Ring (Mengensystem)

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In der Mathematik ist ein (Mengen-)Ring ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und differenzstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie üblicherweise lediglich die hier definierten Mengensysteme.

Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich außerdem von dem eines Rings im Sinne der Algebra, beide stehen aber in einem Zusammenhang.

Definition[Bearbeiten]

Sei \Omega eine beliebige Menge. Ein System \mathcal R von Teilmengen von \Omega heißt ein Mengenring oder Ring über \Omega, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. \mathcal R \neq \emptyset (\mathcal R ist nicht leer).
  2. A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cup B \in \mathcal R (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich endlicher Vereinigung).
  3. A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Über jeder beliebigen Menge \Omega ist \{\emptyset\} der kleinste und die Potenzmenge \mathcal P(\Omega) der größte mögliche Mengenring.
  • Jede σ-Algebra ist ein Mengenring (aber nicht jeder Mengenring ist eine σ-Algebra).

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist umgekehrt \mathcal R \subseteq \mathcal P(\Omega) ein Mengensystem, so dass (\mathcal R,\triangle,\cap) ein Ring im Sinne der Algebra ist, dann ist \mathcal R wegen A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B) \in \mathcal R und A \setminus B = A \triangle (A \cap B) \in \mathcal R für alle A,B \in \mathcal R auch immer ein Mengenring.
Damit sich jeder Mengenring \mathcal R als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, darf \mathcal R nicht leer sein, denn die leere Menge \emptyset kann kein Nullelement enthalten und daher keine Trägermenge eines Ringes im Sinne der Algebra sein.
  • Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenringes \mathcal R in ihm enthalten ist, d. h. für alle n \in \mathbb N gilt:
A_1, \dots, A_n \in \mathcal R \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal R und A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal R, sowie \bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal R.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

Wenn \mathcal R ein System von Teilmengen von \Omega ist und wenn A,B Mengen sind, dann sind wegen A \cap B = A \setminus (A \setminus B) und A \setminus B = A \setminus (A \cap B) folgende zwei Aussagen äquivalent:

  • A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R.
  • A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R und falls B \subseteq A auch A \setminus B \in \mathcal R.

Ist außerdem \mathcal R \neq \emptyset, so sind wegen A \setminus B = (A \cup B) \triangle B und A \cup B = (A \setminus B) \cup B sowie A \cup B = C \setminus ((C \setminus A) \cap (C \setminus B)) für jede Menge C mit A \cup B \subseteq C ebenso äquivalent:

Verwandte Strukturen[Bearbeiten]

  • Ein Mengenring über \Omega, der \Omega enthält, ist eine Mengenalgebra über \Omega und umgekehrt.
  • Wenn ein Mengenring sogar bezüglich der Vereinigung abzählbar unendlich vieler seiner Elemente abgeschlossen ist, dann erhält man einen σ-(Mengen-)Ring. Ein σ-Ring über \Omega, der \Omega enthält, ist eine σ-(Mengen-)Algebra über \Omega und umgekehrt.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. S. 12.

Literatur[Bearbeiten]

  • Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. 2. überarb. Aufl.. W. de Gruyter, Berlin–New York 1992. ISBN 3-11-013626-0
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. ISBN 3-540-15307-1
  • Ernst Henze: Einführung in die Maßtheorie. 2. überarb. Aufl.. Bibliographisches Institut, Zürich 1985. ISBN 3-411-03102-6
  • Guido Walz (Red.): Lexikon der Mathematik. Band 3. Inp bis Mon. Spektrum Akad. Verl., Heidelberg 2001. ISBN 3-8274-0435-5 (teilweise sehr fehlerhaft)