Ring (Mengensystem)

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In der Mathematik ist ein (Mengen-)Ring ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und differenzstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie üblicherweise lediglich die hier definierten Mengensysteme.

Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich außerdem von dem eines Rings im Sinne der Algebra, beide stehen aber in einem Zusammenhang.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge. Ein System von Teilmengen von heißt ein Mengenring oder Ring über , wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. ( ist nicht leer).
  2. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich endlicher Vereinigung).
  3. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Über jeder beliebigen Menge ist der kleinste und die Potenzmenge der größte mögliche Mengenring.
  • Jede Mengenalgebra, also insbesondere jede σ-Algebra, ist ein Mengenring (aber nicht jeder Mengenring ist eine Mengenalgebra).
  • Ist eine beliebige Menge, so ist das System aller endlichen Teilmengen ein Ring. Ist eine unendliche Menge, dann ist dieses System jedoch keine Algebra.
  • Betrachtet man ein System, das nur aus Mengen besteht, die sich als endliche Vereinigungen von halboffenen Intervallen in , also aus Mengen der Form mit , darstellen lassen, dann handelt es sich bei diesem Mengensystem um einen Ring.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Jeder Mengenring enthält die leere Menge , denn enthält mindestens ein Element und damit ist
  • Das Tripel mit dem Mengenring ist ein Ring im Sinne der Algebra, wobei und für alle (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich symmetrischer Differenz und Durchschnitt). Die leere Menge entspricht dem Nullelement und dem Einselement. Ein Mengenring muss ein Nullelement enthalten, muss aber nicht ein Einselement enthalten.
Ist umgekehrt ein Mengensystem, so dass ein Ring im Sinne der Algebra ist, dann ist wegen und für alle auch immer ein Mengenring.
Damit sich jeder Mengenring als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, darf nicht leer sein, denn die leere Menge kann kein Nullelement enthalten und daher keine Trägermenge eines Ringes im Sinne der Algebra sein.
  • Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenringes in ihm enthalten ist, d. h. für alle gilt:
und sowie
  • Die Spur eines Ringes ist wieder ein Ring.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein System von Teilmengen von ist und wenn Mengen sind, dann sind wegen und folgende zwei Aussagen äquivalent:

  • und falls auch

Ist außerdem , so sind wegen und sowie für jede Menge mit ebenso äquivalent:

  • ist ein Mengenring.
  • ist ein Mengenverband und es gilt:
  • ist ein Mengenhalbring und es gilt:
  • und
  • ist eine abelsche Gruppe und ist eine Halbgruppe.
  • ist ein Ring im Sinne der Algebra mit Addition und Multiplikation .
  • ist ein idempotenter (kommutativer) Ring im Sinne der Algebra.
  • und
  • und falls existiert ein mit
  • und es existiert ein mit

Operationen mit Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Produkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Mengenringe auf , so ist das Mengensystem

wieder ein Ring. Dieser ist auf der Grundmenge definiert und genau das Tensorprodukt der beiden Ringe.

Schnitte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine beliebige Indexmenge und sind Ringe, die alle auf derselben Grundmenge definiert sind, so ist der Schnitt aller dieser Ringe wieder ein Ring :

.

Ist nun ein beliebiges Mengensystem, so lässt sich nun der von erzeugte Ring definieren als

.

Er ist per Definition der kleinste Ring, der enthält.

Der von einem Halbring erzeugte Ring hat die Form

.

Verwandte Strukturen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme
  • Ein Mengenring über , der enthält, ist eine Mengenalgebra über und umgekehrt.
  • Ein Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Umgekehrt ist jeder σ-Ring eine monotone Klasse.
  • Die von einem Ring erzeugte monotone Klasse entspricht dem von diesem Ring erzeugten σ-Ring
  • Jeder Ring ist ein Mengenverband. Umgekehrt ist jeder differenzstabile Mengenverband ein Ring.
  • Jeder Ring ist ein Halbring.
  • Jeder Ring, der abgeschlossen bezüglich abzählbare vielen Schnitten ist, ist ein δ-Ring.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. S. 12.