Airy-Funktion

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Dieser Artikel beschreibt eine spezielle Funktion. Für die Formel, die die Transmission von elektromagnetischer Strahlung beschreibt siehe Airy-Formel.

Die Airy-Funktion bezeichnet eine spezielle Funktion in der Mathematik. Die Funktion und die verwandte Funktion , die ebenfalls Airy-Funktion genannt wird, sind Lösungen der linearen Differentialgleichung

auch bekannt als Airy-Gleichung. Sie beschreibt unter anderem die Lösung der Schrödinger-Gleichung für einen linearen Potentialtopf.

Die Airy-Funktion ist nach dem britischen Astronomen George Biddell Airy benannt, der diese Funktion in seinen Arbeiten in der Optik verwendete (Airy 1838). Die Bezeichnung wurde von Harold Jeffreys eingeführt.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Airy plot.svg

Für reelle Werte ist die Airy-Funktion als Parameterintegral definiert:

Eine zweite, linear unabhängige Lösung der Differentialgleichung ist die Airy-Funktion zweiter Art :

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Asymptotisches Verhalten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für gegen lassen sich und mit Hilfe der WKB-Näherung approximieren:

Für gegen gelten die Beziehungen:

Nullstellen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Airy-Funktionen haben nur Nullstellen auf der negativen reellen Achse.[1] Die ungefähre Lage folgt aus dem asymptotischen Verhalten für zu

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Airy-Funktionen und ihre Ableitungen haben für die folgenden Werte:

Hierbei bezeichnet Γ die Gammafunktion. Es folgt, dass die Wronski-Determinante von und gleich ist.

Fourier-Transformierte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Direkt aus der Definition der Airy-Funktion (siehe oben) folgt deren Fourier-Transformierte.

Man beachte die hier verwendete symmetrische Variante der Fourier-Transformation.

Weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine andere unendliche Integraldarstellung für Ai lautet
  • Es gibt die Reihendarstellungen[2]

Komplexe Argumente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ai() und Bi sind ganze Funktionen. Sie lassen sich also auf der gesamten komplexen Ebene analytisch fortsetzen.

AiryAi Real Surface.png AiryAi Imag Surface.png AiryAi Abs Surface.png AiryAi Arg Surface.png
AiryAi Real Contour.svg AiryAi Imag Contour.svg AiryAi Abs Contour.svg AiryAi Arg Contour.svg


AiryBi Real Surface.png AiryBi Imag Surface.png AiryBi Abs Surface.png AiryBi Arg Surface.png
AiryBi Real Contour.svg AiryBi Imag Contour.svg AiryBi Abs Contour.svg AiryBi Arg Contour.svg

Verwandte Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Airy-Zeta-Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu der Airy-Funktion lässt sich analog zu den anderen Zeta-Funktionen die Airysche Zeta-Funktion definieren als[3]

wobei die Summe über die reellen (negativen) Nullstellen von Ai geht.

Scorersche Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Manchmal werden auch die beiden weiteren Funktionen und zu den Airy-Funktionen dazugerechnet. Die Integral-Definitionen lauteten[4]

Sie lassen sich auch durch die Funktionen Ai und Bi darstellen.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Airy-Funktion – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Airy Function Zeros. In: MathWorld (englisch).
  2. C. Banderier, P. Flajolet, G. Schaeffer, M. Soria: Planar Maps and Airy Phenomena. In Automata, Languages and Programming. Proceedings of the 27th International Colloquium (ICALP 2000) held at the University of Geneva, Geneva, 9.-15. Juli 2000 (Ed. U. Montanari, J. D. P. Rolim, E. Welzl). Berlin: Springer, S. 388-402, 2000
  3. Eric W. Weisstein: Airy Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
  4. Milton Abramowitz und Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1954, Seite 447