Divisionsalgebra

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Divisionsalgebra

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Divisionsalgebra ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der abstrakten Algebra. Grob gesprochen handelt es sich bei einer Divisionsalgebra um einen Vektorraum, in dem man Elemente multiplizieren und dividieren kann.

Definition und Beispiel[Bearbeiten]

Eine Divisionsalgebra ist eine nicht notwendigerweise assoziative Algebra D \neq \{0\}, in der zu je zwei Elementen a, b \in D, a \neq 0, die Gleichungen a \cdot x = b und y \cdot a = b stets eindeutige Lösungen x, y \in D besitzen. Dabei bezeichnet "·" die Vektormultiplikation in der Algebra.

Enthält die Divisionsalgebra die Zahl 1, so dass a \cdot 1 = 1 \cdot a = a gilt, spricht man von einer Divisionsalgebra mit Eins.

Beispiel einer Divisionsalgebra ohne Einselement mit den beiden Einheiten e_1 und e_2, die mit beliebigen reellen Zahlen multipliziert werden können:


\begin{matrix}
e_1 \cdot e_1 &=& e_1\\
e_1 \cdot e_2 &=& -e_2\\
e_2 \cdot e_1 &=& -e_2\\
e_2 \cdot e_2 &=& -e_1
\end{matrix}

Sätze über reelle Divisionsalgebren[Bearbeiten]

Eine endlichdimensionale Divisionsalgebra über den reellen Zahlen hat stets die Dimension 1, 2, 4 oder 8. Das wurde 1958 mit topologischen Methoden von John Milnor und Michel Kervaire bewiesen.

Die vier reellen, normierten, Divisionsalgebren mit Eins sind (bis auf Isomorphie):

Dieses Resultat ist als Satz von Hurwitz (1898) bekannt.

Jede reelle, endlichdimensionale und assoziative Divisionsalgebra ist isomorph zu den reellen Zahlen, den komplexen Zahlen oder zu den Quaternionen; dies ist der Satz von Frobenius (1877).

Anwendung[Bearbeiten]

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

  • Ebbinghaus et. al.: Zahlen. Berlin: Springer, 1992, ISBN 3-540-55654-0
  • Stefaan Caenepeel, A. Verschoren Rings, Hopf Algebras, and Brauer Groups, CRC Press, 1998, ISBN 0-82470-153-4