Alternierende Gruppe

Die alternierende Gruppe vom Grad $n$ besteht aus allen geraden Permutationen einer $n$-elementigen Menge. Die Gruppenoperation ist die Verkettung (Hintereinanderausführung) der Permutationen. Meist wird einfach von der alternierenden Gruppe $A_n$ gesprochen.

Die alternierenden Gruppen sind Untergruppen der entsprechenden symmetrischen Gruppen $S_n$. Eine besondere Bedeutung kommt der alternierenden Gruppe $A_5$ zu. Dass sie der einzige nicht-triviale Normalteiler von $S_5$ ist, ist ein wichtiger Bestandteil des Beweises des Satzes von Abel-Ruffini. Dieser Satz aus dem beginnenden 19. Jahrhundert besagt, dass Polynomgleichungen fünften oder höheren Grades nicht durch Wurzelausdrücke lösbar sind.

Eigenschaften

Die alternierenden Gruppen sind nur für $n \geq 2$ definiert.

Die alternierende Gruppe $A_n$ besteht aus $\tfrac{n!}{2}$ (halbe Fakultät) Elementen. Nur die Gruppen $A_2$ und $A_3$ sind abelsch. Die alternierende Gruppe $A_n$ ist die Kommutatorgruppe der symmetrischen Gruppe $S_n$.

Alle alternierenden Gruppen mit Grad 5 oder höher sind einfache Gruppen. $A_5$ ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe; sie ist isomorph zur Punktgruppe des Ikosaeders (Ikosaedergruppe).

Erzeugendensystem

Die alternierende Gruppe $A_n$ wird von den 3-Zykeln der symmetrischen Gruppe $S_n$ erzeugt.

Jeder 3-Zykel $(a~b~c)$ ist eine gerade Permutation und deshalb Element der alternierenden Gruppe, da er sich als Produkt

$(a~b) \circ (b~c) = (a~b~c)$

schreiben lässt. Des Weiteren ist jede gerade Permutation ein Produkt von 3-Zykeln, da Paare aus zwei Transpositionen Produkte von 3-Zykeln sind. Im Einzelnen gilt

• $(a~b) \circ (a~b) = id = (a~b~c) \circ (c~b~a),$ wenn beide Transpositionen gleich sind.
• $(a~b) \circ (a~c) = (a~c~b),$ wenn beide Transpositionen ein gemeinsames Element besitzen.
• $(a~b) \circ (c~d) = (a~c~b) \circ (a~c~d),$ wenn beide Transpositionen kein gemeinsames Element besitzen.

Inversionen und Inversionszahl, gerade und ungerade Permutationen

Von einer Inversion spricht man, wenn zwei „Stellen“ einer Permutation in „falscher“ Reihenfolge stehen. Zur Ermittlung der Inversionszahl einer Permutation werden alle ihrer Stellen paarweise miteinander verglichen und die Anzahl der Inversionen wird gezählt. Eine Inversion nennt man auch Fehlstand.

Beispiel: Die Permutation in Tupelschreibweise $(3~1~2)$ besitzt die Inversionen „3vor1“ und „3vor2“ (abzulesen an der Matrix-Schreibweise) und damit die Inversionszahl 2.

Von einer geraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine gerade Zahl ist, von einer ungeraden Permutation spricht man, wenn deren Inversionszahl eine ungerade Zahl ist.

Oft definiert man auch die sogenannte „Signum“-Abbildung $\text{sgn}\colon \text{S}_n\rightarrow \{+1,-1\}$ wie folgt:

$sgn(p) = +1$, falls Permutation p gerade ist und

$sgn(p) = -1$, falls p ungerade ist.

Eine formale Definition der Signum-Abbildung findet sich im Artikel Signum (Mathematik)#Signum von Permutationen.

Signum ist ein Gruppenhomomorphismus. Es gilt also:

$sgn(ps) = sgn(p)sgn(s)$

für die Permutationen p und s.

Gruppeneigenschaften

Als Kern des Signums ist $A_n$ automatisch ein Normalteiler von $S_n$. Man kann auch die Untergruppeneigenschaften leicht nachrechnen:

Für die Menge der geraden Permutationen gilt:

• Die identische Permutation

und $p_2$ gerade Permutationen sind, sind auch $p_1\circ p_2$ und $p_1^{-1}$ gerade, eine Beweisskizze folgt weiter unten.

Mit diesen Voraussetzungen „erbt“ $A_n$ direkt von $S_n$ alle notwendigen Gruppeneigenschaften:

• Für alle geraden Permutationen $p_1, p_2, p_3\in A_n$ gilt: $p_1\circ\left(p_2\circ p_3\right)=\left(p_1\circ p_2\right)\circ p_3$
• Für alle geraden Permutationen $p_1$ gilt: $p_1 \circ id = id \circ p_1 = p_1$
• Für alle geraden Permutationen $p_1\in A_n$ gilt: es gibt ein gerades $p_1^{-1}\in A_n$ mit $p_1\circ p_1^{-1}=p_1^{-1}\circ p_1= id$

Die Gruppe $A_5$ stellt hierbei eine Besonderheit dar, da sie die kleinste, einfache, nicht-abelsche Gruppe bildet.

Abgeschlossenheit

Transpositionen

Als Transposition bezeichnet man eine Permutation, bei welcher genau 2 verschiedene Stellen miteinander vertauscht werden, z.B. $\left(5~3\right)$, bei der 3 und 5 vertauscht werden.

Allgemein gilt für alle n-stelligen Permutationen $p_1$ und $p_2$: $p_2$ lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus $p_1$ erzeugen.

Als Spezialfall hiervon gilt für eine beliebige Permutationen $p_2$: $p_2$ lässt sich mit endlich vielen Transpositionen aus der identischen Permutation $id$ erzeugen.

Im Bild ist dargestellt, wie die Permutation in Tupelschreibweise $\left(2~5~3~1~4\right)$ aus $\left(1~2~3~4~5\right)$ mit 5 Transpositionen erzeugt wird.

Bei der Wahl der notwendigen Transpositionen existiert eine gewisse Freiheit, so könnte man im Bild rechts beispielsweise die Transpositionen b und c wegfallen lassen, da sie sich offensichtlich aufheben. Ebenso könnte man durch den Einbau weiterer sich paarweise aufhebender Transpositionen die Anzahl der Transpositionen auf 7, 9, 11, ... erhöhen. Allerdings ist es nicht möglich, $\left(2~5~3~1~4\right)$ mit einer geraden Anzahl von Transpositionen aus $\left(1~2~3~4~5\right)$ zu erzeugen.

Transpositionen und Inversionszahl

Durch eine einzelne Transposition ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d. h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.

Bei einer Transposition, die aus
$\left(\ldots ,x,\ldots,y_i,\ldots , z,\ldots\right)$ die neue Permutation
$\left(\ldots ,z,\ldots,y_i,\ldots , x,\ldots\right)$ erzeugt, setzt sich die Änderung der Inversionszahl zusammen aus der Summe folgender Änderungen:

• Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von x und z ergibt, diese ist +1, falls x < z, ansonsten −1.
• Änderung, die sich aus der neuen Reihenfolge von x, y_i und z ergibt.
  • falls y_i größtes oder kleinstes Element von x, y_i, z ist, beträgt die Änderung 0.
  • falls y_i mittleres Element von x, y_i, z ist, beträgt die Änderung +2 oder −2.

Die Summe aus einer ungeraden und beliebig vielen geraden Zahlen ergibt immer eine ungerade Zahl.

Umwandlung zwischen geraden und ungeraden Permutationen durch Transpositionen

Die weiter oben getroffene Aussage lässt sich verallgemeinern:

• Durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine ungerade Zahl, d.h. aus einer geraden Permutation wird eine ungerade und umgekehrt.
• Durch eine gerade Anzahl von Transpositionen ändert sich der Wert der Inversionszahl immer um eine gerade Zahl, d.h. aus einer geraden Permutation wird erneut eine gerade Permutation und aus einer ungeraden Permutation wird erneut eine ungerade Permutation.

Transpositionen und Abgeschlossenheit

Da id eine gerade Permutation ist, gilt:

• alle geraden Permutationen lassen sich nur durch eine gerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.
• alle ungeraden Permutationen lassen sich nur durch eine ungerade Anzahl von Transpositionen aus id erzeugen.

Wenn p und q gerade Permutationen sind, dann gibt es gerade Zahlen $p_n$ und $q_n$, so dass sich p und q als Verkettung von Transpositionen wie folgt darstellen lassen:

• $p = t_{p_1} \circ\ldots\circ t_{p_n}$
• $q = t_{q_1} \circ\ldots\circ t_{q_n}$

Damit gilt $p\circ q=t_{p_1} \circ\ldots\circ t_{p_n}\circ t_{q_1} \circ\ldots\circ t_{q_n}$, somit ist auch die Verkettung $p\circ q$ gerade.

Analog kann man herleiten: Die Verkettung einer geraden und einer ungeraden Permutation erzeugt immer eine ungerade Permutation. Damit führt die Annahme, eine Permutation $p$ sei gerade und $p^{-1}$ sei ungerade wegen $p\circ p^{-1}=id$ zum Widerspruch.

Siehe auch

• alternierende Gruppe vom Grad 4

Literatur

• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, S. 108–109