Ring (Mengensystem)

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Ein Mengenring, auch einfach kurz Ring oder seltener Boole'scher Ring genannt,[1] ist in der Maßtheorie ein spezielles Mengensystem und somit eine Menge von Mengen. Ringe und ihre Erweiterungen zu komplexeren Mengensystemen wie σ-Algebren spielen eine wichtige Rolle in dem axiomatischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie und der Integrationstheorie.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.[2] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie üblicherweise lediglich die hier definierten Mengensysteme.

Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich außerdem von dem eines Rings im Sinne der Algebra, beide stehen aber in einem Zusammenhang.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge. Ein Mengensystem auf , also eine Menge von Teilmengen von heißt ein Mengenring oder Ring über , wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. : Der Ring enthält die leere Menge.
  2. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich endlicher Vereinigung).
  3. (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Äquivalent dazu ist, dass ein Ring im Sinne der Algebra mit Addition und Multiplikation ist. Hierbei bezeichnet die symmetrische Differenz.

Weitere äquivalente Definitionen befinden sich im entsprechenden unten stehenden Abschnitt.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Über jeder beliebigen Menge ist der kleinste mögliche Ring, denn er enthält die leere Menge, die Vereinigung der leeren Menge mit sich selbst ergibt wieder die leere Menge und die Differenz der leeren Menge und der leeren Menge ist ebenfalls die leere Menge.

Die Potenzmenge ist der größte mögliche Mengenring, denn die Potenzmenge ist stabil bezüglich allen Mengenoperationen, da sie per Definition alle Teilmengen der Obermenge enthält.

Ist eine beliebige Menge, so ist das System aller endlichen Teilmengen, also

ein Ring. dabei bezeichnet die Mächtigkeit der Menge (Es gilt und die leere Menge ist in jeder Menge enthalten). Dass ein Ring ist, folgt aus der Tatsache, dass Vereinigungen und Differenzen endlicher Mengen wieder endlich sind.

Ein in der Anwendung wichtiger Ring auf ist

Er besteht aus Mengen, die sich als endliche Vereinigungen von halboffenen Intervallen in darstellen lassen und ist somit genau der von dem Halbring erzeugte Ring.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Stabilität bezüglich Mengenoperationen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Mengenring ist abgeschlossen bezüglich der Bildung der symmetrischen Differenz , denn es ist

.

Daher ist ein Ring wegen

auch abgeschlossen bezüglich Durchschnittbildung.

Daraus folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenringes in ihm enthalten ist, d. h. für alle gilt:

  • Sind , so ist auch
  • Sind , so ist auch

Beziehung zu Ringen im Sinne der Algebra[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Tripel mit dem Mengenring ist ein Ring im Sinne der Algebra, wobei und für alle (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich symmetrischer Differenz und Durchschnitt). Die leere Menge entspricht dem Nullelement und dem Einselement. Ein Mengenring muss ein Nullelement enthalten, muss aber nicht ein Einselement enthalten. Ist umgekehrt ein Mengensystem, so dass ein Ring im Sinne der Algebra ist, dann ist wegen und für alle auch immer ein Mengenring. Damit sich jeder Mengenring als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, darf nicht leer sein, denn die leere Menge kann kein Nullelement enthalten und daher keine Trägermenge eines Ringes im Sinne der Algebra sein.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn ein System von Teilmengen von ist und wenn Mengen sind, dann sind wegen und folgende zwei Aussagen äquivalent:

  • und falls auch

Ist außerdem , so sind wegen und sowie für jede Menge mit ebenso äquivalent:

  • ist ein Mengenring.
  • ist ein Mengenverband und es gilt:
  • ist ein Mengenhalbring und es gilt:
  • und
  • ist eine abelsche Gruppe und ist eine Halbgruppe.
  • ist ein Ring im Sinne der Algebra mit Addition und Multiplikation .
  • ist ein idempotenter (kommutativer) Ring im Sinne der Algebra.
  • und
  • und falls existiert ein mit
  • und es existiert ein mit

Operationen mit Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnitte von Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnitte von zwei Ringen und , also das Mengensystem

,

sind stets wieder Ringe. Denn sind exemplarisch , so ist

  • in , da auch in sind.
  • in , da auch in sind.

Somit ist auch in , der Schnitt ist also stabil bezüglich Vereinigung von Mengen. Die Stabilität bezüglich der Differenzbildung folgt analog.

Die Aussage gilt ebenso für den Schnitt einer beliebigen Anzahl von Ringen, da sich die obige Argumentation dann auf alle dieser Ringe ausweiten lässt. Somit gilt: ist eine beliebige Indexmenge und sind Ringe, die alle auf derselben Grundmenge definiert sind, so ist der Schnitt aller dieser Ringe wieder ein Ring :

.

Vereinigung von Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Vereinigung zweier Ringe und , also das Mengensystem

ist im Allgemeinen kein Ring mehr. Betrachtet man beispielsweise die beiden Ringe

sowie

,

so ist

.

Dieses Mengensystem ist aber weder vereinigungsstabil, da es nicht enthält, noch ist es differenzstabil, da es nicht enthält, und somit auch kein Ring.

Produkte von Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und Mengensysteme auf und und wird das Produkt von und definiert als

,

so ist das Produkt von zwei Ringen im Allgemeinen kein Ring mehr, sondern lediglich ein Halbring. Betrachtet man als Gegenbeispiel den Ring

,

so enthält das Mengensystem sowohl die Mengen

als auch .

Die Menge

ist jedoch nicht in enthalten, da sie sich nicht als kartesisches Produkt zweier Mengen aus darstellen lässt. Somit ist das Produkt nicht stabil bezüglich Differenzenbildung und damit auch kein Ring.

Definiert man das Produkt von Mengensystemen als

,

so ist das Produkt zweier Mengenringe und wieder ein Ring, der dann auf der Grundmenge definiert ist.

Er ist genau das Tensorprodukt der beiden Ringe, ebenso ist er der von erzeugte Ring.

Spur eines Rings[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Spur eines Rings bezüglich einer Menge , also das Mengensystem

ist immer ein Ring, unabhängig von der Wahl von .

Der erzeugte Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da beliebige Schnitte von Ringen wieder Ringe sind lässt sich der Hüllenoperator

definieren. Er ist per Definition der kleinste Ring, der das Mengensystem enthält und wird der von erzeugte Ring genannt.

Teilweise kann der erzeugte Ring direkt angegeben werden. So ist der von einem Halbring erzeugte Ring von der Form

,

ein explizites Beispiel dieser Form ist der Ring im Abschnitt Beispiele.

Ebenso gilt für die oben besprochenen Produkte von Ringen

.

Verwandte Mengensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme

Aufbauende Begriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Ring, der abgeschlossen bezüglich abzählbare vielen Schnitten ist, wird ein δ-Ring genannt.
  • Ein Ring, der abgeschlossen bezüglich abzählbare vielen Vereinigungen ist, wird ein σ-Ring genannt.
  • Ein Ring über , der die Grundmenge enthält, wird eine Mengenalgebra über genannt. Somit ist jede Mengenalgebra ein Ring, aber nicht jeder Ring eine Mengenalgebra.

Mengenverbände[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Ring ist ein Mengenverband. Umgekehrt ist jeder differenzstabile Mengenverband ein Ring.

Halbringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Mengenring ist ein Mengenhalbring, jedoch ist nicht jeder Mengenhalbring ein Mengenring: Über der Grundmenge ist das Mengensystem ein Halbring, aber kein Mengenring, da es nicht Differenzstabil ist.

Monotone Klassen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Jeder Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring (und damit auch ein δ-Ring). Denn sind die Mengen im Ring enthalten, so ist auch

aufgrund der Eigenschaften des Ringes wieder im Mengensystem enthalten. Die Mengen bilden aber eine monoton wachsende Mengenfolge, daher ist ihr Grenzwert

aufgrund der Eigenschaften der monotonen Klasse auch im Mengensystem enthalten. Das Mengensystem ist also abgeschlossen bezüglich abzählbaren Vereinigungen. Somit ist die von einem Ring erzeugte monotone Klasse immer ein σ-Ring.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 74, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
  2. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. S. 12.