Bessel-Punkt

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Verbiegung (stark überhöht) eines gleichmäßig belasteten Balkens für verschiedene Paare von Auflagepunkten; blau: Bessel-Punkte

Die Bessel-Punkte sind die beiden symmetrisch angeordneten Auflagerungspunkte eines Längsträgers, bei denen dieser die geringstmögliche schwerkraftbedingte Verformung erfährt. Die optimalen Bedingungen für diese minimale Verformung können nach unterschiedlichen Kriterien definiert werden. Erstmals berechnet wurden derartige Punkte von Friedrich Wilhelm Bessel im Zusammenhang mit Normierungen von Längenmaßen bei der Definition des preußischen Maßsystems.

Optimale Lagerungspunkte nach verschiedenen Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lagerung eines Balkens auf Bessel-Punkten: geringste Balken-Verkürzung in neutraler Ebene (gestrichelt)
Lagerung eines Balkens auf Airy-Punkten: parallele Balken-Endflächen

Wenn ein homogener und völlig gleichmäßig belasteter Träger von prismatischem Querschnitt (Stange, Stab, Brett) auf zwei Stützstellen lagert,[1] unterliegt er einer schwerkraftbedingten Verformung, die auch eine Verkürzung des Trägers mit sich bringt. Für den einfachsten Fall der Lagerung auf zwei Stützstellen, die jeweils den gleichen Abstand von den Enden des Trägers mit der Gesamtlänge haben, wurden die Werte für die optimale Lageposition nach verschiedenen Kriterien berechnet:

  • Friedrich Wilhelm Bessel bestimmte die Position der Auflager für die geringste Längenverkürzung des Trägers in seiner mittleren Fläche, der neutralen Ebene, zu . Das Längenkriterium war für Bessel wichtig, weil er sich mit der Lagerung von Messstangen beschäftigte, die mit dem Normal des preußischen Längenmaßes verglichen werden sollten.[2]
  • Im gleichen Zusammenhang bestimmte Bessel auch die Lageposition für die geringste Längenveränderung an der Oberfläche, an der die Skala der Messstange eingraviert ist. Für diesen Fall, bei dem die Endflächen des Trägers zueinander parallel stehen, fand er den Wert .[3] Zu Ehren von George Biddell Airy, der sich ebenfalls mit dieser Sache beschäftigte, werden diese Positionen in der Literatur als „Airy-Punkte“ bezeichnet.[4][5]
  • Eine minimale Biegung über die gesamte Trägerlänge wird durch Lagerung bei erreicht.[1]
  • Eine Null-Biegung in der Balkenmitte erfordert die Lagerung bei .[1]
  • Die minimale mittlere Durchbiegung über die gesamte Länge erhält man durch Lagerung bei .[6]
  • Für die geringste maximale Biegespannung des Trägers mit der Streckenlast ist das Biegemoment an den Stützstellen und betragsgleich dem Biegemoment in der Trägermitte (ohne Beweis). Man erhält über
,
,
,
.
Das Ergebnis ist:
.

Normen in der Längenmesstechnik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

„In Normen der Längenmesstechnik werden die Besselschen Punkte als Auflagepunkte definiert, die zum geringsten Wert des maximalen Biegepfeils am Balken führen“ und mit 0,2231491  angegeben.[7]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c Gert-Jan Nijsse: Linear motions systems; a modular approach for improved straightness performance. Delft 2001, S. 39f.
  2. F. W. Bessel: Darstellung der Untersuchungen und Maaßregeln, welche, in 1835 bis 1838, durch die Einheit des Preußischen Längenmaaßes veranlaßt worden sind. Beilage I. Einfluss der Schwere auf die Figur eines, auf zwei Punkten von gleicher Höhe aufliegenden Stabes. Berlin 1839, S. 132 (dig).
  3. F. W. Bessel, Berlin 1839, S. 135.
  4. G. B. Airy: On the Flexure of a uniform Bar supported by a number of equal Pressures applied at equidistant points, and on the Positions proper for the Applications of these Pressures, in order to prevent any sensible Alteration of the Length of the Bar by small Flexure. In: Monthly Notices of the Royal Astronomical Society Vol. VI, No.12, 10. Januar 1845, S. 143–146 (dig).
  5. Mathematische Herleitung des Airy-Punkt-Wertes.
  6. P. Will: Optimale Lagerung von Balken.
  7. P. Will: Optimale Lagerung von Balken. S. 6.