Ring (Mengensystem)

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In der Mathematik ist ein (Mengen-)Ring ein Grundbegriff der Maßtheorie. Er bezeichnet ein nicht leeres Mengensystem, das vereinigungs- und differenzstabil ist.

Felix Hausdorff nannte aufgrund einer Ähnlichkeit zur algebraischen Struktur eines Ringes in der algebraischen Zahlentheorie einen Mengenverband „Ring“.[1] Unter einem Ring versteht man heute in der Maßtheorie üblicherweise lediglich die hier definierten Mengensysteme.

Der hier verwendete Begriff des Ringes unterscheidet sich außerdem von dem eines Rings im Sinne der Algebra, beide stehen aber in einem Zusammenhang.

Definition[Bearbeiten]

Sei \Omega eine beliebige Menge. Ein System \mathcal R von Teilmengen von \Omega heißt ein Mengenring oder Ring über \Omega, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

  1. \mathcal R \neq \emptyset (\mathcal R ist nicht leer).
  2. A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \cup B \in \mathcal R (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich endlicher Vereinigung).
  3. A, B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R (Stabilität/Abgeschlossenheit bezüglich Differenz).

Beispiele[Bearbeiten]

  • Über jeder beliebigen Menge \Omega ist \{\emptyset\} der kleinste und die Potenzmenge \mathcal P(\Omega) der größte mögliche Mengenring.
  • Jede Mengenalgebra, also insbesondere jede σ-Algebra, ist ein Mengenring (aber nicht jeder Mengenring ist eine Mengenalgebra).
  • Ist  \Omega eine beliebige Menge, so ist das System aller endlichen Teilmengen ein Ring. Ist \Omega eine unendliche Menge, dann ist dieses System jedoch keine Algebra.
  • Betrachtet man ein System, das nur aus Mengen besteht, die sich als endliche Vereinigungen von halboffenen Intervallen in  \mathbb{R} , also aus Mengen der Form  E=\bigcup_{i=1}^n[a_i,b_i) mit  a_i<b_i , darstellen lassen, dann handelt es sich bei diesem Mengensystem um einen Ring.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Ist umgekehrt \mathcal R \subseteq \mathcal P(\Omega) ein Mengensystem, so dass (\mathcal R,\triangle,\cap) ein Ring im Sinne der Algebra ist, dann ist \mathcal R wegen A \cup B = (A \triangle B) \triangle (A \cap B) \in \mathcal R und A \setminus B = A \triangle (A \cap B) \in \mathcal R für alle A,B \in \mathcal R auch immer ein Mengenring.
Damit sich jeder Mengenring \mathcal R als Ring im Sinne der Algebra darstellen lässt, darf \mathcal R nicht leer sein, denn die leere Menge \emptyset kann kein Nullelement enthalten und daher keine Trägermenge eines Ringes im Sinne der Algebra sein.
  • Aus der Vereinigungs- sowie Durchschnittsstabilität folgt jeweils induktiv, dass auch jede endliche Vereinigung und jeder nicht leere, endliche Durchschnitt von Elementen des Mengenringes \mathcal R in ihm enthalten ist, d. h. für alle n \in \mathbb N gilt:
A_1, \dots, A_n \in \mathcal R \Rightarrow A_1\cup \dots\cup A_n \in \mathcal R und A_1\cap \dots\cap A_n \in \mathcal R, sowie \bigcup\emptyset = \emptyset \in \mathcal R.
  • Die Spur eines Ringes ist wieder ein Ring.

Äquivalente Definitionen[Bearbeiten]

Wenn \mathcal R ein System von Teilmengen von \Omega ist und wenn A,B Mengen sind, dann sind wegen A \cap B = A \setminus (A \setminus B) und A \setminus B = A \setminus (A \cap B) folgende zwei Aussagen äquivalent:

  • A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \setminus B \in \mathcal R.
  • A,B \in \mathcal R \Rightarrow A \cap B \in \mathcal R und falls B \subseteq A auch A \setminus B \in \mathcal R.

Ist außerdem \mathcal R \neq \emptyset, so sind wegen A \setminus B = (A \cup B) \triangle B und A \cup B = (A \setminus B) \cup B sowie A \cup B = C \setminus ((C \setminus A) \cap (C \setminus B)) für jede Menge C mit A \cup B \subseteq C ebenso äquivalent:

Operationen mit Ringen[Bearbeiten]

Produkte[Bearbeiten]

Sind  \mathcal{A} \subset \mathcal{P} ( \Omega_1 )  und  \mathcal{B} \subset \mathcal{P} ( \Omega_2 ) Mengenringe auf  \Omega_1, \Omega_2 , so ist das Mengensystem

 \mathcal{C}:=\Biggl\{ \bigcup_{i=1}^nA_i \times B_i \, | \, A_i \in \mathcal A , B_i \in \mathcal B \Biggl\}

wieder ein Ring. Dieser ist auf der Grundmenge  \Omega_1 \times \Omega_2 definiert und genau das Tensorprodukt der beiden Ringe.

Schnitte[Bearbeiten]

Ist  I eine beliebige Indexmenge und sind  \mathcal{R}_i Ringe, die alle auf derselben Grundmenge  \Omega definiert sind, so ist der Schnitt aller dieser Ringe wieder ein Ring  \mathcal{R}_I :

 R_I:=\bigcap_{i\in I}\mathcal{R}_i .

Ist nun  \mathcal{E} ein beliebiges Mengensystem, so lässt sich nun der von  \mathcal{E} erzeugte Ring  \mathcal{R}_\mathcal{E} definieren als

 \mathcal{R}_\mathcal{E}:= \bigcap_{\scriptstyle\mathcal{E} \subseteq \mathcal{R}_i\atop\scriptstyle \mathcal{R}_i\text{ Ring}}\mathcal{R}_i.

Er ist per Definition der kleineste Ring, der  \mathcal{E} enthält.

Der von einem Halbring  \mathcal{H} erzeugte Ring hat die Form

\mathcal{R}:=\left\{\left.\bigcup_{j=1}^n A_j \,\right|\, A_1,\dotsc,A_n \in \mathcal{H}, A_j\, \text{ paarweise disjunkt }\right\}.

Verwandte Strukturen[Bearbeiten]

Hierarchie der in der Maßtheorie verwendeten Mengensysteme
  • Ein Mengenring über \Omega, der \Omega enthält, ist eine Mengenalgebra über \Omega und umgekehrt.
  • Ein Ring, der eine monotone Klasse ist, ist ein σ-Ring. Umgekehrt ist jeder σ-Ring eine monotone Klasse.
  • Die von einem Ring erzeugte monotone Klasse entspricht dem von diesem Ring erzeugten σ-Ring
  • Jeder Ring ist ein Mengenverband. Umgekehrt ist jeder differenzstabile Mengenverband ein Ring.
  • Jeder Ring ist ein Halbring.

Siehe auch[Bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. Springer, Berlin–Heidelberg 1996. S. 12.