Pentatopzahl

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Eine Pentatopzahl ist eine Zahl, die sich nach der Formel

\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}

aus einer natürlichen Zahl n berechnen lässt. Die ersten Pentatopzahlen sind

0, 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, 715, … (Folge A000332 in OEIS)

Bei einige Autoren ist die Null keine Pentatopzahl, sodass die Zahlenfolge erst mit der Eins beginnt.

Der Name Pentatopzahl leitet sich von der geometrischen Figur des Pentatops ab. Das Pentatop ist jedoch ein vierdimensionaler Körper und entzieht sich somit unserem Vorstellungsvermögen. Würde man ein Pentatop der Seitenlänge gleichmäßig aus Kugeln bauen, so wäre die Anzahl der Kugeln, die man dazu benötigt, mit einer Pentatopzahl identisch.

Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Pentatopzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Quadratzahlen und Kubikzahlen gehören.

Reguläre figurierte Zahlen[Bearbeiten]

Zu den regulären figurierten Zahlen gehören:

Die n-te Dreieckszahl \Delta_n ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen:

\Delta_{n} = \sum_{k=1}^{n} k = 1 + 2+ \cdots + n

Die n-te Tetraederzahl T_n ist die Summe der ersten n Dreieckszahlen:

T_n = \sum_{k=1}^n \Delta_k = \Delta_1 + \Delta_2+ \cdots + \Delta_n

Pentatopzahlen[Bearbeiten]

Die nächsten regulären figurierten Zahlen sind dann die Pentatopzahlen

\text{Ptop}_n = \sum_{k=1}^n T_n = T_1 + \cdots + T_n

als Summe der ersten Tetraederzahlen.

Eigenschaften[Bearbeiten]

  • In der Folge der Pentatopzahlen sind abwechselnd vier Zahlen ungerade und gerade.
  • Alle regulären figurierten Zahlen stehen im Pascalschen Dreieck. Insbesondere gilt für die n-te Pentatopzahl:
\text{Ptop}_n = {{n+3} \choose {4}}
Daraus leitet sich obige direkte Berechnungsformel ab.
  • Die Reihe der Kehrwerte ist konvergent: Es gilt:
\sum_{k=1}^\infty \text{Ptop}_k^{-1} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{\frac{k(k+1)(k+2)(k+3)}{24}} = \sum_{k=1}^\infty \frac{24}{k(k+1)(k+2)(k+3)} = \frac{4}{3}.
\frac{x}{(1-x)^5} = \mathbf 1x+\mathbf 5x^2+\mathbf{15}x^3+\mathbf{35}x^4+\mathbf{70}x^5+\cdots

Weblinks[Bearbeiten]