Pellsche Gleichung

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Als Pellsche Gleichung (nach John Pell, 1611−1685) bezeichnet man eine diophantische Gleichung der Form

x^2 - dy^2=1

mit positiv ganzzahligem d.

Ist d eine Quadratzahl, so besitzt die Gleichung offenbar nur die trivialen Lösungen (\pm 1, 0). Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen, die man mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung von \sqrt{d} bestimmen kann. Die verwandten Gleichungen x^2 - dy^2= -1\,\! und x^2 - dy^2=\pm 4\,\! werden oft ebenfalls Pellsche Gleichungen genannt.

Die Gleichung wird John Pell fälschlicherweise zugeschrieben. Korrekter wäre die Bezeichnung Fermatsche Gleichung.[1]

Algebraische Zahlentheorie[Bearbeiten]

Das Auffinden aller Lösungen ist für spezielle d äquivalent dazu, die Einheiten des Ganzheitsrings des reellquadratischen Zahlkörpers \Q(\sqrt{d}) zu finden. Nach dem Dirichletschen Einheitensatz hat die Einheitengruppe den Rang 1, d. h. es gibt eine Fundamentaleinheit (oder auch Grundeinheit ) \varepsilon = x_0 + \sqrt{d}y_0, mit der sich alle Lösungen als \pm \varepsilon^n, n \in \Z darstellen lassen.

Lösungsmöglichkeiten[Bearbeiten]

Lösung mit Hilfe der Kettenbruchentwicklung[Bearbeiten]

Die Kettenbruchentwicklung einer quadratisch irrationalen Zahl \sqrt{d} ist unendlich und periodisch. Zum Beispiel hat \sqrt{13} die Kettenbruchentwicklung

\sqrt{13} = [3;\overline{1,1,1,1,6}]\,.

Bricht man die Entwicklung jeweils an der Stelle n ab, so erhält man beginnend mit n=1

 \sqrt{13} \approx \frac{3}{1}, \frac{4}{1}, \frac{7}{2}, \frac{11}{3},\frac{18}{5}_{n=5},\frac{119}{33},\frac{137}{38},\frac{256}{71}, \frac{393}{109}, \frac{649}{180}_{n=10}, \frac{4287}{1189},\dots

und findet an den Stellen n=5 und n=10 die Lösungen

 x_0 = 18,  y_0 = 5

von x^2 - d y^2 = -1 und

 x_1 = 649, y_1 = 180

von x^2 - d y^2 = 1.

Weiter stellt man fest, dass für d=13 jedes Element der abgebrochenen Kettenbruchentwicklung der Länge n=5 k, k \in \mathbb N eine Lösung einer Pellschen Gleichung mit rechter Seite \pm 1 ist.

Generieren weiterer Lösungen auf Basis einer bekannten[Bearbeiten]

Ist eine Lösung x_0,y_0 bekannt, so lassen sich weitere Lösungen mit einer Matrizenmultiplikation bestimmen. Es gilt

\begin{pmatrix} x_{i+1}\\ y_{i+1} \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} x_0 & d y_0 \\ y_0 & x_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_i\\y_i \end{pmatrix}
Beispiel

Die Pellsche Gleichung für d=5 hat die Minimallösung (x_0=2,y_0=1). Die nächsten Lösungen ergeben sich dann zu

\begin{pmatrix} x_1\\ y_1 \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2\\1 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 9\\ 4 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_2\\ y_2 \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 9\\4 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 38\\ 17 \end{pmatrix}

usw.

Das Rinderproblem des Archimedes[Bearbeiten]

Bei der Lösung des Rinderproblems des Archimedes stößt man (wenn man geschickt rechnet[2]) auf die Pellsche Gleichung x^2 - d \cdot y^2 = 1 zum Parameter d=4729494, die als Minimallösung

x=109931986732829734979866232821433543901088049 \approx 1{,}099 \cdot 10^{44}
y=50549485234315033074477819735540408986340     \approx 5{,}055 \cdot 10^{40}

hat. Für das Rinderproblem braucht man allerdings nicht die Minimallösung, sondern eine (genauer: die kleinste) Lösung, bei der y ein Vielfaches von 2 \cdot 4657 ist.

Alternativ dazu kann man für die Pellsche Gleichung mit Parameter d = 410286423278424 = (2 \cdot 4657)^2\cdot 4729494 die Minimallösung (jetzt ohne Nebenbedingung) suchen, welche von folgender Größenordnung ist (vgl. o.g. Quelle):

x \approx 3{,}7653 \cdot 10^{103272}
y \approx 1{,}8589 \cdot 10^{103265}

(Nicht zufällig ist 2 · 3,7653 · 10103272 ≈ ( 2 · 1,0993199 · 1044 ) 2329 , wodurch numerisch der Zusammenhang zwischen den Minimallösungen der beiden Pellschen Gleichungen hergestellt ist.)

Für das Rinderproblem selbst ist als Zwischenergebnis die Zahl 4657 · 957 · y2 ≈ 1,5401 · 10206537 von Belang. Das Endergebnis ist das 50.389.082-fache davon, also ca. 7,760 · 10206544.

Literatur[Bearbeiten]

  • H. W. Lenstra Jr.: Solving the Pell Equation, Notices of the American Mathematical Society 49 (2), 2002, 182-192, online (PDF; 237 kB).
  • M.J.Jacobson Jr.,H.C.Williams: Solving the Pell Equation,CMS Books in Mathematics, Springer 2009, ISBN 978-0-387-84922-5

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.
  2. Siehe Artikel von H. W. Lenstra Jr.