Benutzer:Total-Dicht

$\bullet \;$ konstante Funktion:	$\left(a\right)'=0$
$\bullet \;$ Faktorregel:	$(a\cdot f)'=a\cdot f'$
$\bullet \;$ Summenregel:	$\left(g\pm h\right)'=g'\pm h'$
$\bullet \;$ Produktregel:	$(g\cdot h)'=g'\cdot h+g\cdot h'$
$\bullet \;$ Quotientenregel:	$\left({\frac {g}{h}}\right)'={\frac {g'\cdot h-g\cdot h'}{h^{2}}}$
$\bullet \;$ Potenzregel:	$\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
$\bullet \;$ Kettenregel:	$(g\circ h)'(x)=(g(h(x)))'=g'(h(x))\cdot h'(x)$
$\bullet \;$ Umkehrregel:	Ist $f$ eine an der Stelle $x_{0}$ differenzierbare, bijektive Funktion mit $f'(x_{0})\neq 0$, und ihre Umkehrfunktion $f^{-1}$ bei $f(x_{0})$ differenzierbar, dann gilt: $(f^{-1})'(f(x_{0}))={\frac {1}{f'(x_{0})}}.$ (Spiegelt man einen Punkt $P$ des Graphen von $f$ an der 1. Mediane und erhält damit $P^{*}$ auf $f^{-1}$, so ist die Steigung von $f^{-1}$ in $P^{*}$ der Kehrwert der Steigung von $f$ in $P$)
$\bullet \;$ Logarithmische Ableitung:	Aus der Kettenregel folgt für die Ableitung des natürlichen Logarithmus einer Funktion $f$: $(\ln(f))'={\frac {f'}{f}}$ Ein Bruch der Form $f\,'/f$ wird logarithmische Ableitung genannt.
$\bullet \;$ Ableitung der Potenzfunktion:	Um ${\mathsf {}}f(x)=g(x)^{h(x)}$ abzuleiten, erinnert man sich, dass Potenzen mit reellen Exponenten auf dem Umweg über die Exponentialfunktion definiert sind: ${\mathsf {}}f(x)=\exp(h(x)\cdot \ln(g(x)))$. Anwendung der Kettenregel und – für die innere Ableitung – der Produktregel ergibt $f'(x)=\left(h'(x)\ln(g(x))+h(x){\frac {g'(x)}{g(x)}}\right)g(x)^{h(x)}$.
$\bullet \;$Leibnizsche Regel	Die Ableitung $n$-ter Ordnung für ein Produkt aus zwei $n$-fach differenzierbaren Funktionen ergibt sich aus $(uv)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}u^{(k)}v^{(n-k)}$. Die hier auftretenden Ausdrücke der Form ${n \choose k}$ sind Binomialkoeffizienten.

Ableitung (Differentiation) und Integration von Sinus und Kosinus

Differentiation

Wird $x\;$ im Bogenmaß angegeben, so gilt für die Ableitung der Sinusfunktion

$\sin ^{\prime }(x)=\cos(x)$

Aus $\cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)$ und der Kettenregel erhält man die Ableitung des Kosinus:

$\cos ^{\prime }(x)=-\sin(x)$

und daraus die zweite Ableitung des Sinus:

$\sin ^{\prime \prime }(x)=-\sin(x)$.

Die dritte Ableitung ist daher

$\sin ^{\prime \prime \prime }(x)=-\cos(x)$.

und die vierte Ableitung ist wieder die Sinusfunktion selbst:

$\sin ^{\prime \prime \prime \prime }(x)=\sin(x)$.

In weiterer Folge erhält man daraus für die $4n+k$-te Ableitung des Sinus

$\sin ^{(4n+k)}(x)=\left\{{\begin{matrix}\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=0\\\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=1\\-\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=2\\-\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.$

und für die $4n+k$-te Ableitung des Kosinus

$\cos ^{(4n+k)}(x)=\left\{{\begin{matrix}\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=0\\-\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=1\\-\cos(x)&{\mbox{wenn }}k=2\\\sin(x)&{\mbox{wenn }}k=3\end{matrix}}\right.$

Wird der Winkel $\alpha$ in Grad gemessen, so kommt nach der Kettenregel bei jeder Ableitung ein Faktor ${\frac {\pi }{180}}$ dazu, also beispielsweise $\sin ^{\prime }(\alpha )={\frac {\pi }{180}}\cos(\alpha )$. Um diese störenden Faktoren zu vermeiden, wird in der Analysis der Winkel ausschließlich im Bogenmaß angegeben; die Angabe von Winkel in Grad ist allerdings anschaulicher und daher bei geometrischen Überlegungen zweckmäßiger.

Das Integral von Sinus und Cosinus lässt sich leicht mit der folgenden Skizze merken:

            +Sinus
    -Cosinus      +Cosinus
            -Sinus

Man schreibt den +Sinus oben auf ein Blatt Papier und ergänzt auf der gegenüberliegenden Seite -Sinus; man schreibt den +Cosinus rechts auf das Blatt Papier und ergänzt auf der gegenüberliegenden Seite -Cosinus.

Liest man mit dem Uhrzeigersinn, kommt man bei der jeweiligen Ableitung aus; liest man gegen den Uhrzeigersinn, kommt man beim jeweiligen Integral aus.

So entspricht z. B. die Ableitung von -Sinus dem -Cosinus. So entspricht z. B. das Integral des -Sinus dem +Cosinus.