H-Theorem

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Das Boltzmannsche H-Theorem erlaubt es, in der kinetischen Gastheorie die Maxwell-Boltzmann-Verteilung zu finden und die Entropie zu definieren. Es handelt sich damit um eine zentrale Aussage in der kinetischen Gastheorie.

Das H-Theorem wird auch Eta-Theorem genannt, weil mit dem Symbol H statt des lateinischen Buchstabens H, der hier auf jeden Fall nicht für die Enthalpie steht, auch der oft gleich aussehende, griechische Buchstabe Eta gemeint sein könnte. Wie das Symbol zu verstehen ist, wird seit langem diskutiert und bleibt mangels schriftlicher Belege aus der Entstehungszeit des Theorems ungeklärt.[1][2] Einige Hinweise sprechen aber für die Interpretation als Eta.[3]

Aussage[Bearbeiten]

Der Inhalt des H-Theorems besteht in einer Aussage über die Größe H,

H(t) := -\int \mathrm d^3 v \cdot f(\vec{v}, t) \ln f(\vec{v}, t),

wo f die Boltzmann-Verteilungsfunktion ist, die die Teilchenzahl in einem Volumenelement des Phasenraums \mathrm d^3 v bei (\vec x, \vec v) angibt. Dabei werden als Konsequenz des thermodynamischen Limes Effekte an der Oberfläche des betrachteten Volumens vernachlässigt sowie Freiheit von äußeren Kräften angenommen und damit eine \vec{x}-Unabhängigkeit von f begründet.

Der Ansatz für H kann je nach Problemstellung variiert werden; für ein Gemisch aus zwei Gasen A und B ist etwa der Ansatz

H = H_A + H_B

sinnvoll, wo H_A und H_B das oben definierte H mit den Verteilungsfunktionen für A und B ist.

Mit Hilfe der Boltzmann-Gleichung und der Annahme verschwindender äußerer Kräfte berechnet sich die zeitliche Ableitung von H als

\partial_t H = -\int \mathrm d^3v_1 \cdot \mathrm d^3v_2 \cdot \mathrm d\Omega\ \frac{\mathrm d\sigma}{\mathrm d\Omega}\ |\vec{v}_1 - \vec{v}_2|\ (f_1 f_2 - f'_1 f'_2) \left[ \ln (f'_2f'_1) - \ln(f_2f_1) \right] .

mit

  • f^{(')}_i := f(\vec{v}^{(')}_i)
  • \vec{v}_1 und \vec{v}_2 bezeichnen die Geschwindigkeiten zweier Stoßteilchen vor dem Stoß,
die gestrichenen Varianten ihre Geschwindigkeiten nach dem Stoß

Aus der Form von \partial_t H sehen wir die Aussage des H-Theorems:

\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt} \geq 0

Folgerungen[Bearbeiten]

Gleichgewichtsverteilung[Bearbeiten]

Im Gleichgewichtsfall muss offensichtlich \partial_t H = 0 gelten. Aus der Form von \partial_t H erkennt man, dass \ln f dann eine Erhaltungsgröße in den auftretenden Stößen sein muss. Nimmt man an, dass es sich dabei um eine Linearkombination der folgenden bekannten Erhaltungsgrößen des Stoßes handelt:

so erhält man daraus die Maxwell-Boltzmann-Verteilung

f = C \cdot \mathrm \exp(-A (\vec{v} - \vec{v}_0)^2)

mit den Konstanten C, A und \vec{v}_0.

Entropie[Bearbeiten]

Aus dem H-Theorem folgt, dass H eine monoton wachsende Größe ist, wie dies für eine Entropie vonnöten ist. Definiert man

S := k \cdot H_0 \cdot V

mit

  • k die Boltzmannkonstante
  • H_0 die Größe H für die Gleichgewichtsverteilung und
  • V das Volumen des Gases,

so erhält man eine extensive Zustandsgröße, die mit der Zeit monoton wächst: eine Entropie.

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. S. Chapman: Boltzmann’s H-Theorem. In: nature, 139 (1937), S. 931.
  2. S. G. Brush: Boltzmann’s “Eta Theorem”: Where’s the Evidence? In: American Journal of Physics, 35 (1967), S. 892
  3. S. Hjalmars: Evidence for Boltzmann’s H as a capital eta. In: American Journal of Physics, 45 (1977), S. 214–215.