Polygonalzahl

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Eine Polygonalzahl ist eine Zahl, zu der es ein regelmäßiges Polygon (Vieleck) gibt, das sich mit einer entsprechenden Zahl an Steinen legen lässt. Beispielsweise ist die 16 eine Polygonalzahl, da sich ein Quadrat aus 16 Steinen legen lässt. Zu den Polygonalzahlen zählen unter anderem die Dreiecks- und Quadratzahlen.

Die Polygonalzahlen zählen zu den figurierten Zahlen. Eine andere Art, Zahlen auf Polygone zurückzuführen, stellen die zentrierten Polygonalzahlen dar.

Die Polygonalzahlen lassen sich durch eine einfache Rechenvorschrift erzeugen. Man wählt dazu eine natürliche Zahl d als Differenz. Die erste Zahl ist jeweils die 1, und alle nachfolgenden Polygonalzahlen entstehen, indem man jeweils die Differenz zur vorhergehenden hinzuaddiert. Die folgenden Beispiele zeigen dies.

Dreieckszahlen
Die Differenz 1 führt zu den Summen 1 + 2 + 3 + 4 + \ldots, aus denen man die Dreieckszahlen 1, 3, 6, 10, \ldots erhält.
Quadratzahlen
Die Differenz 2 führt zu den Summen 1 + 3 + 5 + 7 + \ldots, aus denen man die Quadratzahlen 1, 4, 9, 16, \ldots erhält.
Fünfeckszahlen
Die Differenz 3 führt zu den Summen 1 + 4 + 7 + 10 + \ldots, aus denen man die Fünfeckszahlen 1, 5, 12, 22, \ldots erhält.
Sechseckszahlen
Die Differenz 4 führt zu den Summen 1 + 5 + 9 + 13 + \ldots, aus denen man die Sechseckszahlen 1, 6, 15, 28, \ldots erhält.

Die einzelnen Summanden sind jeweils die Folgenglieder einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1 und der jeweiligen Differenz (vgl. Differenzenfolge). Dieser Aufbau der Polygonalzahlen spiegelt sich auch in den entsprechenden Polygonen wider:

Gelegentlich wird per Definition auch die 0 als 0-te Dreieckszahl, Quadratzahl, … eingeführt. Nach dieser Konvention lautet die Folge der Dreieckszahlen beispielsweise 0, 1, 3, 6, 10, \ldots.

Berechnung[Bearbeiten]

Die jeweils n-te k-Eckszahl lässt sich mit der Formel

{(k-2)n^2-(k-4)n \over 2} =  (k-2)\binom n2+n

berechnen.

Liegt eine beliebige k-Eckszahl x vor, dann berechnet sich das zugehörige n nach der Formel

n = \frac{\sqrt{8(k-2)x+(k-4)^2}+k-4}{2(k-2)}.

Herleitung[Bearbeiten]

Sei k \in \mathbb{N} die Anzahl der Seiten. Die n-te k-Eckzahl, mit n\in \mathbb{N}, wird dadurch gebildet, dass k-2 Seiten um einen Punkt erweitert werden. Die erweiterten Seiten haben (k-2)-1 gemeinsame Punkte. Die (n+1)-te k-Eckzahl hat somit (n+1)(k-2)-(k-3) Punkte mehr als die n-te k-Eckszahl. Die n-te k-Eckszahl ist daher:

(1\cdot(k-2)-(k-3)) + (2\cdot(k-2)-(k-3)) + \ldots + (n\cdot(k-2)-(k-3))
= \sum\limits_{i=1}^n ((k-2)\cdot i-(k-3))
= -n\cdot(k-3)+\sum\limits_{i=1}^n (k-2)\cdot i
= -n(k-3)+(k-2)\sum\limits_{i=1}^n i
\stackrel{\mathrm{I.}}{=} -n(k-3)+(k-2)\frac{n(n+1)}{2}
= \frac{-2nk + 6n + k(n(n+1)) - 2n(n+1)}{2}
= \frac{-2nk + 6n + kn^2 + nk -2n^2 -2n}{2}
= \frac{-nk+4n-2n^2 + kn^2}{2}
= \frac{(k-2)n^2 - (k-4)n}{2}

zu \mathrm{I.}: Anwendung der Gaußschen Summenformel

Summe der Kehrwerte[Bearbeiten]

Die Summe der Kehrwerte jeweils aller k-Eckszahlen ist konvergent.[1] Es gilt:

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{(k-2)n^2-(k-4)n} = 
\frac{2\ln{(2)} + \psi{(\frac{1}{k-2})} + \psi{(\frac{k}{2k-2})} + 2\gamma}{k-2}

(vgl. \ln, \gamma, \psi)

Anwendungen[Bearbeiten]

Nach dem fermatschen Polygonalzahlensatz lässt sich jede Zahl als Summe von höchstens k k-Eckszahlen darstellen.

Literatur[Bearbeiten]

  • James Mitchell (Hrsg.): A Dictionary of the Mathematical and Physical Sciences, according to the latest Improvements and Discoveries. G. & W. S. Whittaker, London 1823, online.
  • Constance Reid: From Zero to Infinity. What Makes Numbers Interesting. 4th edition. Mathematical Association of America, Washington DC 1992, ISBN 0-88385-505-4, Kapitel 5, online.
  • Lawrence Downey, Boon W. Ong, James A. Sellers: Beyond the Basel Problem: Sums of Reciprocals of Figurate Numbers. online (PDF; 93 KB).

Weblinks[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe Artikel von Downey, Ong, Sellers.