Divisionsalgebra

Divisionsalgebra

berührt die Spezialgebiete

Mathematik Abstrakte Algebra Lineare Algebra

ist Spezialfall von

Algebra Quasikörper (für Divisionsalgebra mit Eins)

umfasst als Spezialfälle

Schiefkörper Oktaven

Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet Abstrakte Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiel

Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra $D \neq \{0\}$, in der zu je zwei Elementen $a, b \in D, a \neq 0,$ die Gleichungen $a \cdot x = b$ und $y \cdot a = b$ stets eindeutige Lösungen $x, y \in D$ besitzen. Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra.

Enthält die Divisionsalgebra die Zahl 1, so dass $a \cdot 1 = 1 \cdot a = a$ gilt, spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten $e_1$ und $e_2$, die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:

$\begin{matrix} e_1 \cdot e_1 &=& e_1\\ e_1 \cdot e_2 &=& -e_2\\ e_2 \cdot e_1 &=& -e_2\\ e_2 \cdot e_2 &=& -e_1 \end{matrix}$

Sätze über reelle Divisionsalgebren

Eine Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 mit topologischen Methoden von John Milnor und Michel Kervaire bewiesen.

Die vier reellen, normierten Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie):

• die reellen Zahlen selbst
• die komplexen Zahlen
• die Quaternionen
• die Oktaven auch Oktonionen oder Cayley-Zahlen.

Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt.

Jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra ist isomorph zu den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder zu den Quaternionen; dies ist der Satz von Frobenius (1877).

Anwendung

• Divisionsalgebren mit Einselement sind Quasikörper (nicht unbedingt umgekehrt). Daher liefert jedes Beispiel einer Divisionsalgebra $D$ in der synthetischen Geometrie ein Beispiel für eine Affine Translationsebene $D^2$.

Literatur

• Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Berlin: Springer, 1992, ISBN 3-540-55654-0
• Stefaan Caenepeel, A. Verschoren Rings, Hopf Algebras, and Brauer Groups, CRC Press, 1998, ISBN 0-82470-153-4