Gruppengeschwindigkeit

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Die Gruppengeschwindigkeit ist die Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenpaket als Ganzes fortbewegt.

Der rote Punkt bewegt sich mit Phasengeschwindigkeit, und die grünen Punkte mit Gruppengeschwindigkeit.

Ein Wellenpaket ist eine Welle, deren Amplitude nur in einem begrenzten Raumgebiet ungleich Null ist. Der Amplitudenverlauf wird Hüllkurve des Wellenpakets genannt. Über eine Fourier-Reihe kann man sich ein Wellenpaket als eine Überlagerung von Einzelwellen mit verschiedenen Frequenzen vorstellen. Sie breiten sich jeweils mit einer bestimmten Phasengeschwindigkeit aus, die frequenzabhängig sein kann. Die Hüllkurve bewegt sich jedoch mit der Gruppengeschwindigkeit. Die Form der Hüllkurve kann sich bei Vorliegen von Dispersion während der Fortbewegung des Wellenpaketes ändern.

Die Gruppengeschwindigkeit ergibt sich aus der Kreisfrequenz \omega der Welle und der Kreiswellenzahl k zu


v_\mathrm{g} = \frac{\partial \omega}{\partial k}. \,

Die Gruppengeschwindigkeit ist von der Phasengeschwindigkeit v_\mathrm{p} zu unterscheiden, die angibt, mit welcher Geschwindigkeit sich Stellen konstanter Phase bewegen. Die Phasengeschwindigkeit ist


v_\mathrm{p} \;=\; \frac{\omega}{k} = \lambda \, f \,

mit der Wellenlänge \lambda und der Frequenz f.

Durch Einsetzen von v_{\rm p} k \;=\; \omega in die Definition der Gruppengeschwindigkeit ergibt sich nach Anwenden der Produktregel die Rayleighsche Beziehung

v_\mathrm{g} \;=\; v_\mathrm{p} + k \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}k}.

Sie lässt sich auch mit der Wellenlänge \lambda = 2\pi/k schreiben als

v_\mathrm{g} \;=\; v_\mathrm{p} - \lambda \frac{\mathrm{\partial}v_\mathrm{p}}{\mathrm{\partial}\lambda}.

Oft stellt man sich die Gruppengeschwindigkeit als die Geschwindigkeit vor, mit der das Wellenpaket Energie oder Information durch den Raum transportiert. Dieses stimmt in den meisten Fällen, und zwar immer dann, wenn Verluste vernachlässigt werden können, so dass die Gruppengeschwindigkeit als Signalgeschwindigkeit des Wellenpakets verstanden werden kann. Allerdings kann bei Lichtpulsen in stark verlustbehafteten Medien die Phasengeschwindigkeit wesentlich größer sein als die Gruppengeschwindigkeit, und sogar größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Informationsübertragung mit Überlichtgeschwindigkeit ist jedoch nicht möglich, da die Signalgeschwindigkeit stets maximal gleich c ist (im Fall der verlustbehafteten Medien ist die Signalgeschwindigkeit nicht identisch der Gruppengeschwindigkeit!). Korrekter wäre in diesem Zusammenhang von der Frontgeschwindigkeit zu sprechen. Dies ist die Geschwindigkeit, mit der sich die Wellenfronten (d. h. Flächen gleicher Amplitude) und Diskontinuitäten der Welle bewegen. Sie ist definiert als Grenzwert der Phasengeschwindigkeit für unendlich große Wellenzahl k. Die Gruppengeschwindigkeit ist hingegen die Geschwindigkeit, mit der sich die Einhüllende des Wellenpakets bewegt. Dieser feine Unterschied relativiert die Vorstellung der Übertragung mit Überlichtgeschwindigkeit bei negativer Gruppengeschwindigkeit. Entscheidend für die Übertragung von Information ist die Frontgeschwindigkeit, diese kann niemals Überlichtgeschwindigkeit erreichen. Siehe dazu den Link "Experiment zur Signalübertragung mit „Überlichtgeschwindigkeit“".

Die Funktion \omega(k), die beschreibt, wie \omega von k abhängt, wird Dispersionsgleichung genannt. Ist \omega proportional zu k, ist die Gruppengeschwindigkeit identisch mit der Phasengeschwindigkeit. Im anderen Fall verbreitert sich die Hüllkurve des Wellenpakets, während es sich ausbreitet. Dies geschieht zum Beispiel mit Signalen in Lichtwellenleitern.

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Weblinks[Bearbeiten]