Markoff-Zahl

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Die ersten Einträge im Baum der Markoff-Zahlen

Eine Markoff-Zahl (nach Andrei Andrejewitsch Markow) ist eine natürliche Zahl x, y oder z, die als Lösung der diophantischen Markoff-Gleichung

x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz\,

vorkommt. Die ersten Markoff-Zahlen sind

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325,…

Sie sind Teile der Lösungen der Markoff-Gleichung, von denen die ersten (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29) lauten. Die Lösungen werden auch als Markoff-Tripel bezeichnet.[1][2]

Markoff-Zahlen kommen in der Theorie der Quadratischen Formen und der diophantischen Approximationen vor: Ist m eine Markoff-Zahl, so ist m/\sqrt{9m^2-4} sowohl ein Element des sogenannten Markoff-Spektrums (quadratische Formen) als auch des Lagrange-Spektrums (diophantische Approximationen).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Es gibt unendlich viele Markoff-Zahlen und -Tripel. Da die Markoff-Gleichung symmetrisch in den Variablen ist, kann man die Lösungstripel (x, y, z) der Größe geordnet mit x ≤ y ≤ z angeben. Mit Ausnahme der beiden kleinsten Tripel (1,1,1) und (1,1,2) bestehen die Lösungstripel (x, y, z) aus drei verschiedenen Zahlen. Eine seit langer Zeit untersuchte – aber noch unbewiesene – Vermutung besagt, dass das größte Element z eines Tripels schon das Markoff-Tripel (x, y, z) bestimmt.[3]

Die Markoff-Zahlen können wie rechts abgebildet in einem Baum angeordnet werden. Die zur Region 1 benachbarten Markoff-Zahlen sind die Fibonacci-Zahlen f_i mit ungeradem i. Die zur Region 2 benachbarten Markoff-Zahlen sind die sogenannten Pell-Zahlen p_i mit ungeradem i.[4]

Ist eine Markoff-Zahl m ungerade, so erfüllt sie die Kongruenz m ≡ 1 mod 4 und wenn sie gerade ist, dann gilt m ≡ 2 mod 32.[5] Die drei Markoff-Zahlen eines Tripels sind stets paarweise teilerfremd.

Die Erzeugung neuer Markoff-Tripel aus bekannten[Bearbeiten]

Man kann aus einer Lösung (x, y, z) der Markoff-Gleichung mittels (x, y, z) → (x, y, 3xy - z) weitere Lösungen erzeugen.[6] Dabei ist es nicht nötig, dass die Lösung, mit der man beginnt, der Größe nach geordnet ist. Die unterschiedlichen Anordnungen von x, y und z können unterschiedliche Tripel (x, y, 3xy - z) erzeugen.

Nimmt man zum Beispiel (1, 5, 13), dann bekommt man die drei benachbarten Tripel (5, 13, 194), (1, 13, 34) und (1, 2, 5) im Markoff-Baum, wenn man x gleich 1, 5 oder 13 setzt. Wendet man (x, y, z) → (x, y, 3xy - z) zweimal an, ohne die Einträge im Tripel umzusortieren, so bekommt man wieder das Ausgangstripel.

Fehler der Approximation für die ersten 1000 Markoff-Zahlen

Beginnt man mit (1, 1, 2) und vertauscht fortwährend y und z vor jeder Transformation, so erzeugt man damit die oben erwähnten Markoff-Tripel, die Fibonacci-Zahlen enthalten. Mit dem gleichen Starttripel aber mit Vertauschen von x und z erzeugt man die Pell-Lösungen.

Wie groß ist die n-te Markoff-Zahl?[Bearbeiten]

Im Jahr 1982 bewies Don Zagier eine asymptotische Formel für die Anzahl der Markoff-Tripel unterhalb einer Schranke und vermutete, dass die n-te Markoff-Zahl asymptotisch gegeben ist durch

m_n = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)} mit C = 2.3523418721…

(hier wird die O-Notation von E. Landau verwendet).[7][8] Der Fehler (\log(3 m_n)/C)^2-n ist in der nebenstehenden Abbildung illustriert. Die 1000. Markoff-Zahl ist ca. 6· 1031.[9]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe auch den Abschnitt „Die Markoff-Zahlen“ in Paulo Ribenboims Buch „Meine Zahlen, meine Freunde“: Google Books
  2. Die Markoff-Zahlen sind die Folge A002559 in Neil Sloanes Online Encyclopedia of Integer Sequences.
  3. Der Lösungsansatz von Norbert Riedel aus dem Jahr 2007 (Markoff Equation and Nilpotent Matrices, arXiv) wird diskutiert in dem langen Artikel von Serge Perrine: De Frobenius à Riedel: analyse des solutions de l'équation de Markoff, Archive-Ouvertes (PDF-Datei; 713 kB).
  4. Diese genügen, mit den Startwerten p_0=0 und p_1=1, der Rekursion p_i = 2p_{i-1}+p_{i-2}. Die Pell-Zahlen mit ungeradem i haben die Eigenschaft, dass 2p_i^2 - 1 eine Quadratzahl ist (sie sind Lösungen y der Pellschen Gleichung x^2-2y^2=-1\,).
  5. Ying Zhang: Congruence and Uniqueness of Certain Markov Numbers, Acta Arithmetica 128 3, 2007, 295–301
  6. Es gilt nämlich x^2 + y^2 + (3xy-z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 9x^2y^2 - 6xyz = 9x^2y^2 - 3xyz = 3(3xy-z)xy\,.
  7. Don B. Zagier: On the Number of Markoff Numbers Below a Given Bound, Mathematics of Computation 160, 1982, 709–723, online (PDF; 1,2 MB)
  8. Siehe den Vortrag von M. Waldschmidt (PDF-Datei; 4,2 MB).
  9. Folge A002559 in OEIS

Literatur[Bearbeiten]

  • Thomas Cusick, Mari Flahive: The Markoff and Lagrange spectra, Math. Surveys and Monographs 30, AMS, Providence, 1989
  • Serge Perrine: La théorie de Markoff et ses développements, Tessier & Ashpool, 2002, arXiv
  • Caroline Series: The Geometry of Markoff Numbers, The Mathematical Intelligencer 7 (3), 1985, 20–29.
  • Eric W. Weisstein: Markov number. In: MathWorld (englisch).