Algebra (Mengensystem)

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In der Mathematik ist (Mengen-)Algebra ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er beschreibt ein nicht-leeres Mengensystem, das vereinigungs- und komplementstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer entfernten Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Körpers in der Zahlentheorie eine Mengenalgebra „Körper“, in Analogie zu seiner Bezeichnung „Ring“ für einen Mengenverband.[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie jedoch einen speziellen Mengenverband, außerdem unterscheidet sich dieser Begriff des Körpers wesentlich von dem eines Körpers im Sinne der Algebra. Manchmal findet man aber noch die Bezeichnung als Mengenkörper.

Auch das Teilgebiet der Mathematik, das vom Rechnen mit Mengen handelt, wird als Mengenalgebra bezeichnet. Ähnlich doppeldeutig ist auch der Begriff Algebra, der für ein Teilgebiet der Mathematik und auch für eine spezielle algebraische Struktur benutzt wird. Der hier verwendete Begriff der Mengenalgebra steht aber in einem engen Zusammenhang mit dem der booleschen Algebra, also einer anderen speziellen algebraischen Struktur.

Definition[Bearbeiten]

Sei \Omega eine beliebige Menge. Ein System \mathcal A von Teilmengen von \Omega heißt eine Mengenalgebra oder Algebra über \Omega, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. \mathcal A \neq \emptyset   (\mathcal A ist nicht leer).
  2. A, B\in \mathcal A \Rightarrow A \cup B \in \mathcal A   (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Vereinigung).
  3. A\in \mathcal A \Rightarrow A^{\mathrm c} \in \mathcal A   (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Komplementbildung A^{\mathrm c} = \Omega \setminus A).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Für jede beliebige Menge \Omega ist \{\emptyset, \Omega\} die kleinste und die Potenzmenge \mathcal P(\Omega) die größte mögliche Mengenalgebra.
  • Jede σ-Algebra ist eine Mengenalgebra (aber nicht jede Mengenalgebra ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist umgekehrt \mathcal A \subseteq \mathcal P(\Omega) ein Mengensystem, so dass (\mathcal A, \cup, \emptyset, \cap, \Omega, {}^{\mathrm c}) eine boolesche Algebra ist, dann ist \mathcal A offensichtlich auch eine Mengenalgebra.
  • Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder endliche Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra \mathcal A in ihr enthalten ist, d. h. für alle n \in \mathbb N gilt:
A_1, \dots, A_n \in \mathcal A \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal A und A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal A,
\bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal A und \bigcap\emptyset = \Omega \in \mathcal A.
  • Die Spur einer Algebra ist wieder eine Algebra.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

Wenn \mathcal A ein System von Teilmengen von \Omega ist und wenn A,B Mengen sind, dann sind wegen A \cap B = A \setminus (A \setminus B) und A \setminus B = A \setminus (A \cap B) folgende zwei Aussagen äquivalent:

  • A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal A.
  • A,B \in \mathcal A \Rightarrow A \cap B \in \mathcal A und falls B \subseteq A auch A \setminus B \in \mathcal A.

Bezeichnet darüber hinaus A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A) die symmetrische Differenz von A und B, so sind wegen A \setminus B = A \cap B^{\mathrm c} und A \setminus B = A \triangle (A \cap B) sowie A \cup B = (A^{\mathrm c} \cap B^{\mathrm c})^{\mathrm c} äquivalent:

Operationen mit Algebren[Bearbeiten]

Produkte[Bearbeiten]

Sind  \mathcal{A} \subset \mathcal{P} ( \Omega_1 )  und  \mathcal{B} \subset \mathcal{P} ( \Omega_2 ) Mengenalgebren auf  \Omega_1, \Omega_2 , so ist das Mengensystem

 \mathcal{C}=\mathcal{A} \boxtimes \mathcal{B}:=\Biggl\{ \bigcup_{i=1}^nA_i \times B_i \, | \, A_i \in \mathcal A , B_i \in \mathcal B \Biggl\}

wieder eine Algebra. Diese ist auf der Grundmenge  \Omega_1 \times \Omega_2 definiert und wird auch dazu verwendet, die Produkt-σ-Algebra zu definieren.

Schnitte[Bearbeiten]

Ist  I eine beliebige Indexmenge und sind  \mathcal{A}_i Algebren, die alle auf derselben Grundmenge  \Omega definiert sind, so ist der Schnitt aller dieser Algebren wieder eine Algebra  \mathcal{A}_I :

 A_I:=\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i .

Ist nun  \mathcal{E} ein beliebiges Mengensystem, so lässt sich nun die von  \mathcal{E} erzeugte Algebra  \mathcal{A}_\mathcal{E} definieren als

 \mathcal{A}_\mathcal{E}:= \bigcap_{\scriptstyle\mathcal{E} \subseteq \mathcal{A}_i\atop\scriptstyle \mathcal{A}_i\text{ Algebra}}\mathcal{A}_i.

Sie ist per Definition die kleinste Algebra, die  \mathcal{E} enthält.

Beziehung zu verwandten Strukturen[Bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme
  • Die Mengenalgebren sind genau die Mengenringe, die die Grundmenge \Omega enthalten. Fasst man Mengenringe als Ring im Sinne der Algebra mit der symmetrischen Differenz als Addition und dem Durchschnitt als Multiplikation auf, so sind die Mengenalgebren gerade die unitären Ringe (d. h. mit Eins-Element) dieser Gestalt.
  • Da Mengenalgebren Ringe sind, sind sie automatisch auch Mengenverbände und Halbringe
  • Wenn eine Mengenalgebra sogar bezüglich der Vereinigung abzählbar unendlich vieler ihrer Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man eine σ-(Mengen-)Algebra.
  • Die von einer Algebra erzeugte monotone Klasse entspricht der von der Algebra erzeugten  \sigma -Algebra

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-15307-1, S. 12.