σ-Endlichkeit

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Der Begriff der -Endlichkeit (auch -Finitheit) wird in der mathematischen Maßtheorie verwendet und liefert eine Abstufung von (messbaren) Mengen von unendlichem Maß in -endliche und nicht -endliche Mengen. Er wird aus ähnlichen Gründen eingeführt wie der Begriff der Abzählbarkeit bezüglich der Anzahl von Elementen einer Menge. Allgemein ist die σ-Endlichkeit eine Eigenschaft von Mengenfunktionen in Verbindung mit einem Mengensystem. Oftmals wird aber auf die Angabe des Mengensystems verzichtet, wenn klar ist, um welches es sich handelt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Mengensystem auf der Grundmenge , also . Sei

eine positive Mengenfunktion. Dann heißt die Mengenfunktion σ-endlich, wenn es eine abzählbare Folge von Mengen aus gibt, so dass

gilt und

gilt. Allgemeiner wird ein signiertes Maß σ-endlich genannt, wenn seine Variation σ-endlich ist.

Ist ein Maß und σ-endlich auf der σ-Algebra , so nennt man den Maßraum auch einen σ-endlichen Maßraum.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Nicht endliche Maße können pathologische Eigenschaften aufweisen, jedoch sind viele der häufig betrachteten Maße nicht endlich. Die Klasse der -endlichen Maße teilt mit den endlichen Maßen einige angenehme Eigenschaften, -Endlichkeit kann in dieser Hinsicht mit der Separabilität von topologischen Räumen verglichen werden. Einige Sätze der Analysis, wie der Satz von Radon-Nikodým und der Satz von Fubini, gelten zum Beispiel nicht mehr für nicht -endliche Maße (mitunter ist jedoch eine Übertragung auf allgemeinere Fälle möglich, indem man den Satz für alle -endlichen Teilräume anwendet).
  • Das Birkhoff-Integral für Banachraum-wertige Funktionen wird mit Hilfe von -endlichen Maßen definiert.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Das Zählmaß auf der Potenzmenge einer Menge ist genau dann endlich, wenn endlich ist, und genau dann -endlich, wenn abzählbar ist.
  • Das Lebesgue-Maß auf den reellen Zahlen ist nicht endlich, aber -endlich. Denn betrachtet man die Intervalle für alle ganzen Zahlen , so hat jedes Intervall das Maß 1, und ist deren Vereinigung.
  • Ist eine lokalkompakte topologische Gruppe -kompakt, so ist ihr Haarmaß -endlich.

Inhalte und Prämaße[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Völlig analog spricht man auch auf Halbringen von -endlichen Inhalten und Prämaßen. Nach dem Maßerweiterungssatz von Carathéodory ist jedes -endliche Prämaß auf einem Halbring eindeutig zu einem Maß auf der erzeugten -Algebra fortsetzbar (ohne -Endlichkeit folgt nicht die Eindeutigkeit).

Verwandte Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein dem σ-endlichen Maß verwandter Begriff ist der eines moderaten Maßes. Hierbei handelt es sich um ein Borel-Maß, für dass eine abzählbare Überdeckung der Grundmenge mit offenen Mengen endlichen Maßes existiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]