σ-Endlichkeit

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Der Begriff der \sigma-Endlichkeit (auch \sigma-Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in \sigma-endliche und nicht \sigma-endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die σ-Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Mengensystem  \mathcal M auf der Grundmenge  X , also  \mathcal M \subset \mathcal P (X) . Sei

 \mu: \mathcal M \to [0,\infty]

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion σ-endlich, wenn es eine abzählbare Folge  (A_n)_{n \in \N} von Mengen aus  \mathcal M gibt, so dass

 \bigcup_{n=1}^\infty A_n = X

gilt und

 \mu(A_n)< \infty \text{ für alle } n \in \N

gilt. Allgemeiner wird ein signiertes Maß σ-endlich genannt, wenn seine Variation σ-endlich ist.

Ist  \mu ein Maß und σ-endlich auf der σ-Algebra  \mathcal A , so nennt man den Maßraum  (X, \mathcal A, \mu ) auch einen σ-endlichen Maßraum.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der \sigma-endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, \sigma-Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodým und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht \sigma-endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle \sigma-endlichen Teilräume anwendet).
  • Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von \sigma-endlichen Maßen definiert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Inhalte und Prämaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Völlig analog spricht man auch auf Halbringen von \sigma-endlichen Inhalten und Prämaßen. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist jedes \sigma-endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten \sigma-Algebra fortsetzbar (ohne \sigma-Endlichkeit folgt nicht die Eindeutigkeit).

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein dem σ-endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für dass eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]