl

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In der Mengenlehre wird eine Kardinalzahl als große Kardinalzahl bezeichnet, wenn ihre Existenz erwiesenermaßen nicht mit den üblichen Axiomen der Mengenlehre ZFC bewiesen werden kann. Nimmt man die Aussage, dass eine große Kardinalzahl mit einer bestimmten Eigenschaft existiert, als neues Axiom zu ZFC hinzu, erhält man eine stärkere Theorie, in der einige der in ZFC unentscheidbaren Sätze entschieden werden können. Diese Große-Kardinalzahl-Axiome spielen deshalb in der modernen Mengenlehre eine wichtige Rolle.

Verschiedene große Kardinalzahlen[Bearbeiten]

Die folgende Liste großer Kardinalzahlen ist nach Konsistenzstärke geordnet. Die Existenz einer Kardinalzahl impliziert die Existenz der vor ihr aufgelisteten.

Schwach unerreichbare Kardinalzahl[Bearbeiten]

Eine Kardinalzahl \kappa heißt schwach unerreichbare Kardinalzahl, wenn sie eine überabzählbare, reguläre Limes-Kardinalzahl ist, wenn also \mathrm{cf} (\kappa) = \kappa > \omega (cf steht für Konfinalität und \omega ist die kleinste unendliche Ordinalzahl, mit Kardinalität \aleph_0) gilt und für jedes \mu < \kappa auch \mu^+ < \kappa. Schwach unerreichbare Kardinalzahlen sind genau die regulären Fixpunkte der Aleph-Reihe: \aleph_\kappa = \kappa = \mathrm{cf} (\kappa).

Stark unerreichbare Kardinalzahl[Bearbeiten]

Eine Kardinalzahl \kappa heißt stark unerreichbare Kardinalzahl, wenn \kappa eine überabzählbare, reguläre starke Limes-Kardinalzahl ist, wenn also \mathrm{cf} (\kappa) = \kappa > \omega gilt und für jedes \mu < \kappa auch 2^\mu < \kappa. Stark unerreichbare Kardinalzahlen sind genau die regulären Fixpunkte der Beth-Reihe: \beth_\kappa = \kappa = \mathrm{cf} (\kappa).

Da 2^\kappa \geq \kappa^+ (Satz von Cantor), ist jede stark unerreichbare Kardinalzahl auch schwach unerreichbar. Ist \kappa schwach unerreichbar, so ist L_\kappa (siehe Konstruktive Hierarchie) ein Modell des Zermelo-Fraenkelschen Axiomensystems der Mengenlehre ZFC, ist \kappa stark unerreichbar, so ist auch V_\kappa (siehe von-Neumann-Hierarchie) ein Grothendieck-Universum und somit ein Modell von ZFC. Die Existenz unerreichbarer Kardinalzahlen impliziert also die Widerspruchsfreiheit von ZFC. Nimmt man an, dass ZFC widerspruchsfrei ist, so kann nach dem zweiten Gödelschen Unvollständigkeitssatz nicht in ZFC bewiesen werden, dass es eine unerreichbare Kardinalzahl gibt.

Die Forderung nach der Existenz beliebig großer Kardinalzahlen ist auch in manchen Teilen der Mathematik außerhalb der Mengenlehre als Axiom verbreitet und erweitert ZFC zur Tarski-Grothendieck-Mengenlehre.

Mahlo-Kardinalzahl[Bearbeiten]

Eine Mahlo-Kardinalzahl, benannt nach Paul Mahlo, ist eine stark unerreichbare Kardinalzahl \kappa, in welcher die Menge der regulären Kardinalzahlen stationär ist. Das bedeutet, dass in jeder abgeschlossenen und unbeschränkten Teilmenge von \kappa eine reguläre Kardinalzahl enthalten ist. Man beachte, dass eine Kardinalzahl \kappa immer als die wohlgeordnete Menge der Ordinalzahlen angesehen wird, deren Mächtigkeiten kleiner als \kappa sind. Eine Teilmenge C von \kappa ist abgeschlossen und unbeschränkt, wenn folgendes gilt:

  • Für jede in \kappa beschränkte Teilmenge von C liegt der Limes wieder in C.
  • Für jedes Element \alpha in \kappa gibt es ein Element \beta von C, das oberhalb von \alpha liegt.

Da die Menge der starken Limes-Kardinalzahlen in \kappa abgeschlossen und unbeschränkt ist, ist dann auch die Menge der unerreichbaren Kardinalzahlen stationär in \kappa. Da \kappa regulär ist, folgt daraus, dass \kappa die \kappa-te unerreichbare Kardinalzahl ist.

Schwach kompakte Kardinalzahl[Bearbeiten]

Eine überabzählbare Kardinalzahl \kappa heißt schwach kompakt, wenn es zu jeder Färbung der zweielementigen Teilmengen von \kappa mit zwei Farben eine homogene Teilmenge von \kappa der Mächtigkeit \kappa gibt. Eine Teilmenge S von \kappa heißt homogen bzgl. der gegebenen Färbung, wenn alle zweielementigen Teilmengen von S dieselbe Farbe haben. In der Pfeilnotation von Erdös-Rado ist eine schwach-kompakte Kardinalzahl eine überabzählbare Kardinalzahl \kappa mit \kappa \rightarrow (\kappa)^2.

Ist \kappa eine schwach kompakte Kardinalzahl, so gilt in der infinitären Logik \mathcal L_{\kappa,\kappa} der schwache Kompaktheitssatz und ist umgekehrt \kappa eine unerreichbare Kardinalzahl und gilt für \mathcal L_{\kappa,\kappa} der schwache Kompaktheitssatz, so ist \kappa schwach kompakt.

Man kann zeigen, dass eine schwach kompakte Kardinalzahl \kappa eine Mahlo-Kardinalzahl ist und dass es unterhalb von \kappa noch \kappa viele weitere Mahlo-Kardinalzahlen geben muss. Insbesondere sind schwach kompakte Kardinalzahlen stark unerreichbar.

Dass schwach kompakte Kardinalzahlen regulär sind, lässt sich aus den kombinatorischen Voraussetzung der Definition leicht ableiten und soll hier dargestellt werden. Sei ( \beta_\alpha )_{\alpha<\lambda} eine aufsteigende Kette von Kardinalzahlen der Länge \lambda deren Supremum \kappa schwach kompakt ist. Die Kette teilt die Menge \kappa in \lambda viele disjunkte Abschnitte. Zwei Elemente von \kappa liegen dann entweder in demselben Abschnitt oder in unterschiedlichen Abschnitten. Bezüglich dieser Aufteilung (Färbung) muss es dann eine homogene Teilmenge von \kappa der Mächtigkeit \kappa geben. Die Homogenität der Teilmenge besagt, dass deren Elemente entweder alle in dem gleichen Abschnitt liegen, oder alle in unterschiedlichen Abschnitten liegen. Also gibt es einen Abschnitt der Größe \kappa oder es gibt \kappa viele Abschnitte. Somit ist \beta_\alpha=\kappa für ein \alpha oder es gilt \lambda=\kappa. Das zeigt, dass die Kofinalität von \kappa nicht kleiner als \kappa sein kann.

Messbare Kardinalzahl[Bearbeiten]

Der Begriff der messbaren Kardinalzahl geht auf Stanisław Marcin Ulam zurück. Eine Kardinalzahl \kappa nennt man messbar, wenn es ein nicht triviales \kappa-additives, \{0,1\}-wertiges Maß auf \kappa gibt. Das ist eine Funktion \mu, die jeder Teilmenge von \kappa das Maß 0 oder 1 zuordnet, und für die folgende Eigenschaften gelten.

  • \mu(X{\cup}Y)=\mu(X)+\mu(Y) wenn X{\cap}Y=\emptyset
  • Die Vereinigung von weniger als \kappa vielen Mengen mit Maß 0 hat wieder das Maß 0
  • Einelementige Mengen haben das Maß 0 und \kappa hat das Maß 1.

Man kann leicht einsehen, dass dann außerdem Folgendes gilt

  • Alle Teilmengen von \kappa mit Mächtigkeit <\kappa haben Maß 0
  • Von disjunkten Teilmengen von \kappa hat höchstens eine das Maß 1
  • Eine Teilmenge von \kappa hat genau dann das Maß 1, wenn das Komplement das Maß 0 hat
  • Der Durchschnitt von weniger als \kappa vielen Mengen mit Maß 1 hat wieder das Maß 1

Eine messbare Kardinalzahl \kappa muss regulär sein, denn wenn \kappa die Vereinigung von weniger als \kappa vielen Teilmengen der Mächtigkeit <\kappa wäre, so würde sich für \kappa das Maß 0 berechnen. Wir wollen jetzt noch beweisen, dass \kappa eine starke Limeskardinalzahl ist.

Aus der Annahme \lambda<\kappa und \kappa\le2^\lambda konstruieren wir einen Widerspruch zur Messbarkeit von \kappa. Dazu betrachten wir die Menge W der Funktionen x\colon\lambda\to\{0,1\}. W stellt man sich als \lambda-dimensionalen Würfel vor, der pro „Richtung“ \alpha\in\lambda in die zwei Hälften H^0_\alpha=\{x{\in}W : x(\alpha)=0\} und H^1_\alpha=\{x{\in}W : x(\alpha)=1\} zerfällt. Wählt man pro \alpha eine Hälfte aus, so ist der Durchschnitt genau eine Ecke des Würfels. Formal bedeutet das

\bigcap_{\alpha\in\lambda} H^{x(\alpha)}_\alpha = \{ x \} für jedes x{\in}W

Da \kappa\le2^\lambda gibt es eine Teilmenge M von W mit der Mächtigkeit \kappa und da \kappa messbar ist, gehen wir von einem entsprechenden Maß \mu auf der Menge M aus. Wir definieren mit Hilfe von \mu ein spezielles x{\in}W durch x(\alpha)=\mu(M{\cap}H^1_\alpha). Dann bedeutet x(\alpha)=1, dass M{\cap}H^1_\alpha das Maß 1 hat und x(\alpha)=0 bedeutet, dass M{\cap}H^0_\alpha das Maß 1 hat. Die Mengen M{\cap}H^{x(\alpha)}_\alpha haben also immer das Maß 1. Wegen \lambda<\kappa muss auch der Durchschnitt \textstyle M\cap \bigcap_{\alpha\in\lambda} H^{x(\alpha)}_\alpha das Maß 1 haben. Dieser Durchschnitt kann aber höchstens das Element x enthalten und hat somit das Maß 0. Es ist also bewiesen, dass messbare Kardinalzahlen stark unerreichbar sind.

Literatur[Bearbeiten]