Hilbertsche Modulfläche

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In der Mathematik sind Hilbertsche Modulflächen bestimmte komplexe algebraische Flächen, die man als Quotienten des Produkts zweier hyperbolischer Ebenen erhält.

Konstruktion[Bearbeiten]

Sei F ein total-reeller quadratischer Zahlkörper, also F=\mathbb Q(\sqrt{a}) für eine quadratfreie natürliche Zahl a.

Sei {\mathcal{O}}_F\subset F der Ganzheitsring von F, also {\mathcal{O}}_F=\mathbb Z\left[x_a\right] mit x_a=\sqrt{a} falls a kongruent 2 oder 3 mod 4 und x_a=\frac{1+\sqrt{a}}{2} falls a kongruent 1 mod 4.

Seien \left\{\sigma_+,\sigma_-:{\mathcal{O}}_F\rightarrow \mathbb R\right\} die Einbettungen von {\mathcal{O}}_F, also

\sigma_\pm(m+nx_a)=m\pm nx_a für alle m,n\in\mathbb Z.

Die Abbildungen \begin{pmatrix} 
    a_{11} & a_{12}  \\ 
    a_{21} & a_{22}  
  \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix} 
    \sigma_\pm(a_{11}) & \sigma_\pm(a_{12})  \\ 
    \sigma_\pm(a_{21}) & \sigma_\pm(a_{22})  
  \end{pmatrix} definieren Einbettungen \sigma_\pm:SL(2,{\mathcal{O}}_F)\rightarrow SL(2,\mathbb R).

Die Hilbertsche Modulgruppe ist das Bild von SL(2,{\mathcal{O}}_F) unter der Einbettung

(\sigma_+,\sigma_-):SL(2,{\mathcal{O}}_F)\rightarrow SL(2,\mathbb R)\times SL(2,\mathbb R).

Die Gruppe SL(2,R) wirkt auf der hyperbolischen Ebene durch gebrochen-lineare Transformationen. Mittels der Einbettung nach SL(2,\mathbb R)\times SL(2,\mathbb R) wirkt SL(2,{\mathcal{O}}_F) dann auf \mathbb H^2\times \mathbb H^2, dem Produkt zweier hyperbolischer Ebenen.

Wenn \Gamma\subset SL(2,{\mathcal{O}}_F) eine Untergruppe von endlichem Index ist, dann heißt der Quotientenraum \Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \mathbb H^2) Hilbertsche Modulfläche und \Gamma Hilbertsche Modulgruppe. Hilbertsche Modulgruppen sind Beispiele arithmetischer Gruppen.

Falls eine Hilbertsche Modulgruppe \Gamma\subset SL(2,{\mathcal{O}}_F) torsionsfrei ist, dann ist die Hlbertsche Modulfläche \Gamma\backslash (\mathbb H^2\times \mathbb H^2) ein lokal-symmetrischer Raum, andernfalls hat die Hilbertsche Modulfläche Singularitäten.

Algebraische Flächen[Bearbeiten]

Eine Klassifikation Hilbertscher Modulflächen vom Standpunkt der Algebraischen Geometrie geben Hirzebruch-Zagier.[1]

Zahlentheorie[Bearbeiten]

Die Geometrie der Hilbertschen Modulfläche kodiert Eigenschaften des Körpers F. Zum Beispiel ist die Anzahl der Enden der Hilbertschen Modulfläche gleich der Klassenzahl von F.[2] Das Volumen der Hilbertschen Modulfläche ist 2\zeta_F(-1), wobei \zeta_F die Dedekindsche Zeta-Funktion des Körpers F bezeichnet.[3]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Hirzebruch-Zagier: Classification of Hilbert modular surfaces (PDF; 1,4 MB)
  2. Kapitel III.2.7. in: Armand Borel, Lizhen Ji: Compactifications of symmetric and locally symmetric spaces. Mathematics: Theory & Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2006. ISBN 978-0-8176-3247-2
  3. Gerard van der Geer: Hilbert modular surfaces. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3), 16. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ISBN 3-540-17601-2