Multipolentwicklung

Als Multipolentwicklung versteht man die Reihenentwicklung eines Potentials, bei der verschiedene Multipol-Momente auftreten. Man unterscheidet zwischen kartesischer und sphärischer Multipolentwicklung. Multipolentwicklungen spielen insbesondere in der Elektrostatik und der Magnetostatik eine große Rolle, können aber auch auf andere Felder – z. B. bei der Inversion des Schwerefeldes – angewandt werden.

Kartesische Multipolentwicklung

Bei der kartesischen Multipolentwicklung wird $1/|{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}|$ in eine Taylorreihe von $\mathbf {r} '$ um $\mathbf {r} '=\mathbf {0}$ entwickelt. Die Multipolentwicklung trennt bei den einzelnen Summanden der Entwicklung den Ort $\mathbf {r}$ und die von der Ladungsverteilung $\rho (\mathbf {r} ')$ abhängigen Größen (Momente) voneinander.

${\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left(\mathbf {r} '\cdot \nabla _{\bar {\mathbf {r} }}\right)^{n}\left.{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -{\bar {\mathbf {r} }}\right|}}\right|_{{\bar {\mathbf {r} }}=0}$

Dabei bedeutet $\nabla _{\bar {\mathbf {r} }}$, dass der Nablaoperator nur auf ${\bar {\mathbf {r} }}$ und nicht auf $\mathbf {r}$ wirkt. Nach Bilden der Ableitung $\nabla _{\bar {\mathbf {r} }}^{n}(1/\left|\mathbf {r} -{\bar {\mathbf {r} }}\right|)$ wird diese an der Stelle ${\bar {\mathbf {r} }}=0$ ausgewertet. Die Taylorentwicklung lässt sich umformen mittels Substitution $\mathbf {u} =\mathbf {r} -{\bar {\mathbf {r} }}$ und damit $\nabla _{\mathbf {u} }=-\nabla _{\bar {\mathbf {r} }}$:

$\nabla _{\bar {\mathbf {r} }}^{n}\left.{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -{\bar {\mathbf {r} }}\right|}}\right|_{{\bar {\mathbf {r} }}=0}=(-\nabla _{\mathbf {u} })^{n}\left.{\frac {1}{\left|\mathbf {u} \right|}}\right|_{\mathbf {u} =\mathbf {r} }=(-\nabla _{\mathbf {r} })^{n}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} \right|}}=(-\nabla )^{n}{\frac {1}{r}}$

Somit vereinfacht sich die Entwicklung zu:

${\begin{aligned}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}&=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left(-\mathbf {r} '\cdot \nabla \right)^{n}{\frac {1}{r}}\\&={\frac {1}{r}}-\mathbf {r} '\cdot \nabla {\frac {1}{r}}+{\frac {1}{2}}\mathbf {r} '\cdot \nabla \nabla {\frac {1}{r}}\cdot \mathbf {r} '+O(r'^{3})\end{aligned}}$

In Komponentenschreibweise lauten die ersten Glieder der Entwicklung (es wird Summenkonvention verwendet):

${\begin{aligned}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}&={\frac {1}{\sqrt {(x_{k}-x_{k}^{\prime })(x_{k}-x_{k}^{\prime })}}}\\&={\frac {1}{\sqrt {x_{k}x_{k}}}}-x_{i}^{\prime }{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {1}{\sqrt {x_{k}x_{k}}}}+{\frac {1}{2}}x_{i}^{\prime }x_{j}^{\prime }{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\frac {1}{\sqrt {x_{k}x_{k}}}}+O(x_{i}^{\prime 3})\end{aligned}}$

Bei der zugrundeliegenden Taylorentwicklung muss beim Summanden n-ter Ordnung ein Tensor n-ter Stufe, nämlich $\nabla ^{n}(1/r)$, berechnet werden. Hierbei ist in erster Ordnung

${\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {1}{\sqrt {x_{k}x_{k}}}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {2x_{i}}{{\sqrt {x_{k}x_{k}}}^{3}}}=-{\frac {x_{i}}{{\sqrt {x_{k}x_{k}}}^{3}}}=-{\frac {x_{i}}{r^{3}}}$

$\nabla {\frac {1}{r}}=-{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}$

und in zweiter Ordnung

${\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}{\frac {1}{\sqrt {x_{k}x_{k}}}}=-{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}({\frac {1}{{\sqrt {x_{k}x_{k}}}^{3}}}x_{j})=-(-{\frac {3}{2}}){\frac {2x_{i}}{{\sqrt {x_{k}x_{k}}}^{5}}}x_{j}-{\frac {\delta _{ij}}{{\sqrt {x_{k}x_{k}}}^{3}}}={\frac {3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta _{ij}}{{\sqrt {x_{k}x_{k}}}^{5}}}={\frac {3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta _{ij}}{r^{5}}}$

$\nabla \nabla {\frac {1}{r}}=-\nabla {\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}=-\left(\mathbf {r} {\nabla {\frac {1}{r^{3}}}}+{\frac {1}{r^{3}}}\nabla \mathbf {r} \right)=-\left({-3{\frac {\mathbf {r} }{r^{5}}}}\right)\mathbf {r} -{\frac {1}{r^{3}}}E=3{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{r^{5}}}-{\frac {r^{2}}{r^{5}}}E$,

wobei $E$ die Einheitsmatrix und $\mathbf {r} \mathbf {r}$ ein dyadisches Produkt ist.

Damit lassen sich die ersten drei Glieder der Entwicklung schreiben als

${\frac {1}{r}}+x_{i}^{\prime }{\frac {x_{i}}{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}x_{i}^{\prime }x_{j}^{\prime }{\frac {3x_{i}x_{j}-x_{l}x_{l}\delta _{ij}}{r^{5}}}={\frac {1}{r}}+{\frac {x_{i}}{r^{3}}}x_{i}^{\prime }+{\frac {1}{2}}{\frac {x_{i}x_{j}}{r^{5}}}(3x_{i}^{\prime }x_{j}^{\prime }-x_{l}^{\prime }x_{l}^{\prime }\delta _{ij})$

${\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\cdot \mathbf {r} '+{\frac {1}{2}}\mathbf {r} '\cdot \left({3{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{r^{5}}}-{\frac {r^{2}}{r^{5}}}E}\right)\cdot \mathbf {r} '={\frac {1}{r}}+{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\cdot \mathbf {r} '+{\frac {1}{2}}{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{r^{5}}}:\left({3\mathbf {r} '\mathbf {r} '-r'^{2}E}\right)$,

wobei $:$ ein doppeltes inneres Produkt bezeichnet. Zudem wurde $x_{i}^{\prime }x_{j}^{\prime }x_{l}x_{l}\delta _{ij}=x_{i}^{\prime }x_{i}^{\prime }x_{l}x_{l}=x_{l}^{\prime }x_{l}^{\prime }x_{i}x_{i}=x_{l}^{\prime }x_{l}^{\prime }x_{i}x_{j}\delta _{ij}=r^{\prime 2}x_{i}x_{j}\delta _{ij}$ verwendet.

Einsetzen liefert das Potential (hier das elektrische Potential), wo die Momente direkt abgelesen werden können.

${\begin{aligned}\Phi \left(\mathbf {r} \right)&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\bigg [}{\frac {1}{r}}\underbrace {\int \rho (\mathbf {r} ')d^{3}r'} _{\rm {\text{Monopol-}}}+{\frac {x_{i}}{r^{3}}}\underbrace {\int x_{i}'\rho (\mathbf {r} ')d^{3}r'} _{\text{Dipol-}}+{\frac {1}{2}}{\frac {x_{i}x_{j}}{r^{5}}}\underbrace {\int \left(3x_{i}'x_{j}'-r'^{2}\delta _{ij}\right)\rho (\mathbf {r} ')d^{3}r'} _{\text{Quadrupolmoment}}+\dots {\bigg ]}\\&={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\bigg [}{\frac {1}{r}}\overbrace {\int \rho (\mathbf {r} ')d^{3}r'} +{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\cdot \overbrace {\int \mathbf {r} '\rho (\mathbf {r} ')d^{3}r'} +{\frac {1}{2}}{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{r^{5}}}\overbrace {\int \left(3\mathbf {r} '\mathbf {r} '-r'^{2}E\right)\rho (\mathbf {r} ')d^{3}r'} +\dots {\bigg ]}\end{aligned}}$

Elektrostatik

Das Elektrostatische Potential lässt sich mit der Ladungsverteilung $\rho ({\vec {r}})$ an jedem Ort ${\vec {r}}$ über folgende Formel beschreiben:

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot \int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}r',$

für n einzelne Punktladungen auch durch die Summe der Beiträge der einzelnen Punktladungen:

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\cdot \sum _{i}{\frac {q_{i}}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i}\right|}},$

jeweils mit der elektrischen Feldkonstante $\varepsilon _{0}.$

Anstatt das Potential durch n einzelne Ladungen $q_{i}$ und Koordinaten ${\vec {r}}$ zu beschreiben, kann man die Multipolentwicklung durchführen:

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{r}}+{\frac {\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} }{r^{3}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{k,l}Q_{kl}{\frac {r_{k}\cdot r_{l}}{r^{5}}}+\dots \right).$

Aus mathematischer Sicht ist diese eine Taylorentwicklung des Faktors $1/|{\mathbf {r} -\mathbf {r} '}|$ um $\mathbf {r} '=\mathbf {0}$ nach kartesischen Koordinaten (x,y,z).

Ihre Entwicklungskoeffizienten, die Multipolmomente Q, p und $Q_{kl}$, lassen sich auch physikalisch deuten:

• Das Monopolmoment $Q=\sum _{i=1}^{n}q_{i}$ bzw. $=\int \rho (\mathbf {r} ')\cdot d^{3}r'$ für kontinuierliche Ladungsverteilungen

ist ein Skalar und entspricht der Gesamtladung der Ladungsverteilung. Sein Potential

$\Phi _{\text{Monopol}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Q}{r}}$ fällt über dem Abstand am schwächsten (linear) ab und ist daher für große Abstände ${\vec {r}}\gg {\vec {r}}_{i}$ dominierend.

• Das Dipolmoment $\mathbf {p} =\sum _{i=1}^{n}q_{i}\mathbf {r} _{i}$ bzw. $=\int \rho (\mathbf {r} ')\cdot \mathbf {r} '\cdot d^{3}r'$ für kontinuierliche Ladungsverteilungen

ist ein Vektor und tritt auf, wenn Ladungsschwerpunkte nicht mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen (eindrückliches Beispiel: zwei getrennte Ladungen +q und -q). Das Dipolpotential

$\Phi _{\text{Dipol}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {r} }{r^{3}}}$ ist schwächer als das Monopolpotential, da es mit dem Abstand quadratisch abfällt.

• Das Quadrupolmoment $Q_{kl}=\sum _{i=1}^{n}q_{i}(3r_{ik}\,r_{il}-(r_{i})^{2}\,\delta _{kl})$ bzw. $Q_{kl}=\int \rho (\mathbf {r} ')\cdot (3r'_{k}\,r'_{l}-(r')^{2}\,\delta _{kl})\cdot d^{3}r'$ für kontinuierliche Ladungsverteilungen

ist ein spurfreier symmetrischer Tensor zweiter Stufe (eine Matrix), wobei

• $r_{ik}={\vec {r}}(i)\cdot {\vec {e}}_{k}$ mit dem Einheitsvektor ${\vec {e}}_{k}$
• $\delta _{kl}$ das Kronecker-Delta ist.

• und höhere Multipolmomente (Oktupolmomente usw.).

Sphärische Multipolentwicklung

Das elektrostatische Potential lautet

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\int d^{3}r'{\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}$.

Der Abstand lässt sich mittels Skalarprodukt im Nenner umformen zu:

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}={\frac {1}{\sqrt {\mathbf {r} ^{2}+\mathbf {r} ^{\prime 2}-2\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} ^{\prime }}}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+{r^{\prime }}^{2}-2r\,r^{\prime }\cos \alpha }}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{\sqrt {1+\left({\frac {r^{\prime }}{r}}\right)^{2}-2{\frac {r^{\prime }}{r}}\cos \alpha }}}={\frac {1}{r}}{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}-2y\,x}}}$

Es wurden die Abkürzungen $x={\frac {r^{\prime }}{r}}$ und $y=\cos \alpha$ eingeführt. Nun entwickelt man obige Gleichung in eine Taylorreihe um $x=0$:

${\frac {1}{r}}{\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}-2y\,x}}}={\frac {1}{r}}{\bigg [}\underbrace {1} _{P_{0}(y)}+\underbrace {y} _{P_{1}(y)}\,x+\underbrace {\left({\frac {3}{2}}y^{2}-{\frac {1}{2}}\right)} _{P_{2}(y)}x^{2}+\underbrace {\left({\frac {5}{2}}y^{3}-{\frac {3}{2}}y\right)} _{P_{3}(y)}x^{3}+\ldots {\bigg ]}={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(y)x^{l}$

Dabei wurden die Legendre-Polynome $P_{l}(y)=P_{l}(\cos \alpha )$ benutzt. Diese sind für $|x|<1$ definiert als die Entwicklungskoeffizienten der Taylorreihe von $(1+x^{2}-2yx)^{-1/2}$ um $x=0$:

${\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}-2y\,x}}}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(y)x^{l}$

Die Entwicklung lautet also:

${\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \,'|}}=\sum _{l=0}^{\infty }P_{l}(\cos \alpha ){\frac {r^{\,\prime \,l}}{r^{l+1}}}$

Da $\alpha$ der Winkel zwischen $\mathbf {r} =\mathbf {r} (r,\theta ,\varphi )$ und $\mathbf {r} ^{\prime }=\mathbf {r} ^{\prime }(r^{\prime },\theta ^{\prime },\varphi ^{\prime })$ ist, kann man nun das Additionstheorem der Kugelflächenfunktionen benutzen, welches durch

$P_{l}(\cos \alpha )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta ^{\prime },\varphi ^{\prime })Y_{lm}(\theta ,\varphi )$

gegeben ist. Eingesetzt ergibt sich für das elektrostatische Potential

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}Y_{lm}(\theta ,\varphi ){\frac {1}{r^{l+1}}}\int d^{3}r^{\prime }{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\rho (\mathbf {r} ^{\prime }){r^{\prime }}^{l}Y_{lm}^{*}(\theta ^{\prime },\varphi ^{\prime })$.

Nun wird das sphärische Multipolmoment $q_{lm}$ definiert als

$q_{lm}={\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}^{l}\,Y_{lm}^{*}(\theta ^{\prime },\varphi ^{\prime })={\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\,\int _{0}^{\infty }dr'\int _{0}^{\pi }d\theta '\int _{0}^{2\pi }d\varphi '\,\rho (r',\theta ',\varphi ')\,\sin(\theta ')\,{r^{\prime }}^{l+2}\,Y_{lm}^{*}(\theta ^{\prime },\varphi ^{\prime })$.

Damit ergibt sich für das elektrostatische Potential die sphärische Multipolentwicklung

$\Phi (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{l=0}^{\infty }{\sqrt {\frac {4\pi }{2l+1}}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\theta ,\varphi ){\frac {q_{lm}}{r^{l+1}}}$.

Elektrostatik

Für die nullte und erste Ordnung der sphärischen Multipolmomente der Elektrostatik werden explizit angegeben ($p_{x,y,z}$ bezeichnet die Komponenten des Dipolmoments, siehe dafür weiter oben, und $Q$ die Gesamtladung der Ladungsverteilung):

$q_{0,0}={\sqrt {\frac {4\pi }{1}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{\sqrt {\frac {1}{4\pi }}}=\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })=Q$

$q_{1,1}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}\,\left(-{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\right)\sin {\theta '}\,e^{-i\varphi '}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}\,\sin {\theta '}\,e^{-i\varphi '}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(p_{x}\,-\,i\,p_{y})$

$q_{1,0}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}\,{\sqrt {\frac {3}{4\pi }}}\cos {\theta '}=\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}\,\cos {\theta '}=p_{z}$

$q_{1,-1}={\sqrt {\frac {4\pi }{3}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}\,{\sqrt {\frac {3}{8\pi }}}\sin {\theta '}\,e^{i\varphi '}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,\int d^{3}r^{\prime }\,\rho (\mathbf {r} ^{\prime })\,{r^{\prime }}\,\sin {\theta '}\,e^{i\varphi '}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,(p_{x}\,+\,i\,p_{y})$

Umrechnung

Man sieht, dass für das kartesische Monopolmoment gilt:

$Q=q_{0,0}\ .$

Für das kartesische Dipolmoment $\mathbf {p}$ gilt dann jedoch

$p_{z}=q_{1,0}\ ,$

$p_{x}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(-q_{1,+1}+q_{1,-1}\right)\ ,$

$p_{y}={\frac {1}{{\sqrt {2}}i}}\left(q_{1,+1}+q_{1,-1}\right)\ .$

Magnetostatik

Das Vektorpotential

$\mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\frac {\mathbf {j} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}r'$

mit der magnetischen Feldkonstante $\mu _{0}$ hat kein Monopolmoment.

Literatur

• T. Fließbach: Elektrodynamik. Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-2021-0. 
• J. D. Jackson: Klassische Elektrodynamik. de Gruyter Verlag, ISBN 3-11-018970-4.