Kronecker-Produkt

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Das Kronecker-Produkt ist in der Mathematik ein spezielles Produkt zweier Matrizen beliebiger Größe. Das Ergebnis des Kronecker-Produkts ist eine große Matrix, die durch Betrachtung aller möglichen Produkte von Einträgen der beiden Ausgangsmatrizen entsteht. Es ist nach dem deutschen Mathematiker Leopold Kronecker benannt.

Definition[Bearbeiten]

Ist A eine m\times n-Matrix und B eine p\times r-Matrix, so ist das Kronecker-Produkt C = A \otimes B definiert als

C = (a_{ij} \cdot B)
=\begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n} B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}

Das heißt jedes Element der Matrix A wird mit der Matrix B multipliziert. Das Ergebnis ist also wieder eine Matrix, allerdings von der Dimension mp\times nr.

Beispiel[Bearbeiten]

\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{pmatrix}\otimes \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 
1 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \\\\
3 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} & 4 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} \\\\
5 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} & 6 \cdot \begin{pmatrix} 7 & 8 \\ 9 & 0 \end{pmatrix}
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} 7 & 8 & \!\!\! & 14 & 16 \\ 9 & 0 & \!\!\! & 18 & 0 \\[0.6em] 21 & 24 & \!\!\! & 28 & 32 \\ 27 & 0 & \!\!\! & 36 & 0 \\[0.6em] 35 & 40 & \!\!\! & 42 & 48 \\ 45 & 0 & \!\!\! & 54 & 0 \end{pmatrix}

Eigenschaften[Bearbeiten]

Rechenregeln[Bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt ist nicht kommutativ, das heißt im Allgemeinen gilt

A\otimes B\neq B\otimes A

Es gibt jedoch Permutationsmatrizen P,Q so dass

A\otimes B=P(B\otimes A)Q

gilt. Sind dabei A und B quadratisch, so kann P=Q^T gewählt werden.

Das Kronecker-Produkt ist assoziativ. Das heißt

A\otimes(B\otimes C)=(A\otimes B)\otimes C

Symmetrien[Bearbeiten]

Für die Transposition gilt

(A \otimes B)^T = A^T \otimes B^T.

Für die konjugiert komplexe Matrix gilt

\overline{A \otimes B} = \overline{A} \otimes \overline{B}.

Für die adjungierte Matrix gilt

(A \otimes B)^* = A^* \otimes B^*

Bezüge zu anderen Operationen[Bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt ist bilinear mit der Matrizenaddition, das heißt

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C
(B+C)\otimes A=B\otimes A+C \otimes A
\lambda (A\otimes B)=(\lambda A)\otimes B=A\otimes (\lambda B)

Sind die Matrizenprodukte AC und BD definiert, so gilt[1]

AC\otimes BD=(A\otimes B)(C\otimes D).

Kenngrößen[Bearbeiten]

Sind A und B quadratische Matrizen so gilt für die Spur

\mathrm{Spur}(A \otimes B) = \mathrm{Spur}(A) \cdot \mathrm{Spur}(B).

Für den Rang gilt

\mathrm{Rang}(A \otimes B) = \mathrm{Rang}(A) \cdot \mathrm{Rang}(B).

Ist A eine n\times n und B eine m\times m Matrix so gilt für die Determinante

\det(A\otimes B)={\det}^m (A) \, {\det}^n(B).

Sind (\lambda_i)_{i=1..n}\, die Eigenwerte von A und (\mu_j)_{j=1..m}\, die Eigenwerte von B dann gilt

(\lambda_i \, \mu_j)_{i=1..n \atop j=1..m} sind die Eigenwerte von A\otimes B.

Für die Spektralnorm gilt demnach

\| A \otimes B \|_2 = \| A \|_2 \cdot \| B \|_2.

Inverse[Bearbeiten]

Sind A,B invertierbar so ist

(A\otimes B)^{-1}=A^{-1} \otimes B^{-1}.

Für die Moore-Penrose-Inverse gilt außerdem

(A\otimes B)^{+}=A^{+} \otimes B^{+}.

Allgemeiner gilt: Sind A^- und B^- verallgemeinerte Inversen von A und B, so ist A^- \otimes B^- eine verallgemeinerte Inverse von A \otimes B.

Matrixgleichung[Bearbeiten]

Es seien die Matrizen A\in\mathrm{Mat}(k\times\ell),\, B\in\mathrm{Mat}(m\times n),\, C\in\mathrm{Mat}(k\times n) gegeben

und eine Matrix X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m) gesucht, so dass AXB=C\, gilt. Nun gilt folgende Äquivalenz:

AXB=C \iff (B^T\otimes A)\, \operatorname{vec}(X)=\operatorname{vec}(C)

Hierbei steht \operatorname{vec} für die spaltenweise Vektorisierung einer Matrix zu einem Spaltenvektor.

Sind \vec{x}_1,...,\vec{x}_m die Spalten der Matrix X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m) so ist \operatorname{vec}(X)=\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vdots \\ \vec{x}_m \end{pmatrix} ein Spaltenvektor der Länge \ell\cdot m.

Analog ist \operatorname{vec}(C) ein Spaltenvektor der Länge k\cdot n.

Hat man den Vektor \operatorname{vec}(X) ermittelt, so ergibt sich daraus unmittelbar die zugehörige, isomorphe Matrix X\in\mathrm{Mat}(\ell\times m).

Beweis der Äquivalenz[Bearbeiten]

Es ist AXB=C \iff AX\left(\vec{b}_1,...,\vec{b}_n\right)=\left(\vec{c}_1,...,\vec{c}_n\right)
\iff AX \vec{b_i}=\vec{c_i} \iff \begin{pmatrix} AX \vec{b}_1 \\ \vdots \\ AX \vec{b}_n \end{pmatrix}=\operatorname{vec}(C)

Dabei ist 
\begin{pmatrix} A(\vec{x}_1,...,\vec{x}_m) \vec{b}_1 \\ \vdots \\ A(\vec{x}_1,...,\vec{x}_m) \vec{b}_n \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A(b_{11}\vec{x}_1+...+b_{m1}\vec{x}_m) \\ \vdots \\ A(b_{1n}\vec{x}_1+...+b_{mn}\vec{x}_m) \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} A\, b_{11} & \cdots & A\, b_{m1} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ A\, b_{1n} & \cdots & A\, b_{mn}\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \vec{x}_1 \\ \vdots \\ \vec{x}_m \end{pmatrix}=(B^T\otimes A)\, \operatorname{vec}(X)

Gleichungssystem mit Matrixkoeffizienten[Bearbeiten]

Für i=1,...,r\, und j=1,...,s\, seien die Matrizen A_{ij}\in\mathrm{Mat}(k\times\ell),\, B_{ij}\in\mathrm{Mat}(m\times n),\, C_i\in\mathrm{Mat}(k\times n) gegeben.

Gesucht sind die Matrizen X_i\in\mathrm{Mat}(\ell\times m), welche das Gleichungssystem

\begin{bmatrix} 
A_{11} X_1 B_{11}+...+A_{1s} X_s B_{1s} & =      & C_1 \\
                                        & \vdots &     \\
A_{r1} X_1 B_{r1}+...+A_{rs} X_s B_{rs} & =      & C_r \\
\end{bmatrix}

lösen. Diese Aufgabenstellung ist äquivalent zum Lösen des Gleichungssystems

\begin{pmatrix} 
B_{11}^T \otimes A_{11} & \cdots & B_{1s}^T \otimes A_{1s} \\
\vdots                  & \ddots & \vdots                  \\
B_{r1}^T \otimes A_{r1} & \cdots & B_{rs}^T \otimes A_{rs} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \operatorname{vec} \, X_1  \\ \vdots \\ \operatorname{vec} \, X_s  \end{pmatrix}
=\begin{pmatrix} \operatorname{vec} \, C_1  \\ \vdots \\ \operatorname{vec} \, C_r \end{pmatrix}

Weitere Anwendungen[Bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt wird beispielsweise in der verallgemeinerten linearen Regressionsanalyse verwendet, um eine Kovarianzmatrix von korrelierten Störgrößen zu konstruieren. Man erhält hier etwa eine blockdiagonale Zellnermatrix.

Zudem braucht man das Kronecker-Produkt in der Quantenmechanik um Systeme mit mehreren Teilchen, die ein beidseitig beschränktes Spektrum besitzen, zu beschreiben. Zustände mehrerer Teilchen sind dann Kroneckerprodukte der Einteilchenzustände. Im Falle eines unbeschränkten Spektrums bleibt nur die algebraische Struktur eines Kronecker-Produktes erhalten, da dann keine Darstellung durch Matrizen existiert.

Zusammenhang mit Tensorprodukten[Bearbeiten]

Gegeben seien zwei lineare Abbildungen \varphi_1:V_1\longrightarrow W_1 und \varphi_2:V_2\longrightarrow W_2 zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen. Dann gibt es immer genau eine lineare Abbildung

\varphi_1\otimes\varphi_2:V_1\otimes V_2\longrightarrow W_1\otimes W_2

zwischen den Tensorprodukten mit

[\varphi_1\otimes \varphi_2](v_1\otimes v_2)=\varphi_1(v_1)\otimes \varphi_2(v_2).

Wenn wir auf den Vektorräumen V_1, W_1, V_2 und W_2 je eine Basis auswählen, so können wir der Abbildung \varphi_1 ihre Darstellungsmatrix A zuordnen, B sei die Darstellungsmatrix von \varphi_2. Das Kronecker-Produkt A\otimes B der Darstellungsmatrizen ist nun genau die Darstellungsmatrix der tensorierten Abbildung \varphi_1\otimes\varphi_2.

Damit dies funktioniert, müssen aber die Basen auf V_1\otimes V_2 und W_1\otimes W_2 richtig gewählt werden: Wenn (e_1,e_2,\ldots, e_n) die ausgewählte Basis von V_1 und (f_1,f_2,\ldots, f_p) die Basis von V_2 gegeben ist, so nehmen wir (e_1\otimes f_1, e_1\otimes f_2, \ldots, e_1\otimes f_p, e_2\otimes f_1, \ldots, e_n\otimes f_{p-1}, e_n\otimes f_p) als Basis für das Tensorprodukt V_1\otimes V_2. Analog für W_1\otimes W_2.

Historisches[Bearbeiten]

Das Kronecker-Produkt ist nach Leopold Kronecker benannt, weil er es anscheinend als erster definierte und verwendete. Früher wurde das Kronecker-Produkt manchmal Zehfuss-Matrix genannt, nach Johann Georg Zehfuss.

Weblinks[Bearbeiten]

Quellen[Bearbeiten]

  1. Steeb, Willi Hans: Kronecker Product of Matrices and Applications. BI-Wiss.Verlag, 1991, ISBN 3-411-14811-X, S.16