Serre-Vermutung

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Der Satz von Quillen–Suslin wurde ebenfalls von Serre vermutet und wird auch Serre-Vermutung genannt.

Die Serre-Vermutung ist ein mathematischer Satz über Galoisdarstellungen und Modulformen, der im Jahr 2006 von Chandrashekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger und Mark Kisin bewiesen wurde. Die Serre-Vermutung impliziert den Modularitätssatz und damit auch den großen Satz von Fermat. Die Serre-Vermutung geht auf eine Vermutung von Jean-Pierre Serre zurück.

Unabhängig von Khare und Wintenberger bewies auch Luis Dieulefait 2004 Spezialfälle der Serre-Vermutung, die für den Beweis des großen Satzes von Fermat ausreichen.

Formulierung[Bearbeiten]

Die Vermutung betrifft Galoisdarstellungen der absoluten Galoisgruppe G_\mathbb{Q} der rationalen Zahlen \mathbb{Q}.

Sei \rho eine absolut irreduzible, stetige und ungerade zweidimensionale Darstellung von G_\mathbb{Q} über einem endlichen Körper

F = \mathbb{F}_{l^r}

der Charakteristik l,

 \rho: G_\mathbb{Q} \rightarrow GL_2(F).\

Nach der Vermutung gibt es eine Hecke-Eigenform

 f = q+a_2q^2+a_3q^3+\cdots\

der Stufe  N=N(\rho) , Gewicht  k=k(\rho) , und Nebentypus

 \chi : \mathbb{Z}/N\mathbb{Z} \rightarrow F^*\ ,

so dass für alle Primzahlen p, teilerfremd zu Nl Folgendes gilt:

 \operatorname{Trace}(\rho(\operatorname{Frob}_p))=a_p\

und

 \det(\rho(\operatorname{Frob}_p))=p^{k-1} \chi(p).\

Die Stufe und das Gewicht von  \rho werden explizit in Serres Artikel berechnet.

Es ist bereits sehr lange durch tiefe Sätze von Goro Shimura, Pierre Deligne, Barry Mazur und Robert Langlands[1] bekannt, dass man jeder Hecke-Eigenform  f\in S_k(N,\chi) eine Darstellung (wie oben gefordert) zuordnen kann. Die Serre-Vermutung behauptet die Umkehrung: Jede irreduzible, stetige und ungerade Darstellung stammt von einer Modulform.

Literatur[Bearbeiten]

  • Chandrasekhar Khare: Serre's modularity conjecture: The level one case, Duke Mathematical Journal, Band 134, 2006, S. 557–589
  • Chandrasekhar Khare, Jean-Pierre Wintenberger: Serre´s Modularity Conjecture, Teil 1,2, Inventiones Mathematicae, Band 158, 2009, S. 485-504, 505-586
  • Khare, Wintenberger On Serre´s reciprocity conjecture for 2-dimensional mod p representations of Gal(\bar {\mathbb{Q}} /\mathbb{Q}), Annals of Mathematics, Band 169, 2009, S. 229–253
  • Luis Dieulefait: The level 1 weight 2 case of Serre's conjecture, Revista Matemática Iberoamericana, Band 23, 2007, S. 1115–1124.

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Siehe Theorem 3.26 in Haruzo Hida: Modular Forms and Galois cohomology. Cambridge University Press, Cambridge 2000.

Weblinks[Bearbeiten]

Ein Beweis der Serre-Vermutung ist in den folgenden drei Papern enthalten: