Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die die Gaußsche hypergeometrische Funktion und letztlich die geometrische Reihe verallgemeinert. Sie wird zur Klasse der speziellen Funktionen gezählt.
Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion enthält viele wichtige Funktionen als Spezialfälle, allen voran die Exponentialfunktion und die trigonometrischen Funktionen. In der Tat gibt es eine große Zahl von Funktionen, die sich als eine hypergeometrische Funktion schreiben lassen.
Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion wird definiert durch
,
wobei
die Gammafunktion ist. Die Koeffizienten
und die Parameter
sind dabei so zu wählen, dass die Potenzreihen für ein geeignetes
konvergieren.
Weitere übliche Notation der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion lauten
und 
Durch die Wahl der Koeffizienten
und
werden schließlich spezielle hypergeometrische Funktionen konstruiert, etwa die Kummersche hypergeometrische Funktion (
) oder mit
und
die Gaußsche hypergeometrische Funktion.
Unter gewissen Bedingungen sind die Potenzreihen divergent und ermöglichen somit keine Darstellung einer allgemeinen hypergeometrischen Funktion. Insbesondere gibt es Bedingungen für
und
bei denen die Ausdrücke
bzw.
in der Potenzreihe Divergenzen erzeugen.
- Beispiel 1
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{1}F_{1}\left(2;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (k+2)}{\Gamma (2)}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)!}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(k+1)}{1}}{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}z^{k}\\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}z\qquad \;+\;3{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}z^{3}\ \;+\;5{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;+\;2{\frac {\Gamma (0)}{(-1)\Gamma (0)}}z\quad +\;3{\frac {\Gamma (0)}{(-1)0!}}z^{2}\;+\;4{\frac {\Gamma (0)}{(-1)1!}}z^{3}\;+\;5{\frac {\Gamma (0)}{(-1)2!}}z^{4}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\;-\;2z\;-\;\Gamma (0)\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k+2}{(k-1)!}}z^{k+1}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/203d60718aeb5809fbc1ce4c5bb6a0970163c900)
- Bei der Berechnung wurde die Funktionalgleichung der Gammafunktion
mit der Identität
verwendet.
- Beispiel 2
![{\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;-1;z\right)&\;=\;\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (k-1)}}{\frac {z^{k}}{k!}}\\&\;=\;1\qquad +\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\;+\;{\frac {\Gamma (-1)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\;+\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (0)}}{\frac {z}{1!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (2)}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{\Gamma (3)}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;{\frac {\Gamma (0)}{0!}}{\frac {z^{2}}{2!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{1!}}{\frac {z^{3}}{3!}}\quad -\;{\frac {\Gamma (0)}{2!}}{\frac {z^{4}}{4!}}\quad +\;\dotsm \\&\;=\;1\qquad \;-\;z\qquad \qquad -\;\Gamma (0)\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{(k-2)!}}{\frac {z^{k}}{k!}}\quad {\xrightarrow[{\lim _{x\to 0^{+}}\Gamma (x)\to \infty }]{\quad }}\quad -\infty \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7573197d91b7fbd67b1dfc426bb8a3327f4f9f5)
Außer bei den durch die Wahl der Parameter bedingten Divergenzen kann das Quotientenkriterium für Reihen angewandt werden:
- Wenn
ist, dann ist nach dem Quotientenkriterium das Verhältnis der Koeffizienten beschränkt und tendiert gegebenenfalls gegen 0. Dies impliziert, dass die Reihe für jedes endliche
konvergiert und somit eine ganze Funktion darstellt. Ein Beispiel hierfür ist die Reihe der Exponentialfunktion.
- Wenn
ist, so zeigt das Quotientenkriterium, dass das Verhältnis der Koeffizienten gegen 0 strebt. Dies impliziert, dass die Reihe für
konvergiert und für
divergiert. Um zu prüfen, ob die Reihe für große Werte von
konvergiert, wird eine analytische Betrachtung empfohlen. Die Frage nach der Konvergenz für
ist nicht einfach zu beantworten. Es kann in diesem Fall gezeigt werden, dass die Reihe für
absolut konvergiert, wenn:
.
- Falls
und
reell ist, lässt sich die folgende Konvergenzbedingung angeben[1]:
.
- Wenn
ist, liefert das Quotientenkriterium ein unbegrenzt wachsendes Verhältnis der Koeffizienten. Dies impliziert, dass die Reihe selbst im Falle von
divergiert. Unter diesen Voraussetzungen erhält man eine divergente oder asymptotische Reihe. Andererseits kann die Reihe als eine Kurzschreibweise für eine Differentialgleichung aufgefasst werden, die der Summengleichung genügt.
Aufgrund der Ordnung (des Grades) des Parameters
und des Parameters
kann die allgemeine hypergeometrische Funktion geändert werden, ohne den Wert der Funktion zu ändern. Wenn also
gleich einem der Parameter
ist, so kann die Funktion um diese beiden Parameter „gekürzt“ werden, mit gewissen Ausnahmen für Parameter mit nichtpositiven Werten. Zum Beispiel ist
.
Die nachfolgende Identität ermöglicht es, die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion höherer Ordnung als Integralausdruck der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion nächst niedriger Ordnung darzustellen.[2]
![{\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]\mathrm {d} t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d2b97ac362f07d6e3c8ddce360c5c066dcd7ea)
Die allgemeine hypergeometrische Funktion genügt dem Differentialgleichungssystem:
- (1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{i}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b840fb39eddf5ee2e667c5027489fb663e919fe6)
- (2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad \left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{j}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b90a28037602a3774da03e39dfb5760c9a2019d)
- (3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\qquad {\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&\;=\;{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\\\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fd7d36b3bc79e7c575f22cc958db48fa784c41a)
Die Zusammenfassung dieser drei Gleichungen ergibt eine Differentialgleichung mit
:
.
Anmerkungen:
- Differentialgleichung (1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&a_{i}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{i}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {\Gamma (k+a_{1})}{\Gamma (a_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{i-1})}{\Gamma (a_{i-1})}}\cdot {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (k+a_{i+1})}{\Gamma (a_{i+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (k+a_{p})}{\Gamma (a_{p})}}{\Big )}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j})}{\Gamma (k+b_{j})}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de4544ac10e52124dc31257c5d583b7709aeb8d9)
- Es ist zu beachten, dass im Falle
für die Differentialgleichung (1) die rechte Seite der Gleichung nicht existiert, da die Parameter
nicht existierten und ebenso auf der linken Seite die Parameter
verschwinden und daher lediglich die Ableitung
multipliziert mit
berechnet werden kann.
- Differentialgleichung (2)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(b_{j}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{j}+1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {\Gamma (k+a_{i})}{\Gamma (a_{i})}}{\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1})}{\Gamma (k+b_{1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j-1})}{\Gamma (k+b_{j-1})}}\cdot {\tfrac {(b_{j}-1)\cdot \Gamma (b_{j}+1)}{\Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdot {\tfrac {\Gamma (b_{j+1})}{\Gamma (k+b_{j+1})}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q})}{\Gamma (k+b_{q})}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71ec2526ea15989ddd70c0c871873e58c18245db)
- Auch hier gilt es festzustellen, dass für
die Differentialgleichung (2) auf die Gestalt
reduziert wird, da die Parameter
nicht existieren.
- Differentialgleichung (3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\;{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\;\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{i=1}^{p}{\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\prod _{j=1}^{q}{\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\\&\qquad =\sum _{k=0}^{\infty }{\Big (}{\tfrac {a_{1}\cdot \Gamma (k+a_{1}+1)}{\Gamma (a_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{i}\cdot \Gamma (k+a_{i}+1)}{\Gamma (a_{i}+1)}}\cdots {\tfrac {a_{p}\cdot \Gamma (k+a_{p}+1)}{\Gamma (a_{p}+1)}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\tfrac {\Gamma (b_{1}+1)}{b_{1}\cdot \Gamma (k+b_{1}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{j}+1)}{b_{j}\cdot \Gamma (k+b_{j}+1)}}\cdots {\tfrac {\Gamma (b_{q}+1)}{b_{q}\cdot \Gamma (k+b_{q}+1)}}{\Big )}{\tfrac {z^{k}}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb39da504d953ebca2ff59a675ee74c04a1a7353)
- Hierbei ist der Quotient der Produkte
für die Parameter
so aufzufassen, dass

- und

- Für den Fall, dass
, ergibt sich auf Grund der vorausgegangenen Festlegung
und die Differentialgleichung (3) nimmt folgende Gestalt an

Wie eingangs angedeutet, entspricht
der Exponentialfunktion. Die Funktion erfüllt die Differentialgleichung:

- Beweis

Die Funktion vom Typ
ist die sog. konfluente hypergeometrische Grenzfunktion. Die Reihe genügt der Differentialgleichung:

Sie steht eng in Zusammenhang mit den Besselfunktionen:
wobei
die Besselfunktion ist
mit
als modifizierte Besselfunktion
Abgeleitete Funktionen der Reihe sind beispielsweise:

oder
.
- Beispiel
Betrachtet werden soll die Kosinusfunktion:
Hier nutzten wir, dass
ist und somit
usw.
Wie man sieht, kürzen sich die Terme
überall heraus; die verbleibenden Brüche kann man leicht zusammenfassen zu
Ebenfalls direkt als elementare Funktion erfüllt
die Differentialgleichung:

- Beweis

Hierbei wurde der Binomialkoeffizient in der Analysis mit der Identität
benutzt. Das Resultat stellt die binomische Reihe dar.
Die Funktion
heißt Kummersche Funktion (nach Ernst Eduard Kummer). Sie wird vielfach auch als konfluente hypergeometrische Reihe bezeichnet und genügt der Kummerschen Differentialgleichung:

Abgeleitete Funktionen sind beispielsweise:
wobei
die unvollständige Gammafunktion ist
oder

Die Kummersche Funktion lässt sich auch als verallgemeinerte Laguerre-Polynome darstellen:
[3]
Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Integralexponentialfunktion
auf.
Historisch am bedeutendsten ist die hypergeometrische Funktion
. Sie wird auch als Gaußsche hypergeometrische Funktion, gewöhnliche hypergeometrische Funktion, oder oft einfach nur als hypergeometrische Funktion bezeichnet. Zur Unterscheidung wird für
die Bezeichnung verallgemeinerte hypergeometrische Funktion verwendet, da sonst leicht Verwechslungsgefahr besteht. Die Funktion wurde als erstes vollständig von Carl Friedrich Gauß untersucht, insbesondere zur Konvergenz.
Sie erfüllt die Differentialgleichung
,
welche als Hypergeometrische Differentialgleichung bezeichnet wird.
Die Funktion taucht in Zusammenhang mit dem Mottpolynom auf.
Die Funktion taucht in Zusammenhang mit der Besselfunktion auf.
Die verallgemeinerte hypergeometrische Funktion kann noch weiter verallgemeinert werden, indem man Vorfaktoren vor dem
einführt und so die Komplexität der Funktion weiter erhöht. Allein um das Vorzeichen von
zu modifizieren wären zwei weitere Indizes nötig:

Sind diese Vorfaktoren nicht notwendig ganzzahlig, so erhält man als Verallgemeinerung die Fox–Wright Funktionen.
Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist eine Verallgemeinerung der verallgemeinerten hypergeometrischen Funktion auf ein Matrix-Argument. In der Literatur verzichtet man häufig auf den Wortzusatz verallgemeinert im Namen der Funktion, wegen der Länge des Namens. Sie ist definiert als unendliche Summe von Jack-Polynomen zum Parameter
. Die Funktion mit Parameter
tritt häufig in der multivariaten Statistik und in der Theorie der Zufallsmatrizen auf, dann hat man eine Summe von zonalen Polynome, das sind Jack-Polynome mit C-Normalisierung.
Sei
eine Partition und
eine komplexe symmetrische Matrix. Die hypergeometrische Funktion mit Matrix-Argument ist definiert als

wobei
das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol ist,
das Jack-Polynom zum Parameter
und die innere Summe über alle Partitionen von
läuft.[4]
- ↑ J. Quigley, K.J. Wilson, L. Walls, T. Bedford: A Bayes linear Bayes Method for Estimation of Correlated Event Rates In: Risk Analysis 2013. doi:10.1111/risa.12035.
- ↑ Lucy Joan Slater: "Generalized Hypergeometric Functions" In: "Cambridge University Press." 1966 ISBN 0-521-06483-X (2008 ist ein Reprint als Taschenbuch erschienen: ISBN 978-0-521-09061-2)
- ↑ Kummer confluent hypergeometric function 1F1: Representations through equivalent functions (formula 07.20.27.0001). Abgerufen am 18. Februar 2023.
- ↑ Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5, S. 34 (englisch).